推荐学习年秋高中数学课时分层作业解三角形的实际应用举例新人教A版必修Word文档格式.docx
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2.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°
距塔68nmile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为( )
【导学号:
91432052】
A.
n mile/h ﻩB.34nmile/h
C. nmile/hD.34
nmile/h
A [如图所示,在△PMN中,
=
∴MN==34
,
∴v=
=n mile/h.]
3.如图1210,要测量河对岸A,B两点间的距离,今沿河岸选取相距40米的C,D两点,测得∠ACB=60°
∠BCD=45°
∠ADB=60°
∠ADC=30°
,则A,B间距离是()
图1210
A.20米 ﻩB.20米
C.20
米 D.40
米
C[可得DB=DC=40,由正弦定理得AD=20(
+1),∠ADB=60°
所以在△ADB中,由余弦定理得AB=20
(米).]
4.在地面上点D处,测量某建筑物的高度,测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°
和30°
已知建筑物底部高出地面D点20m,则建筑物高度为( )
91432053】
A.20 mﻩB.30m
C.40mD.60m
C [如图,设O为顶端在地面的射影,在Rt△BOD中,∠ODB=30°
OB=20,BD=40,OD=20
在Rt△AOD中,OA=OD·
tan60°
=60,∴AB=OA-OB=40(m).]
5.如图1211所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30°
45°
,60°
,且AB=BC=60m,则建筑物的高度为( )
【导学号:
91432054】
图1211
A.15mﻩB.20m
C.25 mD.30 m
D[设建筑物的高度为h,由题图知,
PA=2h,PB=h,PC=
h,
∴在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理,
得cos∠PBA=, ①
cos∠PBC=
. ②
∵∠PBA+∠PBC=180°
∴cos∠PBA+cos∠PBC=0. ③
由①②③,解得h=30
或h=-30
(舍去),即建筑物的高度为30
m.]
二、填空题
6.有一个长为1千米的斜坡,它的倾斜角为75°
现要将其倾斜角改为30°
则坡底要伸长________千米.
[如图,∠BAO=75°
,∠C=30°
,AB=1,
∴∠ABC=∠BAO-∠BCA=75°
=45°
.
在△ABC中,
=,
∴AC=
(千米).]
7.如图1212,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点A,B到点C的距离AC=BC=1km,且C=120°
则A,B两点间的距离为________ km.
91432055】
图1212
[在△ABC中,易得A=30°
由正弦定理
=,得AB=
=2×
1×
(km).]
8.如图1213所示,为测量一树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点测得树尖的仰角分别为30°
和45°
且A,B两点之间的距离为60m,则树的高度为________m.
图1213
30+30
[由正弦定理可得=
则PB=
(m),设树的高度为h,则h=PBsin45°
=(30+30
)m.]
三、解答题
9.在某次军事演习中,红方为了准确分析战场形势,在两个相距为
的军事基地C处和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处,且∠ADB=30°
,∠BDC=30°
∠DCA=60°
,∠ACB=45°
如图1214所示,求蓝方这两支精锐部队的距离.
图1214
[解] 法一:
∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°
又∵∠ACD=60°
∴∠DAC=60°
∴AD=CD=
a.
在△BCD中,∠DBC=180°
-30°
-105°
=45°
∵=,
∴BD=CD·
a·
a,在△ADB中,
∵AB2=AD2+BD2-2·
AD·
BD·
cos∠ADB=a2+
2-2×
a·
a2.
∴AB=a.
∴蓝方这两支精锐部队的距离为
法二:
同法一,得AD=DC=AC=
a.
在△BCD中,∠DBC=45°
∴=
∴BC=
在△ABC中,∵AB2=AC2+BC2-2AC·
BC·
cos45°
a2+
a2-2×
a2,
∴AB=
a.
10.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45°
,而且两条船与炮台底部连线成30°
角,求两条船之间的距离.
91432056】
[解]如图所示,∠CBD=30°
∠ADB=30°
∠ACB=45°
∵AB=30(m),
∴BC=30(m),
在Rt△ABD中,BD==30
(m).
在△BCD中,CD2=BC2+BD2-2BC·
BD·
cos30°
=900,
∴CD=30(m),即两船相距30m.
[冲A挑战练]
1.如图1215,从气球A上测得其正前下方的河流两岸B,C的俯角分别为75°
30°
此时气球的高度AD是60 m,则河流的宽度BC是( )
91432057】
图1215
A.240(
-1)m
B.180(-1) m
C.120(
-1)m
D.30(
+1) m
C[由题意知,在Rt△ADC中,∠C=30°
AD=60m,
∴AC=120 m.在△ABC中,∠BAC=75°
=45°
,∠ABC=180°
-45°
=105°
,由正弦定理,得BC=
=120(
-1)(m).]
2.如图1216所示,要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度,在塔的同一侧选择C,D两个观测点,且在C,D两点测得塔顶的仰角分别为45°
30°
在水平面上测得∠BCD=120°
,C,D两地相距500m,则电视塔AB的高度是( )
图1216
A.100 m B.400m
C.200 m D.500m
D[设AB=x,在Rt△ABC中,∠ACB=45°
∴BC=AB=x.在Rt△ABD中,∠ADB=30°
∴BD=
x.在△BCD中,∠BCD=120°
CD=500m,由余弦定理得(
x)2=x2+5002-2×
500xcos 120°
,解得x=500m.]
3.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东40千米处,B城市处于危险区内的时间为________小时.
91432058】
1 [设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米,AP=x,在△ABP中,PB2=AP2+AB2-2AP·
AB·
cosA,
即302=x2+402-2x·
40cos45°
化简得x2-40
x+700=0,
|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=400,
|x1-x2|=20,
即图中的CD=20(千米),
故t=
==1(小时).]
4.甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°
方向的B处,两船相距an mile,乙船正向北行驶,若甲船的速度是乙船的
倍,则甲船应沿________方向行驶才能追上乙船;
追上时甲船行驶了________nmile.
91432059】
北偏东30°
a [如图所示,设在C处甲船追上乙船,乙船到C处用的时间为t,乙船的速度为v,则BC=tv,AC=
tv,又B=120°
则由正弦定理=
得
,∴sin∠CAB=
∴∠CAB=30°
∴甲船应沿北偏东30°
方向行驶.又∠ACB=180°
-120°
=30°
∴BC=AB=an mile,
∴AC=
=a(nmile)]
5.山东省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作,用上了无人机.为了测量两山顶M,N间的距离,无人机沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如图1217),无人机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离,请设计一个方案,包括:
①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);
②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.
图1217
[解]方案一:
①需要测量的数据有:
A点到M,N点的俯角α1,β1;
B点到M,N的俯角α2,β2;
A,B间的距离d.
②第一步:
计算AM.由正弦定理AM=;
第二步:
计算AN.由正弦定理AN=
;
第三步:
计算MN.由余弦定理
MN=
.
方案二:
A点到M,N点的俯角α1,β1;
B点到M,N点的俯角α2,β2;
A,B间的距离d.
②第一步:
计算BM.由正弦定理BM=;
第二步:
计算BN.由正弦定理BN=;
计算MN.由余弦定理
MN=
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