初中几何常见辅助线作法口诀及习题大全Word格式.docx

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直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

作辅助线的方法一：

中点、中位线，延线，平行线。

如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；

另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。

二：

垂线、分角线，翻转全等连。

如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。

其对称轴往往是垂线或角的平分线。

三：

边边若相等，旋转做实验。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。

其对称中心，因题而异，有时没有中心。

故可分“有心”和“无心”旋转两种。

四:

造角、平、相似，和、差、积、商见。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。

在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：

第一，造一个辅助角等于已知角；

第二，是把三角形中的某一线段进行平移。

故作歌诀：

“造角、平、相似，和差积商见。

”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：

两圆若相交，连心公共弦。

如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。

六：

两圆相切、离，连心，公切线。

如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。

七：

切线连直径，直角与半圆。

如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；

相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。

即切线与直径互为辅助线。

如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；

相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。

即直角与半圆互为辅助线。

八：

弧、弦、弦心距；

平行、等距、弦。

如遇弧，则弧上的弦是辅助线；

如遇弦，则弦心距为辅助线。

如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；

反之，亦成立。

如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。

有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。

九：

面积找底高，多边变三边。

如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。

如遇多边形，想法割补成三角形；

另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。

　　图中有角平分线，可向两边作垂线。

　　角平分线平行线，等腰三角形来添。

　　线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

　　线段和差不等式，移到同一三角去。

　　三角形中有中线，倍长中线得全等。

　　四边形

　　平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形问题巧转换，变为三角或平四。

　　平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

　　上述方法不奏效，过腰中点全等造。

　　等积式子比例换，寻找线段很关键。

　　斜边上面作高线，比例中项一大片。

　　圆形

　　半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径联。

　　切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

　　是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

　　圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

　　要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆。

　　如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

　　若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

　　由角平分线想到的辅助线

　　一、截取构全等

　　如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：

BC=AB+CD。

　　分析：

在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。

这里面用到了角平分线来构造全等三角形。

另外一个全等自已证明。

此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。

自已试一试。

　　二、角分线上点向两边作垂线构全等

　　如图，已知AB>

AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。

求证：

∠ADC+∠B=180

可由C向∠BAD的两边作垂线。

近而证∠ADC与∠B之和为平角。

　　三、三线合一构造等腰三角形

　　如图，AB=AC，∠BAC=90，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：

BD=2CE。

延长此垂线与另外一边相交，得到等腰三角形，随后全等。

　　四、角平分线+平行线

　　如图，AB>

AC,∠1=∠2，求证：

AB－AC>

BD－CD。

AB上取E使AC=AE，通过全等和组成三角形边边边的关系可证。

　　由线段和差想到的辅助线

　　截长补短法

　　AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°

，求证：

AE=AD+BE。

过C点作AD垂线，得到全等即可。

由中点想到的辅助线

　　一、中线把三角形面积等分

　　如图，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。

已知ΔABC的面积为2，求：

ΔCDF的面积。

利用中线分等底和同高得面积关系。

　　二、中点联中点得中位线

　　如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。

∠BGE=∠CHE。

联BD取中点联接联接，通过中位线得平行传递角度。

　　三、倍长中线

　　如图，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。

倍长中线得到全等易得。

　　四、RTΔ斜边中线

　　如图，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：

AC=BD。

取AB中点得RTΔ斜边中线得到等量关系。

　　由全等三角形想到的辅助线

　　一、倍长过中点得线段

　　已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是。

利用倍长中线做。

　　二、截长补短

　　如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证：

∠A+∠C=180

在角上截取相同的线段得到全等。

　　三、平移变换

　　如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：

AB+AC>

AD+AE

将△ACE平移使EC与BD重合。

　　四、旋转

　　正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数

将△ADF旋转使AD与AB重合。

全等得证。

由梯形想到的辅助线

　　一、平移一腰

　　所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°

，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的长。

利用平移一腰把梯形分割成三角形和平行四边形。

　　二、平移两腰

　　如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°

，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

利用平移两腰把梯形底角放在一个三角形内。

　　三、平移对角线

　　已知：

梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积。

通过平移梯形一对角线构造直角三角形求解。

　　四、作双高

　　在梯形ABCD中，AD为上底，AB>

CD，求证：

BD>

AC。

作梯形双高利用勾股定理和三角形边边边的关系可得。

　　五、作中位线

（1）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：

EF//AD

联DF并延长，利用全等即得中位线。

（2）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°

，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。

在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。

1．已知：

如图，在正方形ABCD中，E、F分别在AD、DC上，且DE＝DF，BM⊥EF于M．求证：

ME＝MF． 

2．如图，正方形ABCD，E是BC上的一点，延长AB至F使BE=BF，延长AE交CF于G。

CF⊥AG． 

3．如图，ABCD、BEFG都是正方形，A、B、Ｅ在一条直线上，连结A、G，且延长交CE的连线为H，求证：

CE⊥AH．