非线性电路中的混沌现象实验理解与思考研究性实验报告Word格式文档下载.docx
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4
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电路中的R是非线性元件,它的伏安特性如图2所示,是一个分段线性的电阻,整体呈现
出非线性.gUC1是一个分段线性函数•由于g总体是非线性函数,三元非线性方程组没
有解析解.若用计算机编程进行数值计算,当取适当电路参数时,可在显示屏上观察到模拟
实验的混沌现象.
除了计算机数学模拟方法之外,更直接的方法是用示波器来观察混沌现象,实验电路如图3
所示.图3中,非线性电阻是电路的关键,它是通过一个双运算放大器和六个电阻组合来
实现的•电路中,LC并联构成振荡电路,R0的作用是分相,使A,B两处输入示波器的信号产生位相差,可得到x,y两个信号的合成图形•双运放TL082的前级和后级正、负反馈同时存在,正反馈的强弱与比值R3/R0,R6/R0有关,负反馈的强弱与比值R2/R1,R5/R4有关•当正反馈大于负反馈时,振荡电路才能维持振荡.若调节R0,正反馈就发生变化,
TL082处于振荡状态,表现出非线性,从C,D两点看,TL082与六个电阻等效于一个非
线性电阻,它的伏安特性大致如图
(2)所示•混沌现象表现了非周期有序性,看起来似乎
是无序状态,但呈现一定的统计规律,其基本判据有:
1•频谱分析:
R0很小时,系统只有一个稳定的状态(对应一个解),随R0的变化系统由一
个稳定状态变成在两个稳定状态之间跳跃(两个解),即由一周期变为二周期,进而两个稳
定状态分裂为四个稳定状态(四周期,四个解),八个稳定状态(八周期,八个解)直
至分裂进入无穷周期,即为连续频谱,接着进入混沌,系统的状态无法确定;
分岔是进入混沌的途径.
2.无穷周期后,由于产生轨道排斥,系统出现局部不稳定;
3.奇异吸引子(StrangeAttractor)存在.奇异吸引子有一个复杂但明确的边界,这个边
界保证了在整体上的稳定,在边界内部具有无穷嵌套的自相似结构,运动是混合和随机的.它
对初始条件十分敏感.
二、实验操作步骤及流程
1•倍周期现象、周期性窗口、单吸引子和双吸引子的观察、记录和描述
将电容C1,C2上的电压输入到示波器的X,Y轴,先把R0调到最小,示波器屏上可观察到一条直线,调节R0,直线变成椭圆,到某一位置,图形缩成一点.增大示波器的倍率,反向微调R0,可见曲线作倍周期变化,曲线由一周期增为二周期,由二周期倍增至四周,……,直至一系列难以计数的无首尾的环状曲线,这是一个单涡旋吸引子集•再细微调节R0,单吸引子突然变成了双吸引子,只见环状曲线在两个向外涡旋的吸引子之间不断填充与跳跃,这就是混沌研究文献中所描述的“蝴蝶”图像,也是一种奇怪吸引子,它的特点是整体上的稳定性和局域上的不稳定性同时存在.
这一步有助于理解和直观观察到非线性电路中的混沌现象的产生与存在,此步骤要注意细微调节的重要行,示波器的辉度与光的粗细都要适当,因为三倍周期与四倍变化极为细微。
观察双吸引子的时候,注意它是不断变化与跳跃的。
这正是不稳定与稳定的共存体,是混沌
现象存在的体现与意义。
2•测量有源非线性电阻的伏安特性并画出伏安特性图
(1)因为非线性电阻是含源的,测量时不用电源,用电阻箱调节•伏特表并联在非线性电阻两端,再和安培表、电阻箱串在一起构成回路.
(2)由于电源电压在12v左右,因此每0.02V测一组数据,共60组。
测量时,主要就是
电阻箱的调节,本实验操作过程相对简单,但电阻箱的调节并非没有规律,根据理论的计算
数据电阻的变化应该是在局部内的线性关系。
因此注意到这一点可以加快实验操作,节省实
验时间。
另外要注意放大器正负极不能接反,而且仪器最好预热十分钟后在进行测量。
实际上,利用这个电路,还可以观察到周期性窗口,仔细调节R0,有时原先的混沌吸
引子不是倍周期变化,却突然出现了一个三周期图像,再微调R0,又出现混沌吸引子,这
一现象称为出现了周期性窗口•混沌现象的另一个特征是对于初值的敏感性。
三、实验原始数据处理与分析
1•计算电感L
本实验采用相位测量。
根据RLC谐振规律,当输入激励的频率2~LC时,RLC
串联电路将达到谐振,L和C的电压反相,在示波器上显示的是一条过二四象限的45度斜
线。
测量得:
f=32.8kHz;
实验仪器标示:
C=1.095nF由此可得:
1
4二2f2C
43.1421.09510亠(32.8103)2
二21.50mH
估算不确定度:
估计u(C)=0.005nF,u(f)=0.1kHz
则:
皿=4U(f)U(C"
610"
L;
f2C2
即u(L)=0.16mH
最终结果:
Lu(L)=(2「5-0.2)mH
2•用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理:
(1)原始数据:
R
V
71200
-12
2044.9
-8
1753.4
-4
21000
-11.8
2036.2
-7.8
1727.5
-3.8
12150
-11.6
2027.2
-7.6
1699.6
-3.6
8430
-11.4
2017.8
-7.4
1669.4
-3.4
6390
-11.2
2007.9
-7.2
1636.7
-3.2
5100
-11
1997.5
-7
1601.2
-3
4215
-10.8
1986.7
-6.8
1562.4
-2.8
3564
-10.6
1975.3
-6.6
1519.7
-2.6
3070
-10.4
1963.4
-6.4
1472.3
-2.4
2680
-10.2
1950.9
-6.2
1420
-2.2
2369
-10
1937.6
-6
1360.9
-2
2115
-9.8
1923.7
-5.8
1295.1
-1.8
2103.1
-9.6
1909
-5.6
1281.8
-1.6
2096.8
-9.4
1893.4
-5.4
1276.7
-1.4
2090.2
-9.2
1876.9
-5.2
1270.1
-1.2
2083.4
-9
1859.5
-5
1261.1
-1
2076.3
-8.8
1840.9
-4.8
1247.8
-0.8
2068.9
-8.6
1821.2
-4.6
1226
-0.6
2061.2
-8.4
1800.1
-4.4
1148.9
-0.4
2053.3
-8.2
1777.6
-4.2
1075
-0.2
由此可得对应的IR1值。
对非线性负阻R1,将实验测得的每个(
I,U)实验点均标注在坐标平面上,可
到下图所示的点阵图
-12_U_-9.78
-9.78一U_-1.72
-1.72_U_0
I
图中可以发现,(0.0046336,-9.8)和(0.0013899,-1.8)两个实验点是折线的拐点。
故我们在一12空U空9®
、-9.「U乞-1,8V、-1U岂0V这三个区间分别使用
线性回归的方法来求相应的I-U曲线。
使用Excel的Linest函数可以求出这三段的线性回归方程:
0.002032U-0.024530932
I=』-0.00041U+0.000651953
-0.00079U
经计算可得,三段线性回归的相关系数均非常接近1(r=0.99997),证明在区间内I-V
线性符合得较好。
应用相关作图软件可以得出非线性负阻在U<
0区间的I-U曲线。
I-V图(线性回归)I
将曲线关于原点对称可得到非线性负阻在U>
0区间的I-U曲线:
-15.(
I-V图(线性回归)
5.00E-03
00E-03
I/A
00
\
3
\2
00E03
nncXno
*
00E+00:
U
)0-12.5
)0-10.(
)0-7.5
0-5.(
0-2.i
00.0
0\2.5
05.(
07.5
i010.
00*2
5015.
2
L
4
X
t
w匚-w
3•观察混沌现象:
(1)一倍周期:
一倍周期Vc1-t
(2)两倍周期:
两倍周期Vc1-t
(3)四倍周期:
四倍周期Vc1-t
(4)单吸引子:
⑸双吸引子:
到此,实验数据的处理就完毕了。
四、实验的深入思考与分析
在本次实验中,我们初步了解了混沌的一些知识。
20多年来,混沌一直是举世瞩目的
前沿课题和研究热点,它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性、有序与无序的统一、稳定性与随机性的统一,大大拓宽了人们的视野,加深了人类对客观世界的认识。
混沌现象在非线性科学中指的是一种确定的但不可预测的运动状态。
它的外在表现和纯
粹的随机运动很相似,即都不可预测。
但和随机运动不同的是,混沌运动在动力学上是确定的,它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。
或者说混沌系统对无限小的初值变动和微绕
也具于敏感性,无论多小的扰动在长时间以后,也会使系统彻底偏离原来的演化方向。
而通过本次试验也让我们对于混沌现象本身产生了极大的兴趣,混沌现象最初的提出是
通过气象相关的学科,并引出了大家所熟知的蝴蝶效应。
对于这个效应最常见的阐述是:
“-
只南美洲亚马逊河流域热带雨林中蝴蝶,偶尔扇动几下翅膀,可以在两周以后引起美国得克
萨斯州的一场龙卷风。
”最开始我本以为蝴蝶效应应该是一种夸张的说法,但是通过本实验
学习了混沌的原理之后才突然发现,细小的差别通过非线性的变化后必将产生巨大的变化,可以说蝴蝶效应毫不夸张,想一想,就如同中国人常说的“差之毫厘,失之千里”、“一招不慎,满盘皆输”。
而“蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省,我认为不但在于其大胆的想象
力和迷人的美学色彩,更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。
混沌和非混沌,逻辑演
绎系统和断层之间的选择问题,就是我们关注蝴蝶效应的意义所在,中国古代也有学派注重
善始善终的问题,是说善于展开一个系统,也善于结束这个系统,以这个为目的而研究的方
法论。
进而,可以说,蝴蝶效应实质是一种方法论,这种方法论,承认系统的边界,是建立在宇宙无限论之上的探讨宇宙的有限性的方法。
一个马蹄钉亡了一个帝国的歌谣我们都听过。
可见混沌现象揭示了人类世界不可质疑的真理。
曾经,我曾幼稚的认为当科学发展到一定程度,人类必将可以预测未来,这不仅仅是
我的想法,也曾是许多相信科学力量人的想法。
但是,混沌现象的存在证实,严谨的数学和毫无偏差的公式不可能预言久远的未来。
就好比此刻你永远不知道下一刻会发生什么。
因此
活好现在,你现在的一个细微的决定可能改变的就是一生。
有点扯远了,在回来说本实验的一些理论思考和分析,首先我们开始想到是否在计
算机技术如此发达的今天,能不能用计算机模拟混沌现象呢?
经过查阅资料,我们发现这是
可行的。
并且发现用matlab模拟混沌现象普遍应用的方法为四阶龙格库塔数值积分法
源程序(Matlab代码)如下:
文件1:
chua.m
function[xx]=chua(x,time_variable,aaa,symbol_no)
h=0.01;
a=h/2;
aa=h/6;
xx=[];
forj=1:
symbol_no;
kO=chua_map(x,time_variable,aaa);
x1=x+kO*a;
k1=chua_map(xl,time_variable,aaa);
xl=x+k1*a;
k2=chua_map(x1,time_variable,aaa);
x1=x+k2*h;
k3=chua_map(x1,time-variable,aaa);
x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);
xx=[xxx];
end
文件2:
chua_initial.m:
function[xO]=chua_initial(x,aaa)h=0.01;
x=[-0.030.6-0.01]'
;
k0=chua_map(x,1,aaa);
x1=x+k0*a;
k1=chua_map(xl,1,aaa);
x1=x+k1*a;
k2=chua_map(x1,1,aaa);
x1=x+k2*h;
k3=chua_map(x1,1,aaa);
x=x+aa*(k0+2*(kl+k2)+k3);
fork=2:
400
kO=chua_map(x,k,aaa);
k1=chua_map(x1,k,aaa);
k2=chua_map(x1,k,aaa);
k3=chua_map(xl,k,aaa);
x0=x;
文件3:
chua_map.m:
function]x]=chua_map(xx,time_variable,aaa)m0=-1/7.0;
m1=2/7.0;
ifxx
(1)>
=1
hx=m1*xx
(1)+m0-m1;
elseifabs(xx
(1))<
=1hx=mO*xx
(1);
elsehx=m1*xx
(1)-m0+m1;
A=[09.00
1.0-1.01.0
Oaaa0];
x=A*xx;
x=x+[-9*hx0O]'
文件4:
chua_demo.m
x0=0.05*randn(3,1);
[xO]=chua_initial(x0,-100/7);
[xx]=chua(x0,1,-100/7,20000);
plot(UVI(1,1:
end),UVI(2,1:
end));
xlabel('
Uc1(V)'
);
ylabel('
Uc2(V)'
figure;
plot3(UVI(3,1:
end),UVI(1,1:
end))xlabel('
I(V)'
zlabel('
(2)
改变G的值,当G=0.7时,数值仿真出现双吸引子:
❶Ifstelie*loolb-arbuttons.data也linkedplotsflayvid"
Ud(V)
改变G值,使G=0.35,数值仿真出现单吸引子:
❶UgtttfloHarIrattqnj-lir<
ishinK&
liL-LTtedplots銘电Fl»
yviAta
在结果中可以看到,计算机数值模拟的相图特点和前述示波器的相图极为相似。
同时利用计算机可以方便地更改系统参数,充分显现出计算机仿真的优越性。
Ps:
一点总结:
这个实验本身操作并不难,但是混沌现象的理论知识无疑开拓了我们
的视野,不仅仅作为一个物理电学的实验而存在,更涉及了数学,气象学,天文学,经济学,
医学等各个学科,其中混沌理论的分析更是能够引发深刻的哲学论题和自古以来的社会思考,是一个高度开阔的实验,我想在追求全面发展,十字型人才的今天这种能够给人启发,让人思考的实验是在是难能可贵,因此我建议希望能够在以后的混沌现象实验中听到更加详
细全面的阐述和讲解(因为做实验本身只需要1小时,实验课共3小时,有足够的时间),
同时也希望能够有更多的人对这个实验有所思考,有所感悟。
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