东南大学数值分析上机题Word格式文档下载.docx
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3
通过本上机题,看出按两种不同的顺序计算的结果是不相同的,按从大到小的顺序计算的值与精确值有较大的误差,而按从小到大的顺序计算的值与精确值吻合。
从大到小的顺序计算得到的结果的有效位数少。
计算机在进行数值计算时会出现“大数吃小数”的现象,导致计算结果的精度有所降低,我们在计算机中进行同号数的加法时,采用绝对值较小者先加的算法,其结果的相对误差较小。
数值分析上机题2
20.(上机题)Newton迭代法
(1)给定初值
及容许误差
,编制Newton法解方程
根的通用程序。
(2)给定方程
,易知其有三个根
1.由Newton方法的局部收敛性可知存在
,当
时,Newton迭代序列收敛于根
试确定尽可能大的
2.试取若干初始值,观察当
时Newton序列是否收敛以及收敛于哪一个根。
MATLAB程序
问题1
dx=0.5;
x
(1)=0.5;
while(dx>
1e-6)
i=1;
error=1;
while(error>
1e-8)
x(i+1)=x(i)-(1/3*x(i)^3-x(i))/(x(i)^2-1);
error=abs(x(i+1)-x(i));
i=i+1;
if(x(i)==0)
x
(1)=x
(1)+dx;
else
dx=dx/2;
x
(1)=x
(1)-dx;
经计算,最大的
为0.774596
问题2
x2
(1)=1e14;
x2(i+1)=x2(i)-(1/3*x2(i)^3-x2(i))/(x2(i)^2-1);
error=abs(x2(i+1)-x2(i));
if(i>
1e4)
break
对于不同得初始值收敛于不同的根,
在(-∞,-1)内收敛于
,在(-0.774,0.774)内收敛于0,在(1,+∞)内收敛于
,但在内(0.774,1)和(-1,0.774)均可能收敛于
和
分析:
对于不同的初值,迭代序列会收敛于不同的根,所以在某个区间内求根对于初值的选取有很大的关系。
产生上述结果的原因是区间不满足大范围收敛的条件。
数值分析上机题3
39.(上机题)列主元三角分解法对于某电路的分析,归结为求解线性方程组RI=V。
(1)编制解n阶线性方程组Ax=b的列主元三角分解法的通用程序;
(2)用所编制的程序解线性方程组RI=V,并打印出解向量,保留五位有效数;
(3)本编程之中,你提高了哪些编程能力?
程序:
A=[31,-13,0,0,0,-10,0,0,0
-13,35,-9,0,-11,0,0,0,0
0,-9,31,-10,0,0,0,0,0
0,0,-10,79,-30,0,0,0,-9
0,0,0,-30,57,-7,0,-5,0
0,0,0,0,-7,47,-30,0,0
0,0,0,0,0,-30,41,0,0
0,0,0,0,-5,0,0,27,-2
0,0,0,-9,0,0,0,-2,29];
b=[-15,27,-23,0,-20,12,-7,7,10]'
;
[m,n]=size(A);
Ap=[A,b];
x=zeros(n,1);
fori=1:
m-1
j=i;
[maxa,maxi]=max(abs(Ap(i:
end,j)));
maxi=maxi+i-1;
if(maxa~=0)
mid=Ap(maxi,:
);
Ap(maxi,:
)=Ap(i,:
Ap(i,:
)=mid;
fork=i:
m
Ap(i+1:
m,:
)=Ap(i+1:
)-Ap(i+1:
m,j)*(Ap(i,:
)./maxa);
fori=linspace(m,1,m)
x(i)=(Ap(i,end)-Ap(i,1:
end-1)*x)/Ap(i,i);
结果:
方程的解为(保留5位有效数字):
x1=-0.28923,x2=0.34544,x3=-0.71281,
x4=-0.22061,x5=-0.43040,x6=0.15431,
x7=-0.057823,x8=0.20105,x9=0.29023。
习题4
37.(上机题)3次样条插值函数
(1)编制求第一型3次样条插值函数的通用程序;
(2)已知汽车曲线型值点的数据如下:
1
2
7
8
9
10
2.51
3.30
4.04
4.70
5.22
5.54
5.78
5.40
5.57
5.70
5.80
端点条件为
=0.8,
=0.2。
用所编制程序求车门的3次样条插值函数S(x),并打印出S(i+0.5)(i=0,1,…9)。
(1)
%%
x=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];
y=[2.51,3.30,4.04,4.7,5.22,5.54,5.78,5.40,5.57,5.70,5.80];
y1=0.8;
yend=0.2;
%%___________________________________________
n=size(x,2)-1;
h=x(2:
end)-x(1:
end-1);
miu=h(1:
end-1)./(h(1:
end-1)+h(2:
end));
lamda=1-miu;
f1=[y1,(y(2:
end)-y(1:
end-1))./h,yend];
%f[xn-1,xn]
f2=[f1(2:
end)-f1(1:
end-1)]./[h
(1),h(1:
end),h(end)];
%f[xn-1,xn,xn+1]
A=2.*eye(n+1);
A(2:
end,1:
end-1)=A(2:
end-1)+diag([miu,1]'
A(1:
end-1,2:
end)=A(1:
end)+diag([1,lamda]'
M=A\(6*f2'
Sx=[y(1:
end-1)'
((y(2:
end-1))./h)'
-((1/3*M(1:
end-1)+1/6*M(2:
end)).*h'
),1/2*M(1:
end-1),1/6*(M(2:
end)-M(1:
end-1))./h'
];
xx=input(’x=’);
forj=2:
n+1
ifxx<
x(j)
S=Sx(j-1,:
)*[1,xx-x(j-1),(xx-x(j-1))^2,(xx-x(j-1))^3]'
(2)
fori=0:
xx=i+0.5;
S(i+1)=Sx(j-1,:
x∈[0,1]时;
S(x)=2.51+0.8x-0.0014861x2-0.00851395x3
x∈[1,2]时;
S(x)=3.3+0.771486(x-1)-0.027028(x-1)2-0.00445799(x-1)3
x∈[2,3]时;
S(x)=4.04+0.704056(x-2)-0.0404019(x-2)2-0.0036543(x-2)3
x∈[3,4]时;
S(x)=4.7+0.612289(x-3)-0.0513648(x-3)2-0.0409245(x-3)3
x∈[4,5]时;
S(x)=5.22+0.386786(x-4)-0.174138(x-4)2+0.107352(x-4)3
x∈[5,6]时;
S(x)=5.54+0.360567(x-5)+0.147919(x-5)2-0.268485(x-5)3
x∈[6,7]时;
S(x)=5.78-0.149051(x-6)-0.657537(x-6)2+0.426588(x-6)3
x∈[7,8]时;
S(x)=5.4-0.184361(x-7)+0.622227(x-7)2-0.267865(x-7)3
x∈[8,9]时;
S(x)=5.57+0.256496(x-8)-0.181369(x-8)2+0.0548728(x-8)3
x∈[9,10]时;
S(x)=5.7+0.058376(x-9)-0.0167508(x-9)2+0.0583752(x-9)3
S(0.5)=2.90856S(1.5)=3.67843S(2.5)=4.38147
S(3.5)=4.98819S(4.5)=5.38328S(5.5)=5.7237
S(6.5)=5.59441S(7.5)=5.42989S(8.5)=5.65976
S(9.5)=5.7323
习题五重积分的计算
23(上机题)重积分的计算
题目:
给定积分
取初始步长h和k,及精度
应用复化梯形公式,采用逐次二分步长的方法,编制计算I(f)的通用程序。
计算至相邻两次近似值之差的绝对值不超过
为止。
1)用所编程序计算积分
,取
%%example
f=inline('
tan(x.^2+y.^2)'
'
x'
y'
a=0;
b=pi/3;
c=0;
d=pi/6;
%%define
k=1;
n=1;
while(error>
0.5e-5)
[x,y]=meshgrid(linspace(c,d,2^k+1),linspace(a,b,2^k+1));
h=(b-a)/2^k;
l=(d-c)/2^k;
z=f(x,y);
z1=z(1:
end-1,1:
z2=z(1:
end);
z3=z(2:
z4=z(2:
end,2:
t(k)=h*l/4*(sum(sum(z1))+sum(sum(z2))+sum(sum(z3))+sum(sum(z4)));
%%extrapolation
if(k>
=2)
T(1,k-1)=4/3*t(k)-1/3*t(k-1);
%T
(1)
error=min(error,abs(t(k)-t(k-1)));
if(k>
=3)
T(2,k-2)=16/15*T(1,k-1)-1/15*T(1,k-2);
%T
(2)
error=min(error,abs(T(1,k-1)-T(1,k-2)));
=4)
T(3,k-3)=64/63*T(1,k-2)-1/63*T(1,k-3);
%T(3)
error=min(error,abs(T(2,k-2)-T(2,k-3)));
=5)
error=min(error,abs(T(3,k-3)-T(3,k-4)));
k=k+1;
计算结果:
T(f)T
(1)(f)T
(2)(f)T(3)(f)
0.5197965
0.344032
0.337393
0.337709
0.3879734
0.337808
0.336592
0.33665
0.3503495
0.336668
0.336524
0.336531
0.3400887
0.336533
0.336521
0.3374218
0.3367464
I(f)=0.33652
二分6次
习题6
23.(上机题)常微分方程初值问题数值解
(1)编制RK4方法的通用程序;
(2)编制AB4方法的通用程序(由RK4提供初值);
(3)编制AB4-AM4预测校正方法的通用程序(由RK4提供初值);
(4)编制带改进的AB4-AM4预测校正方法的通用程序(由RK4提供初值);
(5)对于初值问题
取步长
应用
(1)~(4)中的四种方法进行计算,并将计算结果和精确解
作比较;
(6)通过本上机题,你能得到哪些结论?
%%Originalquestion
-x*x*y*y'
y0=3;
h=0.1;
xstr=0;
xend=1.5;
x=xstr:
h:
xend;
yx=3./(1+x.^3);
n=size(x,2);
%%RK4method
RK4y
(1)=y0;
n-1
k1=f(x(i),RK4y(i));
k2=f(x(i)+h/2,RK4y(i)+h/2*k1);
k3=f(x(i)+h/2,RK4y(i)+h/2*k2);
k4=f(x(i)+h,RK4y(i)+h*k3);
RK4y(i+1)=RK4y(i)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
%%AB4method
AB4y(1:
4)=RK4y(1:
4);
fori=4:
AB4y(i+1)=AB4y(i)+h/24*(55*f(x(i),AB4y(i))-59*f(x(i-1),AB4y(i-1))+37*f(x(i-2),AB4y(i-2))-9*f(x(i-3),AB4y(i-3)));
%%AB4-AM4predictivemethod
BM4y(1:
yp(i+1)=BM4y(i)+h/24*(55*f(x(i),BM4y(i))-59*f(x(i-1),BM4y(i-1))+37*f(x(i-2),BM4y(i-2))-9*f(x(i-3),BM4y(i-3)));
BM4y(i+1)=BM4y(i)+h/24*(9*f(x(i+1),yp(i+1))+19*f(x(i),BM4y(i))-5*f(x(i-1),BM4y(i-1))+f(x(i-2),BM4y(i-2)));
%%ImprovedAB4-AM4predictivemethod
imprBM4y(1:
yP(i+1)=imprBM4y(i)+h/24*(55*f(x(i),imprBM4y(i))-59*f(x(i-1),imprBM4y(i-1))+37*f(x(i-2),imprBM4y(i-2))-9*f(x(i-3),imprBM4y(i-3)));
yc(i+1)=imprBM4y(i)+h/24*(9*f(x(i+1),yP(i+1))+19*f(x(i),imprBM4y(i))-5*f(x(i-1),imprBM4y(i-1))+f(x(i-2),imprBM4y(i-2)));
imprBM4y(i+1)=251/270*yc(i+1)+19/270*yP(i+1);
%%Error
error(1:
4,1:
n)=abs([yx-RK4y;
yx-AB4y;
yx-BM4y;
yx-imprBM4y]);
kx(k)y(x)RK4方法误差AB4方法误差AB4—AM4误差带改进AB4—AM4误差
0.1
2.997003
1.87E-07
0.2
2.97619
3.92E-07
0.3
2.92113
2.921129
7.58E-07
0.4
2.819549
2.819547
1.61E-06
2.818389
0.00116
2.819678
0.00013
2.819588
3.88E-05
0.5
2.666667
2.666663
3.18E-06
2.664672
0.001994
2.666876
0.000209
2.666713
4.62E-05
0.6
2.467105
2.4671
5.01E-06
2.465203
0.001903
2.467252
0.000147
2.467097
8.23E-06
0.7
2.233805
2.233799
5.77E-06
2.233079
0.000726
2.233731
7.35E-05
2.233682
0.000122
0.8
1.984127
1.984123
4.13E-06
1.984951
0.000824
1.983787
0.00034
1.983885
0.000242
0.9
1.735107
1.16E-07
1.737043
0.001936
1.734607
0.0005
1.734808
0.000299
11
1.5
1.500006
5.81E-06
1.502195
0.002195
1.499516
0.000484
1.499732
0.000268
12
1.1
1.287001
1.287013
1.13E-05
1.288763
0.001762
1.286657
0.000344
1.286821
0.000181
13
1.2
1.099707
1.099722
1.54E-05
1.100724
0.001017
1.099533
0.000174
1.099622
8.50E-05
14
1.3
0.93838
0.938397
1.77E-05
0.93871
0.000331
0.938343
3.72E-05
0.938367
1.24E-05
15
1.4
0.801282
0.8013
1.84E-05
0.801135
0.801327
4.53E-05
0.801311
2.93E-05
16
0.685714
0.685732
1.78E-05
0.685335
0.00038
0.685796
8.18E-05
0.68576
结论:
带改进的AB4-AM4预测校正方法比AB4-AM4预测校正方法精度更高,AB4方法精度最低,RK4方法的精度最高
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