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　　125×

8=1000

例计算：

[分析]一个数×

5,可以先乘2再除以“2”——“积不变”原理

（1）186×

5

　　=186×

（5×

2）÷

2

　　=1860÷

=930；

（2）96×

125

　　=96×

（125×

8）÷

8

　　=96000÷

8=12000。

例一个偶数乘以15，“加半添0”.

24×

15

＝（24+12）×

10

＝360

　　因为

　　24×

　　＝24×

（10+5）

　　＝24×

（10＋10÷

2）

　　=24×

10+24×

10÷

2（乘法分配律）

10+24÷

2×

10（带符号搬家）

＝（24+24÷

2）×

10（乘法分配律）

例一个数乘以25、125：

用4、8拆数后再运算。

126X25=（31X4+2）X25（126÷

4=31……2）

=31X4X25+2X25=3100+50=3150

438X125=（54X8+6）X25（438÷

8=54……6）

=54X8X125+6X125=54000+750=54750

　例个位是5的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位是25，25前面的数是这个两位数的首位数与首位数加1之积。

例如：

　　仿此同学们自己算算下面的乘积

　　35×

35＝______55×

55＝______

　　65×

65＝______85×

85＝______

　　95×

95＝______

　　这种方法也适用于个位数是5的两个相同的多位

　　数相乘的计算，例如，

例10个位为5的两位数的自乘：

十位数字×

（十位数字加1）×

100+25

　　如15×

15=1×

（1+1）×

100+25=225

25=2×

（2+1）×

100+25=625

35=3×

（3+1）×

100+25=1225

　　45×

45=4×

（4+1）×

100+25=2025

　　55×

55=5×

（5+1）×

100+25=3025

65＝6×

（6+1）×

100+25=4225

　　75×

75=7×

（7+1）×

100+25＝5625

　　85×

85=8×

（8+1）×

100+25=7225

95×

95＝9×

（9+1）×

100＋25＝9025

有时题目不是上面讲的“标准形式”，比如乘数不是25而是75，此时就需要灵活运用上面的方法及乘法运算律进行速算了。

（1）84×

75

　　=（21×

4）×

（25×

3）

3）×

（4×

25）

　　=63×

100=6300；

（2）56×

625

　　=（7×

8）×

5）

5）×

（8×

125）

　　=35×

1000=35000；

（3）33×

　　=32×

125+1×

　　=4000+125=4125；

（4）39×

　　=（32+1）×

125=（40-1）×

　　=40×

75-1×

　　=3000-75=2925。

例从10到20×

之间的两位数相乘（十几×

十几）

13×

14

[分析]个位数相加后再加“10”，然后乘“10”，个位数相乘后，所得两个数相加。

14=182

想：

（3+4+10）×

10=170

3×

4=12

170+12=182

例62×

6881×

89

[分析]62×

68，一首数6+1=7，头×

头是：

7×

6=42，尾×

尾是2×

8=16，

42与16在一起：

4216

81×

89，一首数8+1=9，头×

头9×

8=72，

尾×

尾是1×

9=9，因为9小于10，所以72与9相联时，在9的前面添一个0。

答案是81×

89=7209

例72×

3268×

48

[分析]72×

32头加头+尾是7×

3+2=23

尾是:

2=4

因为4小于10,所以23与4相联时,在4前边补一个0,答案是:

72×

32=2304

68×

48头加头+尾是6×

4+8=32

尾8×

4=64

答案是:

68×

48=3264

除法及乘除混合运算中的巧算

　　1.在除法中，利用商不变的性质巧算

　　商不变的性质是：

被除数和除数同时乘以或除以相同的数（零除外），商不变.利用这个性质巧算，使除数变为整十、整百、整千的数，再除。

例计算①110÷

5②3300÷

25

　　③44000÷

　　解：

①110÷

5=（110×

　　＝220÷

10=22

　　②3300÷

25＝（3300×

4）÷

4）

　　＝13200÷

100＝132

125=（44000×

8）

　　＝352000÷

1000＝352

　　2.在乘除混合运算中，乘数和除数都可以带符号“搬家”。

例864×

27÷

54

　　＝864÷

54×

27

　　=16×

　　=432

　　3.当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数。

　　例187÷

12-63÷

12-52÷

12

187÷

　　＝（187-63-52）÷

　　＝72÷

12=6

　　4.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法：

如果“括号”前面是乘号，去掉“括号”后，原“括号”内的符号不变；

如果“括号”前面是除号，去掉“括号”后，原“括号”内的乘号变成除号，原除号就要变成乘号，添括号的方法与去括号类似。

　　即a×

（b÷

c）=a×

b÷

c从左往右看是去括号，

　　a÷

（b×

c）＝a÷

c从右往左看是添括号。

b×

c

例①1320×

500÷

250

　　②4000÷

125÷

　　③5600÷

（28÷

6）

　　④372÷

162×

　　⑤2997×

729÷

（81×

81）

①1320×

250＝1320×

（500÷

250）

　　=1320×

2＝2640

8＝4000÷

　　＝4000÷

1000＝4

6）=5600÷

28×

6

　　=200×

6=1200

54=372÷

（162÷

54）

　　＝372÷

3＝124

81）＝2997×

81÷

81

　　＝（2997÷

81）×

（729÷

81）＝37×

9

　　＝333

三、计算等差连续数的和

　　相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如：

　　1，2，3，4，5，6，7，8，9

　　1，3，5，7，9

　　2，4，6，8，10

　　3，6，9，12，15

4，8，12，16，20等等都是等差连续数.

两种求和方法：

　　1.等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：

　　如：

（1）计算：

1+2+3+4+5+6+7+8+9

　　=5×

9中间数是5

　　=45共9个数

　　2.等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成：

（1）计算：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

1098……321共有10组11=10+1=9+2=8+3…

　　=（1+10）×

2=110×

5=55

共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10.

例计算54＋99×

99＋45

此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了.

　　54＋99×

　　＝（54＋45）＋99×

99

　　＝99＋99×

　　＝99×

（1＋99）

100

　　＝9900.

例计算9999×

2222＋3333×

3334

此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×

3，规律就出现了.

　　9999×

　　＝3333×

3×

6666＋3333×

（6666＋3334）

10000

　　＝33330000.

例1999＋999×

999

　　解法1：

1999＋999×

　　＝1000＋999＋999×

　　＝1000＋999×

（1＋999）

1000

　　＝1000×

（999＋1）

　　＝1000000.

　　解法2：

　　＝1999＋999×

（1000-1）

　　＝1999＋999000-999

　　＝（1999-999）＋999000

　　＝1000＋999000

　　＝1000000.

速算与巧算

例比较下面两个积的大小：

　　A＝987654321×

123456789，

　　B＝987654322×

123456788.

　　分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.

A＝987654321×

123456789

　　＝987654321×

（123456788＋1）

123456788＋987654321.

123456788

　　＝（987654321＋1）×

123456788＋123456788.

　　因为987654321＞123456788，所以A＞B.

例不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.

　　241×

249242×

248243×

247

　　244×

246245×

245.

利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.

249＝（240＋1）×

（250—1）＝240×

250＋1×

9；

　　242×

248＝（240＋2）×

（250—2）＝240×

250＋2×

8；

　　243×

247＝（240＋3）×

（250—3）＝240×

250＋3×

7；

246＝（240＋4）×

（250—4）＝240×

250＋4×

6；

　　245×

245＝（240＋5）×

（250—5）＝240×

250＋5×

5.

　　恒等变形以后的各式有相同的部分240×

250，又有不同的部分1×

9，2×

8，3×

7，4×

6，5×

5，由此很容易看出245×

245的积最大.

　　一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.

10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5

　　则5×

5＝25积最大.

例求1966、1976、1986、1996、2006五个数的总和.

五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为：

　　1986×

5＝9930.

例2、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.

五个连续偶数的中间一个数应为320÷

5＝64，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.

　　总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；

五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：

x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.

对于2n＋1个连续自然数可以表示为：

x—n，x—n＋1，x－n＋2，…，x—1，x，x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中x是这2n＋1个自然数的平均值.

算式题的巧解妙算

1.特殊数题

（1）21－12

　　当被减数和减数个位和十位上的数字（零除外）交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。

　　因为这样的两位数减法，最低起点是21－12，差为9，即（2－1）×

9。

减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31－13＝（3－1）×

9＝18。

减数从12—89，都可类推。

　　被减数和减数同时扩大（或缩小）十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩大（或缩小）相同的倍数，其差不变。

如

　　210－120＝（2－1）×

90＝90，

　　0.65－0.56＝（6－5）×

0.09＝0.09。

（2）31×

51

　　个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。

　　若十位数字的和满10，进1。

　　证明：

（10a＋1）（10b＋1）

　　＝100ab＋10a＋10b＋1

　　＝100ab＋10（a＋b）＋1

　　（3）26×

8642×

62

　　个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。

若个位数的积是一位数，前面补0。

证明：

（10a＋c）（10b＋c）

　　＝100ab＋10c（a＋b）＋cc

　　＝100（ab＋c）＋cc（a＋b＝10）。

（4）17×

19

　　十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。

　　原式＝（17＋9）×

10＋7×

9＝323

（10＋a）（10＋b）

　　＝100＋10a＋10b＋ab

　　＝[（10＋a）＋b]×

10＋ab。

（5）63×

69

　　十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。

　　原式＝（63＋9）×

6×

10＋3×

　　＝72×

60＋27＝4347。

（10a＋c）（10a＋d）

　　＝100aa＋10ac＋10ad＋cd

　　＝10a[（10a＋c）＋d]＋cd。

（6）83×

87

　　十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。

　　=100aa＋10a（c＋d）＋cd

　　＝100a（a＋1）＋cd（c＋d＝10）。

（7）38×

22

　　十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。

　　原式＝（30＋8）×

（30－8）

　　＝302－82＝836。

　　（8）88×

37

　　被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。

（9）36×

　　乘数是15的两位数相乘。

　　被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10；

是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。

　　＝54×

10＝540。

（10）125×

101

　　三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。

125＋1＝126。

　　原式＝12625。

　　再如348×

101，因为348＋3＝351，

　　原式＝35148。

（11）84×

49

　　一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。

　　原式＝8400÷

2－84

　　＝4200－84＝4116。

（12）85×

　　两位数乘以9、99、999、…。

在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。

　　原式＝8500－85＝8415

　　不难看出这类题的积：

　　最高位上的两位数（或一位数），是被乘数与1的差；

　　最低位上的两位数，是100与被乘数的差；

　　中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。

　　如果被乘数的个位数是1，例如

　　31×

　　在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。

　　71×

9999＝709999－70＝709929。

　　这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为（10a＋1）的形式，由9组成的自然数可表示为（10n－1）的形式，其积为

　　（10a＋1）（10n－1）＝10n＋1a＋（10n－1）－10a。

（13）682＋702

　　两个连续奇（偶）数的平方和，等于这两个数之积的2倍加4的和。

　　原式＝68×

70×

2＋4

　　＝9520＋4＝9524。

　　例2522－512＝52＋51＝103

　　两个连续自然数的平方差，等于这两个数的和。

分数比较大小

例1.比较A＝333/1666和B＝33/166的大小。

求倒数，倒数小的更大

1/A=1666/333=5+1/333

1/B=166/33=5+1/33

因为1/33＞1/333

所以1/A＜1/B

所以A＞B

例2.比较大小：

3/10、5/13、9/17、15/29、45/73

化成相同分子来比：

3/10=45/150…………

例3.比较大小：

2221/3332、4443/6665

定理：

一个真分数的分子、分母同时加上同一个不为零的自然数，所得的新分数大于原分数。

一个真分数的分子、分母同时减去同一个不为零的自然数，所得的新分数小于原分数。

因为2221/3332=4442/6664

4443/6665=（4442+1）/（6664+1）>

4442/6664

所以4443/6665>

2221/3332

1/2<

2/3<

3/4<

4/5....

如：

5/9<

9/（）<

1?

5+4=99+4=13,故：

9/13<

1

3/2>

4/3>

5/4>

6/5。

。

例4.比较大小：

7/12、9/16、13/24、5/8、

借助一个标准量分数来进行，这几个分数都比1/2略大，可以借助1/2来比较大小。

7/12=1/2+1/129/16=1/2+1/1613/24=1/2+1/245/8=1/2+1/8

所以：

5/8>

7/12>

9/16>

13/24

例5.比较222221/222223与333331/333334大小

提示：

222221/222223=1-2/222223另一个同理，然后进行通分子比较。

例6.、比较

与

的大小（比较与1的差）

例7.、比较

的大小（转化为比较

的大小，分别与中间值

比较）

例8.、比较

的大小（与中间

例9.、比较A、B的大小。

A＝

与B＝

（求倒数，倒数小的更大，【分子相同，分母大则小】）

1/A=1666/333=5+1/3331/B=166/33=5+1/33因为1/33＞1/333所以1/A＜1/B所以A＞B

例10.、比较

的大小（A÷

B>

1,则A>

B）

例11.、比较5/17、2/13、4/15的大小（通分子）

20/130<

20/75<

20/68