积分中值定理的应用_精品文档.doc
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略谈积分中值定理及其应用
白永丽张建中
(平顶山工业职业技术学院)
积分中值定理是定积分的一个重要性质,它建立了定积分与被积函数之间的关系,从而使我们可以通过被积函数的性质来研究积分的性质,有较高的理论价值和广泛的应用。
本文就其在解题中的应用进行讨论。
一、积分中值定理的内容:
定理1(积分第一中值定理)若在上连续,则在上至少存在一点使得
(1)
定理2(推广的积分第一中值定理)若在闭区间上连续,且在上不变号,则在至少存在一点,使得
(2)
证明:
(推广的积分第一中值定理)
不妨设在上则在有
其中m,M分别为在上的最小值与最大值,则有:
若,则由上式知,从而对上任何一点,定理都成立。
若则由上式得:
则在上至少有一点,使得
即:
显然,当时,
(2)式即为
(1)式
二、积分中值定理的应用
由于该定理可以使积分号去掉,从而使问题简化,对于证明包含函数积分和某个函数值之间关系的等式或不等式,常可以考虑使用积分中值定理,
在应用积分中值定理时应注意以下几点:
(1)在应用中要注意被积函数在区间上连续这一条件,否则,结论不一定成立。
例如:
显然在处间断。
由于
但在上,,所以,对任何都不能使.
(2)定理中的在上不变号这个条件也不能去掉.
例如:
令:
所以,不存在,使
(3)定理中所指出的并不一定是唯一的,也不一定必须是的内点。
都有:
这也说明了未必是区间的内点。
下面就其应用进行讨论。
1、估计定积分的值
例1、估计的值
解:
由推广的积分第一中值定理:
,其中
即:
2、求含有定积分的极限
例2、求
解:
若直接用中值定理
因为而不能严格断定。
其症结在于没有排除,故采取下列措施:
,其中为任意小的正数。
对第一个积分使用推广的积分第一中值定理,有:
而第二个积分:
由于的任意性知其可任意小。
注:
求解此类问题的关键是使用积分中值定理去掉积分符号。
在应用该定理时,要注意中值不仅依赖于积分区间,而且还依赖于限式中自变量的趋近方式。
3、证明中值的存在性命题
例3、设函数在上连续,在内可导,且
证明:
由积分中值定理得:
注:
在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时,一般应用按积分中值定理。
4、证明积分不等式
例4、求证
证明:
其中,于是由即可获证.
注:
由于积分具有许多特殊的运算性质,故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性.在证明含有定积分的不等式时,也常考虑用积分中值定理,以便去掉积分符号,若被积函数是两个函数之积时,可考虑用广义积分中值定理。
5证明函数的单调性
例5、设函数在上连续,,试证:
在内,若为非减函数,则为非增函数.
证明:
对上式求导,得:
利用积分中值定理,得:
若为非减函数,则,
,故为非增函数。
参考文献:
1、《数学分析》刘玉琏,傅沛仁编,高等教育出版社,上海1988年出版。
2、《高等数学解题方法指导》,马玲主编,大连理工大学出版社,大连1996年出版。
3、《高等数学题库精编》,薛嘉庆主编,东北大学出版社,沈阳2000年3月出版。
白永丽:
平顶山工业职业技术学院邮编467000
电话13353753272
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