中考数学一轮复习精品讲义含中考真题第五章 相交线与平行线Word格式.docx
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例4如图5-135所示,已知AB∥CD,EF分别交AB,CD于G,H,GM,HN分别平分∠AGF,∠EHD.试说明GM∥HN.
分析要说明GM∥HN,可说明∠1=∠2,而由GM,HN分别为∠AGF,∠EHD的平分线,可知∠1=
∠AGF,∠2=
∠EHD,又由AB∥CD,有∠AGF=∠EHD,故有∠1=∠2,从而结论成立.
解:
因为GM,HN分别平分∠AGF,∠EHD(已知),
所以∠1=
∠AGF,
∠2=
∠EHD(角平分线定义).
又因为AB∥CD(已知),
所以∠AGF=∠EHD(两直线平行,内错角相等),
所以∠1=∠2,
所以GM∥HN(内错角相等,两直线平行).
【解题策略】此题考查平行线的性质、判定以及角平分线的综合应用.
例5如图5-136所示,已知AB∥CD,BC∥DE.试说明∠B=∠D.
分析条件为直线平行,故可根据平行线的性质说明.
所以∠B=∠C(两直线平行,内错角相等).
因为BC∥DE(已知),
所以∠C=∠D(两直线平行,内错角相等).
【解题策略】此题重点考查了平行线的性质的应用.
例6如图5-137所示,已知AB∥CD,G为AB上任一点,GE,GF分别交CD于E,F.试说明∠1+∠2+∠3=180°
分析要说明180°
问题,想到了“平角”和“两直线平行,同旁内角互补”这两个知识点,故可用它们解决问题.
所以∠4=∠2,∠3=∠5(两直线平行,内错角相等).
因为∠4+∠1+∠5=180°
(平角定义),
所以∠2+∠1+∠3=180°
(等量代换).
【解题策略】此题把说明∠2+∠1+∠3=180°
转化为说明∠1+∠5+∠4=180°
,应用等量代换解决了问题.
例7如图5-138所示,AB,DC相交于点O,OE,OF分别平分∠AOC,∠BOC.试说明OE⊥OF
因为OE,OF分别平分∠AOC与∠BOC(已知),
所以∠1=
∠AOC,∠2=
∠BOC(角平分线定义).
所以∠1+∠2=
∠AOC+
∠BOC
=
(∠AOC+∠BOC).
又因为∠AOC+∠BOC=180°
(邻补角定义),
×
180°
=90°
,
所以OE⊥OF(垂直定义).
【解题策略】根据角平分线定义将∠1和∠2分别转化为
∠AOC和
∠BOC是解此题的关键.
例8如图5-139所示,已知AB∥CD,∠CED=90°
.试说明∠1+∠2=90°
所以∠3=∠1,∠4=∠2(两直线平行,内错角相等).
因为∠3+∠4+∠CED=180°
∠CED=90°
(已知),
所以∠3+∠4=90°
所以∠1+∠2=90°
【解题策略】根据两直线平行分别将∠1和∠2转化为∠3和∠4,再根据平角定义由∠3+∠4+∠CED=180°
和已知∠CED=90°
可说明∠1+∠2=90°
例9如图5-140所示,在三角形ABC中,CD⊥AB于D,FG⊥AB于G,ED∥BC.试说明∠1=∠2.
因为CD⊥AB,FG⊥AB(已知),
所以∠CDB=∠FGB=90°
(垂直定义),
所以∠2=∠3(两直线平行,同位角相等).
因为DE∥BC(已知),
所以∠1=∠3(两直线平行,内错角相等),
所以∠1=∠2(等量代换).
【解题策略】多次运用平行线的性质说明∠1,∠2,∠3的关系.
二、规律方法专题
专题2基本命题的计算与证明
【专题解读】基本命题的计算与证明涉及的题型有
(1)有关角的计算;
(2)有关角相等的判定;
(3)判定平行问题;
(4)判定垂直问题;
(5)判定共线问题.
例10如图5-141所示,已知∠4=70°
,∠3=110°
,∠1=46°
,求∠2的度数.
分析由∠3+∠4=180°
,知AB∥CD,故∠2=180°
-∠1.
因为∠4=70°
所以∠4+∠3=180°
所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行),
所以∠2=180°
-∠1=180°
-46°
=134°
(两直线平行,同旁内角互补).
【解题策略】此题考查由同旁内角互补判定两直线平行,由两直线平行可行同旁内角互补,从而计算相关的角.
例11如图5-142所示,AB∥CD,EB∥DF.试说明∠1=∠2.
所以∠1+∠3=∠2+∠4(两直线平行,内错角相等).
因为EB∥DF(已知),
所以∠3=∠4(两直线平行,内错角相等),
所以∠1=∠2(等式性质).
【解题策略】判定角相等的方法有:
(1)同角(等角)的余角相等;
(2)同角(等角)的补角相等;
(3)对顶角相等;
(4)角平分线定义;
(5)两直线平行,同位角相等;
(6)两直线平行,内错角相等.
例12如图5-143所示,DF∥AC,∠1=∠2.试说明DE=AB.
分析要说明DE∥AB,可说明∠1=∠A,而由DF∥AC,有∠2=∠A.又因为∠1=∠2,故有∠1=∠A,从而得出结论.
因为DF∥AC(已知),
所以∠2=∠A(两直线平行,同位角相等).
因为∠1=∠2(已知),所以∠1=∠A(等量代换),
所以DE∥AB(同位角相等,两直线平行).
【解题策略】判定平行的方法有:
(1)平行于同一条直线的两直线平行;
(2)垂直于同一条直线的两直线平行;
(3)同位角相等,两直线平行;
(4)内错角相等,两直线平行;
(5)同旁内角互补,两直线平行.
例13如图5-144所示,∠1=∠2,CD∥EF.试说明EF⊥AB.
分析要说明EF⊥AB,可说明∠2=90°
,而由CD∥EF,可得∠1+∠2=180°
,又∠1=∠2,所以有∠1=∠2=90°
,从而得出结论.
因为CD∥EF(已知),
所以∠1+∠2=180°
又因为∠1=∠2(已知),所以∠1=∠2=90°
所以EF⊥AB(垂直定义).
【解题策略】判定垂直的方法有:
(1)说明两条相交线的一个交角为90°
;
(2)说明邻补角相等;
(3)垂直于平行线中的一条,也必垂直于另一条.
例14如图5-145所示,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOC,OF平分∠BOD.试说明E,O,F三点在一条直线上.
分析要说明E,O,F三点共线,只需说明∠EOF=180°
因为AB,CD相交于点O(已知),
所以∠AOC=∠BOD(对顶角相等).
因为OE,OF分别平分∠AOC与∠BOD(已知),
∠AOC,
∠2=
∠BOD(角平分线定义),
因为∠1+∠EOD=180°
所以∠2+∠EOD=180°
(等量代换),
即∠EOF为平角,所以E,O,F三点共线.
【解题策略】判定三点共线问题的方法有:
(1)构成平角;
(2)利用平行公理说明;
(3)利用垂线的性质说明.
三、思想方法专题
专题3转化思想
【专题解读】在计算过程中,我们总是想办法将未知的转化为已知的.
例15如图5-146所示,直线AB,CD相交于点O,OD平分∠AOE,且∠COA:
∠AOD=7:
2,求∠BOE的度数.
分析欲求∠BOE,因为∠BOE与∠AOE互为邻补角,所以可先求∠AOE,而∠AOE=2∠AOD,所以只需求∠AOD即可,由已知条件可求得∠AOD.
∵∠COA+∠AOD=180°
∠COA:
2,
∴∠COA=
=140°
∠AOD=
=40°
∵OD平分∠AOE,
∴∠AOE=2∠AOD=2×
40°
=80°
∴∠BOE=180°
-∠AOE=180°
-80°
=100°
【解题策略】互为邻补角的两个角的和为180°
、对顶角相等是在有关求角的大小的问题中常用的两个等量关系,要注意发现图形中的这两种角,它们常隐藏在直线条件的背后.
2011中考真题相交线与平行线精选
一、选择题
1.(2011云南保山2,3分)如图,l1∥l2,∠1=120°
,则∠2=.
考点:
平行线的性质;
对顶角、邻补角。
分析:
由邻补角的定义,即可求得∠3的度数,又由l1∥l2,根据两直线平行,同位角相等,即可求得∠2的度数.
解答:
∵∠1=120°
∴∠3=180°
﹣∠1=60°
∵l1∥l2,
∴∠2=∠3=60°
.
故答案为:
60.
点评:
此题考查了平行线的性质与邻补角的定义.注意两直线平行,同位角相等.
2.(2011•南通)如图,AB∥CD,∠DCE=80°
,则∠BEF=( )
A、120°
B、110°
C、100°
D、80°
专题:
计算题。
根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF=180°
,代入求出即可.
∵AB∥CD,∴∠DCE+∠BEF=180°
,∵∠DCE=80°
,∴∠BEF=180°
﹣80°
.故选C.
本题主要考查对平行线的性质,邻补角的定义等知识点的理解和掌握,根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF=180°
是解此题的关键.
3.(2011山东日照,3,3分)如图,已知直线AB∥CD,∠C=125°
,∠A=45°
,那么∠E的大小为( )
A.70°
B.80°
C.90°
D.100°
三角形内角和定理;
平行线的性质。
根据两直线平行,同位角相等,求得∠EFA=55°
,再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数.
∵AB∥CD,∠C=125°
∴∠EFB=125°
∴∠EFA=180﹣125=55°
∵∠A=45°
∴∠E=180°
﹣∠A﹣∠EFA=180°
﹣45°
﹣55°
故选B.
本题应用的知识点为:
两直线平行,同位角相等;
三角形内角和定理.
4.(2011山西,5,2分)如图所示,∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜,∠AOB=35°
,在OB上有一点E,从E点射出一束光线经OA上的点D反射后,反射光线DC恰好与OB平行,则∠DEB的度数是()
A.35°
B.70°
C.110°
D.120°
平行线的性质,三角形的外角,多学科综合
相交线与平行线
由DC∥OB得∠ADC=∠AOB=35°
,又由反射角相等知∠ADC=∠ODE=35°
,因为∠DEB是△ODE的外角,所以∠DEB=∠ODE+∠AOB=70°
B
利用反射角相等得出∠ADC=∠ODE=35°
.掌握平行线的性质,三角形的外角以及反射角相等.
5.(2011台湾,8,4分)如图中有四条互相不平行的直线L1.L2.L3.L4所截出的七个角.关于这七个角的度数关系,下列何者正确( )
A.∠2=∠4+∠7B.∠3=∠1+∠6C.∠1+∠4+∠6=180°
D.∠2+∠3+∠5=360°
对顶角.邻补角;
三角形的外角性质。
根据对顶角的性质得出∠1=∠AOB,再用三角形内角和定理得出得出∠AOB+∠4+∠6=180°
,即可得出答案.
∵四条互相不平行的直线L1.L2.L3.L4所截出的七个角,
∵∠1=∠AOB,
∵∠AOB+∠4+∠6=180°
∴∠1+∠4+∠6=180°
故选C.
此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理,正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键.
6.(2011新疆建设兵团,3,5分)如图,AB∥CD,AD和BC相交于点O,∠A=40°
,∠AOB=75°
则∠C等于( )
A、40°
B、65°
C、75°
D、115°
考点:
平行线的性质.
分析:
由∠A=40°
,根据三角形内角和定理,即可求得∠B的度数,又由AB∥CD,根据两直线平行,内错角相等,即可求得∠C的值.
解答:
∵∠A=40°
∴∠B=180°
﹣∠A﹣∠AOB=180°
﹣40°
﹣75°
=65°
∵AB∥CD,
∴∠C=∠B=65°
点评:
此题考查了平行线的性质与三角形内角和定理.解题的关键是掌握两直线平行,内错角相等的定理的应用.
7.(2011重庆綦江,5,4分)如图,直线a∥b,AC丄AB,AC交直线b于点C,∠1=65°
,则∠2的度数是( )
A.65°
B.50°
C.35°
D.25°
几何计算题。
首先由AC丄AB与∠1=65°
,求得∠B的度数,然后由a∥b,根据两直线平行,同位角相等,即可求得∠2的度数.
∵AC丄AB,
∴∠BAC=90°
∴∠1+∠B=90°
∵∠1=65°
∴∠B=25°
∵a∥b,
∴∠2=∠B=25°
故选D.
此题考查了平行线的性质与垂直的定义.题目比较简单,解题时要注意数形结合思想的应用.
8.(2010重庆,4,4分)如图,AB∥CD,∠C=80°
,∠CAD=60°
,则∠BAD的度数等于()
A.60°
B.50°
C.45°
D.40°
平行线的性质
根据三角形的内角和为180°
,即可求出∠D的度数,再根据两直线平行,内错角相等即可知道∠BAD的度数.
∵∠C=80°
,∠CAD=60°
,∴∠D=180°
﹣60°
,∵AB∥CD,∴∠BAD=∠D=40°
.故选D.
本题考查了三角形的内角和为180°
,以及两直线平行,内错角相等的性质,难度适中.
9.(2011湖北潜江,5,3分)如图,AB∥EF∥CD,∠ABC=46°
,∠CEF=154°
,则∠BCE等于( )
A.23°
B.16°
C.20°
D.26°
根据平行线的性质得到∠BCD=∠ABC=46°
,∠FEC+∠ECD=180,求出∠ECD,根据∠BCE=∠BCD—∠ECD求出即可.
∵AB∥EF∥CD,∠ABC=46°
∴∠BCD=∠ABC=46°
,∠FEC+∠ECD=180°
∴∠ECD=180°
—∠FEC=26°
∴∠BCE=∠BCD—∠ECD=46°
—26°
=20°
本题主要考查对平行线的性质的理解和掌握,能熟练地运用平行线的性质进行计算是解此题的关键.
10.(2011•河池)如图,AB∥CD,AC与BD相交于点O,∠A=30°
,∠COD=105°
.则∠D的大小是( )
A、30°
B、45°
C、65°
D、75°
三角形内角和定理。
首先根据两直线平行,内错角相等得出∠C=∠A=30°
,然后由△COD的内角和为180°
,求出∠D的大小.
∴∠C=∠A=30°
在△COD中,∵∠C+∠COD+∠D=180°
∴∠D=180°
﹣30°
﹣105°
=45°
本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理,属于基础题型,比较简单.
11.(2011•安顺)如图,己知AB∥CD,BE平分∠ABC,∠CDE=150°
,则∠C的度数是( )
A、100°
C、120°
D、150°
由∠CDE=150°
,根据邻补角的定义,即可求得∠CDB的度数,又由AB∥CD,根据两直线平行,内错角相等,即可求得∠ABD的度数,由BE平分∠ABC,求得∠ABC的度数,然后根据两直线平行,同旁内角互补,求得∠C的度数.
∵∠CDE=150°
∴∠CDB=180°
﹣∠CDE=30°
∴∠ABE=∠CDB=30°
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠ABD=60°
∴∠ABC+∠C=180°
∴∠C=180°
﹣∠ABC=120°
此题考查了平行线的性质,邻补角的定义与角平分线的定义.解题的关键是注意掌握两直线平行,内错角相等与两直线平行,同旁内角互补定理的应用.
12.(2011•德州,4,3分)如图,直线l1∥l2,∠1=40°
,∠2=75°
,则∠3等于( )
A、55°
B、60°
C、65°
D、70°
对顶角、邻补角;
设∠2的对顶角为∠5,∠1在l2上的同位角为∠4,结合已知条件可推出∠1=∠4=40°
,∠2=∠5=75°
,即可得出∠3的度数
∵直线l1∥l2,∠1=40°
∴∠1=∠4=40°
∴∠3=65°
本题主要考查三角形的内角和定理,平行线的性质和对顶角的性质,关键在于根据已知条件找到有关相等的角.
13.(2011•临沂,3,3分)如图.己知AB∥CD,∠1=70°
A、60°
B、70°
C、80°
D、110
由AB∥CD,根据两直线平行,同位角相等,即可求得∠2的度数,又由邻补角的性质,即可求得∠2的度数.
∴∠1=∠3=70°
∵∠2+∠3=180°
∴∠2=110°
此题考查了平行线的性质.注意数形结合思想的应用.
14.(2011泰安,8,3分)如图,l∥m,等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上,若∠β=20°
,则∠α的度数为( )
A.25°
B.30°
C.20°
D.35°
根据平角的定义求出∠ACR,根据平行线的性质得出∠FDC=∠ACR=70°
,求出∠AFD,即可得到答案.
∵∠β=20°
,∠ACB=90°
∴∠ACR=180°
-90°
-20°
=70°
∵l∥m,
∠FDC=∠ACR=70°
∴∠AFD=∠FDC-∠A=70°
-45°
=25°
∴∠a=∠AFD=25°
故选A.
本题主要考查对平行线的性质,三角形的外角性质,对顶角.邻补角等知识点的理解和掌握,求出∠AFD的度数是解此题的关键.
15.(2011四川泸州,4,2分)如图,∠1与∠2互补,∠3=135°
,则∠4的度数是( )
A.45°
B.55°
C.65°
D.75°
平行线的判定与性质;
对顶角、邻补角.专题:
计算题.
因为∠1与∠2互补,所以a∥b,又因为∠3=∠5,所以∠4与∠5互补,则∠4的度数可求.
∵∠1与∠2互补,
∴a∥b,
∵∠3=∠5,
∴∠5=135°
∴∠4与∠5互补,
∴∠4=180°
-135°
本题考查平行线的判定与性质,正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键.
16.如图,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,如果
∠1=32°
,那么∠2的度数是( )
A、32°
B、58°
C、68°
D、60°
【
答案】B
【考点】平行线的性质;
余角和补角.
【专题】计算题
【分析】本题主要利用两直线平行,同位角相等及余角的定义作答.
【解答】解:
根据题意可知∠1+∠2=90°
,所以∠2=90°
-∠1=58°
.故选B.
【点评】主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质.互为余角的两角的和为90°
.解此题的关键是能准确的从图中找出这两个角之间的数量关系,从而计算出结果.
17.(2011•南充,3,3分)如图,直线DE经过点A,DE∥BC,∠B=60°
,下列结论成立的是( )
A、∠C=60°
B、∠DAB=60°
C、∠EAC=60°
D、∠BAC=60°
几何图形问题。
根据平行线的性质,根据内错角相等,逐个排除选项即可得出结果.
A、无法判断,故本选项错误,
B、∠B=60°
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