对数与对数运算上课教学方案设计Word文档下载推荐.docx

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　　可设取x次，则有12x＝0.125，

　　抽象出：

12x＝0.125&

#8658;

x＝？

　　2．XX年我国GDP为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年GDP是XX年的2倍？

设经过x年，则有x＝2，抽象出：

x＝2&

　　让学生根据题意，设未知数，列出方程．这两个例子都出现指数是未知数x的情况，让学生思考如何表示x，激发其对对数的学习兴趣，培养学生的探究意识．生活及科研中还有很多这样的例子，因此引入对数是必要的．

　　讲授新课

　　一、对数的概念[

　　一般地，如果ax＝N，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

　　注意：

底数的限制：

a＞0且a≠1；

　　对数的书写格式

　　正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数函数定义域的确定做准备．同时注意对数的书写格式，避免因书写不规范而产生的错误．

　　二、对数式与指数式的互化：

　　幂底数←a→对数底数

　　指数←b→对数

　　幂←N→真数

　　思考：

　　为什么对数的定义中要求底数a＞0且a≠1?

　　是否是所有的实数都有对数呢？

　　负数和零没有对数

　　让学生了解对数与指数的关系，明确对数式与指数式形式的区别，a，b和N位置的不同，及它们的含义．互化体现了等价转化这个重要的数学思想.

　　三、两个重要对数

　　常用对数：

以10为底的对数log10N，简记为lgN；

　　自然对数：

以无理数e＝2.71828…为底的对数logeN，简记为lnN.

两个重要对数的书写

　　这两个重要对数一定要掌握，为以后的解题以及换底公式作准备．

　　课堂练习

　　．将下列指数式写成对数式：

　　24＝16；

3－3＝127；

5a＝20；

12b＝0.45.

　　2．将下列对数式写成指数式：

　　log5125＝3；

＝－2；

log10a＝－1.069.

　　3．求下列各式的值：

　　log264；

log927.

　　本练习让学生独立阅读课本例1和例2后思考完成，从而熟悉对数式与指数式的相互转化，加深对对数概念的理解．并要求学生指出对数式与指数式互化时应注意哪些问题，培养学生严谨的思维品质．

　　四、对数的性质

　　探究活动1

　　求下列各式的值：

　　log31＝0；

lg1＝0；

　　log0.51＝0；

ln1＝0.

你发现了什么？

　　“1”的对数等于零，即loga1＝0，类比：

a0＝1．

　　探究活动由学生独立完成后，通过思考，然后分小组进行讨论，最后得出结论．通过练习与讨论的方式，让学生自己得出结论，从而能更好地理解和掌握对数的性质．培养学生类比、分析、归纳的能力.

　　探究活动2

　　log33＝1；

lg10＝1；

log0.50.5＝1；

lne＝1.

　　底数的对数等于“1”，即logaa＝1，类比：

a1＝a．

　　探究活动3

　　＝3；

＝0.6；

＝89.

　　对数恒等式：

＝N．

　　探究活动4

　　log334＝4；

log0.90.95＝5；

lne8＝8.

logaan＝n.

　　讲

　　授

　　新

　　课

　　小结

　　负数和零没有对数；

　　“1”的对数等于零，即loga1＝0；

　　底数的对数等于“1”，即logaa＝1；

＝N；

　　将学生归纳的结论进行小结，从而得到对数的基本性质．

　　归纳小结，强化思想

　　．引入对数的必要性——对数的概念

　　一般地，如果ax＝N，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.

　　2．指数与对数的关系

　　3．对数的基本性质

loga1＝0；

logaa＝1；

　　总结是一堂课内容的概括，有利于学生系统地掌握所学内容．同时，将本节内容纳入已有的知识体系中，发挥承上启下的作用．为下一课时对数的运算打下扎实的基础．

　　作业

　　布置

　　一、课本习题2.2A组第1,2题．

　　二、已知loga2＝x，loga3＝y，求a3x＋2y的值．

　　三、求下列各式的值：

　　；

；

.

　　作业是学生信息的反馈，教师可以在作业中发现学生在学习中存在的问题，弥补教学中的不足．

　　板书

　　设计

　　引例1

　　引例2

　　一、对数的定义

　　二、对数式与指数式的

　　互化练习

　　三、对数的基本性质

　　四、小结

　　五、作业布置

　　教学反思

　　本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对对数的学习兴趣；

在讲授新课部分，通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动，加深学生对对数的认识；

最后通过课堂练习来巩固学生对对数的掌握．

　　第2课时

卢岩冰

　　．知识与技能

　　通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数的运算性质进行运算、求值、化简，并掌握化简求值的技能．

　　运用对数的运算性质解决有关问题．

　　培养学生分析、解决问题的能力．

　　培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度．

　　2．过程与方法

　　让学生经历并推导出对数的运算性质．

　　让学生归纳整理本节所学的知识．

　　3．情感态度与价值观

　　让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性．

对数运算的性质与对数知识的应用．

正确使用对数的运算性质．

　　导入新课

　　思路1．上节课我们学习了以下内容：

　　．对数的定义．

　　2．指数式与对数式的互化．

　　ab＝N&

#8660;

logaN＝b.

　　3．重要性质：

　　负数与零没有对数；

loga1＝0，logaa＝1；

对数恒等式＝N.

　　下面我们接着讲对数的运算性质〔教师板书课题：

对数与对数运算〕．

　　思路2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则：

　　am&

#8226;

an＝am＋n；

am÷

an＝am－n；

n＝amn；

man＝.

　　从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？

答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题：

对数与对数运算．

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算的性质，得出相应的对数运算的性质吗？

　　如我们知道am＝m，an＝N，am&

an＝am＋n，那m＋n如何表示，能用对数式运算吗？

　　在上述的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？

　　你能否用最简练的语言描述上述结论？

如果能，请描述.

　　上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？

　　上述结论能否推广呢？

　　学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？

　　讨论结果：

通过问题来说明．

　　若am&

an＝am＋n，m＝am，N＝an，于是mN＝am＋n，由对数的定义得到m＝am&

m＝logam，N＝an&

n＝logaN，mN＝am＋n&

m＋n＝logamN，logamN＝logam＋logaN.

　　因此m＋n可以用对数式表示．

　　令m＝am，N＝an，则mN＝am÷

an＝am－n，所以m－n＝logamN.

　　又由m＝am，N＝an，所以m＝logam，n＝logaN.

　　所以logam－logaN＝m－n＝logamN，即logamN＝logam－logaN.

　　设m＝am，则mn＝n＝amn.由对数的定义，

　　所以logam＝m，logamn＝mn.所以logamn＝mn＝nlogam，即logamn＝nlogam.

　　这样我们得到对数的三个运算性质：

　　如果a＞0，a≠1，m＞0，N＞0，则有

　　loga＝logam＋logaN；

①

　　logamN＝logam－logaN；

②

　　logamn＝nlogam．③

　　以上三个性质可以归纳为：

　　性质①：

两数积的对数，等于各数的对数的和；

　　性质②：

两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；

　　性质③：

幂的对数等于幂指数乘以底数的对数．

　　利用对数运算性质进行运算，所以要求a＞0，a≠1，m＞0，N＞0.

　　性质①可以推广到n个数的情形：

　　即loga＝logam1＋logam2＋logam3＋…＋logamn．

　　纵观这三个性质我们知道，

　　性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．

　　性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．

　　性质③从左往右仍然是降级运算．

　　利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，方便了对数式的化简和求值．

　　应用示例

　　例1用logax，logay，logaz表示下列各式：

　　logaxyz；

logax2y3z.

　　活动：

学生思考观察，教师巡视，检查学生解题情况，发现问题及时纠正．

　　利用对数的运算性质，把整体分解成部分．

　　对logaxyz，可先利用性质②，转化为两数对数的差，再利用性质①，把积的对数转化为两数对数的和．

　　对logax2y3z，可先利用性质②，转化为两数对数的差，再利用性质①，把积的对数转化为两数对数的和，最后利用性质③，转化为幂指数与底数的对数的积．

　　解：

logaxyz＝loga－logaz＝logax＋logay－logaz；

　　logax2y3z＝loga－loga3z

　　＝logax2＋logay－loga3z＝2logax＋12logay－13logaz.

　　点评：

对数的运算性质实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．

　　变式训练

　　．若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子正确的个数为

　　①logax&

logay＝loga；

②logax－logay＝loga；

　　③logaxy＝logax÷

logay；

④loga＝logax&

logay.

　　A．0

　　B．1

　　c．2

　　D．3

　　答案：

A

　　2．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，n∈N*，下列式子正确的个数为

　　①n＝nlogax；

②n＝logaxn；

③logax＝－loga1x；

　　④logaxlogay＝logaxy；

⑤nlogax＝1nlogax；

⑥1nlogax＝loganx；

　　⑦logaxn＝nlogax；

⑧logax－yx＋y＝－logax＋yx－y.

　　A．3

　　B．4

　　c．5

　　D．6

B

　　例2求值：

log3127.

解法一：

设，则x＝33＝3，所以x＝3.

　　解法二：

　　解法一：

令x＝log3127，则3x＝127，即3x＝3－3，所以x＝－3.

log3127＝log33－3＝－3.

　　例3计算：

　　lg14－2lg73＋lg7－lg18；

lg243lg9；

lg27＋lg8－3lg10lg1.2.

lg14－2lg73＋lg7－lg18＝lg－2＋lg7－lg＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.

lg14－2lg73＋lg7－lg18＝lg14－lg732＋lg7－lg18＝lg14×

7732×

18＝lg1＝0.

　　lg243lg9＝lg35lg32＝5lg32lg3＝52.

　　lg27＋lg8－3lg10lg1.2＝＝32lg3＋2lg2－1＝32.

此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；

题要避免错用对数的运算性质．对数运算性质的灵活运用、运算性质的逆用常被学生所忽视．

　　例4设x＝log23，求23x－2－3x2x－2－x的值．

学生思考观察，教师引导，学生有困难及时提示并评价学生的思考过程．本题主要考查对数的定义及其运算性质．先利用对数的定义求2x，再求23x，从而可求，或先化简再代入求值．

由x＝log23，得2x＝3,2－x＝13，所以23x－2－3x2x－2－x＝33－1333－13＝32＋3×

13＋132＝919.

由x＝log23，得2x＝3,2－x＝13，所以23x－2－3x2x－2－x＝2x－2－x＝22x＋1＋2－2x＝32＋1＋132＝919.

　　知能训练

　　课本本节练习第1,2,3题．

　　【补充练习】

　　．用logax，logay，logaz，loga，loga表示下列各式：

　　loga3xy2z；

logax&

4z3y2；

logaxyx2－y2；

　　logax＋yx－y&

y；

logayx3.

loga3xy2z＝loga3x－logay2z＝13logax－＝13logax－2logay－logaz；

　　logax&

4z3y2＝logax＋loga4z3y2＝logax＋14

　　＝logax－24logay＋34logaz＝logax－12logay＋34logaz；

　　＝logax＋＋

　　＝logax＋12logay－23logaz；

　　logaxyx2－y2＝logaxy－loga＝logax＋logay－loga

　　＝logax＋logay－loga－loga；

y＝logax＋yx－y＋logay＝loga－loga＋logay；

　　logayx3＝3[logay－logax－loga]＝3logay－3logax－3loga．

　　2．已知f＝log2x，则f等于

　　A．43

　　B．8

　　c．18

　　D．12

　　解析：

因为f＝log2x，x＞0，令x6＝8，得，所以f＝＝12.

　　另解：

因为f＝log2x＝16log2x6，所以f＝16log2x.

　　所以f＝16log28＝16log223＝12.

D

　　拓展提升

　　已知x，y，z＞0，且lgx＋lgy＋lgz＝0，求的值．

学生讨论、交流、思考，教师可以引导．大胆设想，运用对数的运算性质．由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为t.

令，则lgt＝1lgy＋1lgzlgx＋1lgz＋1lgxlgy＋1lgx＋1lgylgz＝lgxlgy＋lgxlgz＋lgylgz＋lgylgx＋lgzlgx＋lgzlgy＝lgx＋lgzlgy＋lgx＋lgylgz＋lgy＋lgzlgx＝－lgylgy＋－lgzlgz＋－lgxlgx＝－3，所以t＝10－3＝11000即为所求．

　　课堂小结

　　．对数的运算性质．

　　2．对数的运算性质的综合应用，特别是性质的逆向使用．

　　3．对数与指数形式比较：

　　式子

　　ab＝N

　　logaN＝b

　　名称

　　a——幂的底数

　　b——幂的指数

　　N——幂值

　　a——对数的底数

　　b——以a为底的N的对数

　　N——真数

　　运算

　　性质

　　am÷

　　n＝amn；

　　logamn＝nlogam；

　　课本习题2.2A组　3,4,5.

　　设计感想

　　在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便，本节课我们借助指数的运算性质，推出了对数的运算性质，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性质的认识类比指数的运算性质来理解记忆，强化性质的使用条件，注意对数式中每一个字母的取值范围，由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练习的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．

　　第3课时

刘菲

　　推导对数的换底公式，培养学生分析、解决问题的能力，培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度．

　　让学生经历推导对数的换底公式的过程，归纳整理本节所学知识．

　　通过对数的运算性质、对数换底公式的学习，培养学生的探究意识，培养学生的严谨的思维品质；

感受对数的广泛应用．

对数的运算性质、换底公式及其应用．

正确使用对数的运算性质和换底公式．

　　思路1．问题：

你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？

a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，logab＝logcblogca.教师直接点出课题：

对数与对数运算——对数的换底公式及其应用．

　　思路2．前两节课我们学习了以下内容：

1．对数的定义及性质；

2．对数恒等式；

3．对数的运算性质，用对数的运算性质我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？

这就是本堂课的主要内容．教师板书课题：

　　思路3．从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？

这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题：

　　已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求log23的值；

　　根据，如a＞0，a≠1，你能用含a的对数式来表示log23吗？

　　更一般地，我们有logab＝logcblogca，如何证明？

　　证明logab＝logcblogca的依据是什么？

　　你能用自己的话概括出换底公式吗？

　　换底公式的意义是什么？

有什么作用？

学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；

对参考的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；

对借助的思路，利用对数的定义来证明；

对根据证明的过程来说明；

对抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；

对换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了．

因为lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，根据对数的定义，所以100.3010＝2,100.4771＝3.

　　不妨设log23＝x，则2x＝3，所以x＝100.4771,100.3010×

x＝100.4771，

　　即0.3010x＝0.4771，x＝0.47710.3010＝lg3lg2.因此log23＝lg3lg2＝0.47710.3010≈1.5850.

　　根据我们看到，最后的结果是log23用lg2与lg3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，

　　不妨设log23＝x，由对数定义知道，2x＝3，

　　两边都取以a为底的对数，得loga2x＝loga3，xloga2＝loga3，x＝loga3loga2，

　　也就是log23＝loga3loga2.

　　这样log23就表示成了以a为底的3的对数与以a为底的2的对数的商．

　　证明logab＝logcblogca.

　　证明：

设logab＝x，由对数定义知道，ax＝b；

　　两边取以c为底的对数，得logcax＝logcb&

xlogca＝logcb；

　　所以x＝logcblogca，即logab＝logcblogca.

　　一般地，loga