线性代数模拟试题及答案Word下载.docx
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(A)4/3;
(B)3/4;
(C)1/2;
(D)1/4。
、计算(2道题,
共16分)
1•设行列式D=
7
,求M31M32M33M34(其中
M“,M32,M33,M34分别是第三行各个元素的对应的余子式)
O
6
a1
b2
a2
2•计算
(n1)
bn-1
bn1
b
n1
an1
bn
an
(本题12分)
得分
阅卷人
已知A,B
为3
阶矩阵,
E表示
3阶单位阵,
且A
10
(1)求A
;
(2)证明矩
•巨阵(A
E)为逆矩阵;
(3)若矩阵
A,
B满足ABE
A2
B,证明BA
E。
五、(本题12分)得分问k取何值时,方程组
X1
X2
2x3
3x4
3x2
6X3
X4
3x1
kx3
15x4
5x2
10X3
12X4
1•有唯一解;
2•有无穷多解,并求通解。
求:
(1)向量组A的秩RA;
(2)向量组A线性相关性;
(3)向量组A的一个最大无关组。
七、(本题10分)
已知二次型f(x1,x2,x3)xfx;
xf2ax2x32x1x3(其中a为待定系
数)经过正交变换xPy化为f2y;
yf,试回答下列问题:
(1)写出二次型的矩阵A可以含待定系数a;
(2)写出A的全部特征值;
⑶利用
(1)、
(2)求出a的值
八、(本题5分)
在R3中,取两组基
组:
1(1,0,1)T,2(1,1,0)T,3(0,1,2)T
试回答:
(1)非齐次方程组Ax是几元的?
(3)写出方程组Ax的通解
《线性代数期末模拟试题二》
1•若A1
0,则ata
5•若A
捲
X3
2.
方程组
的唯一解为
a
3.
当k为何值时,方程组
2x1
kx2
kx1
2X2
k
1.有唯一解;
2.有无穷多解;
3.无解。
02
12,求正交矩阵Q和对角阵,使QAQ
20
五、(8分)
3,A[
1,2
3.方程组Ax=0有非零解的充要条件是k满足k=3ork=-4
4•若Ax=0的基础解系为[1,1,1]T,则k=
在括号内填上唯一选择项的代号:
1.设3个同阶方阵A,P,Q分别为对称阵,可逆阵,正交阵,下列四个矩阵变换中,保持A的秩、行列式的值、特征值和对称性都不变的矩阵变换是()
(1)P1APB,
(2)PAQ
T1
C,(3)P'
APF,(4)Q1AQH
2.设A,B均为n阶方阵,在下列各项中只有()正确
(1)若Am0,BM0,则AB^0;
(2)若A和B都是对称矩阵,则AB也是对称矩阵;
(3)若AB不可逆,则A和B都不可逆;
(4)若AB可逆,则A和B都可逆
3.设n阶矩阵A,B,C满足关系式ABC=I,则
(2)成立。
设f(X1,X2,X3,X4)5(x2X2)k(xfx42x1X2)4x3X4
(1)ACB=I;
(2)BCA=I;
(3)BAC=I;
⑷CBA=I。
4.设A
ajmn,Bbijnm,则(
3)。
(1)
当m<
n时,AB可逆;
(2)当
m<
n时,AB不可逆;
(3)
当m>
(4)当
m>
n时,AB可逆。
5.设A
ajmn,若mn,贝U(
)°
A的列向量组线性无关;
(2)
A的列向量组线性相关;
A的行向量组线性无关;
(4)A的行向量组线性相关。
七、(12分)
1.求该二次型对应的对称阵A;
2.当k满足什么条件时A正定?
1.证明:
若n阶实对称阵A的两个不同的特征值和对应的特征向量依次为P和q,则p和q正交。
2.设A和B都是n阶方阵,x为n维向量,r(AB)r(B)r,则(AB)x0与Bx0同解。
《线性代数期末模拟试题三》
、填空(每小题填对者得4分,填错或不填者一律不得分,共16分)
1.设aj(i,j1,2,,n)为n阶行列式D的元素,Aj为元素aj的代数余子式,则
ai1Ak1ai2Ak2ainAkn(其中ik)。
200
2.设3阶矩阵A与矩阵050相似,A的特征值为。
001
3.设A为n阶矩阵,若,则称A为正交矩阵。
4.n元非齐次线性方程组Axb存在解的充分必要条件为。
、选择填空(每小题填对者得4分,填错或不填者一律不得分,共16分)
1.设A和B均为n阶矩阵,则下列结论正确的是()
(A)ABAB;
(B)(AB)2A2ABB2;
(C)kABk|AB;
(D)kABknAB。
2.设A为n阶方阵,且R(A)n1,1,2是非齐次线性方程Axb的两个不同
的解向量,贝UAx
:
b的通解为(
)(其中k、k1>
k2为任意常数)
(A)k12
(B)k11k22
(C)k(12)
(D)k(12)
a11
a12a13a21
a22a23a21
3.设Aa21
a22a23,Ba11
a12a13a11
a31
a32a33a31
010
R100,
且有R1AR2B,则
P2()
100
101
(A)010
(B)010
(C)010
(D)010
4.设A为n阶矩阵,且A的行列式|A=0,则A中()
(A)必有一列向量是其余列向量的线性组合;
(B)必有一列元素全为0;
(C)必有两列元素成比例;
(D)任意一列向量是其余列向量的线性组合。
、(每小题6分,共12分)计算下列行列式
1•计算4阶行列式
2443
1621
3520
41203
2•计算n+1阶行列式
000001
1a10000
11a2000
1111an10
111an
四、(10分)
已知A,B为3阶矩阵,满足aBbABA,其中a和b都是不为0的常数
计算(BbE)(A
aE),其中E是3阶单位矩阵
证明AaE及B
bE均可逆;
12
若a2,b4,
B12
0,求矩阵A
00
(10分)
设A
14
1.求矩阵A的秩;
2•判别A的列向量组的线性相关性;
3.求矩阵A的列向量组的一个极大线性无关组;
六、(12分)
2x2
X5
3X3
4x4
求非齐次线性方程组3x1
2x4
11
4x1
-7x2
8X3
-15x4
6X5
32
5x1
11x4
41
通解,并指出对应齐次方程组的基础解系。
七、(14分)得分阅卷人
已知二次型
222
X!
4x24x34xm24x^3
1•写出二次型的矩阵A,并写出二次型的矩阵表达式;
2.求A的全部特征值;
3•求一个正交变换XPY将二次型化为标准形;
并指出二次型的正定性。
八、证明下列各题(每小题5分,共10分)
1.设n阶矩阵A与B相似,证明A与Bt相似
2•设3维向里组1,2,3线性无关,b1
2,b2
23,b3
>
31,
证明:
d,b2,b3线性无关
《线性代数期末模拟试题四
》
一、填空题(本题18分,每小题3分)
阅卷
1、若A
_3
-3
2、若对一个矩阵实施一次行变换等价于在该矩阵的边乘以一个相应的
初等矩阵。
3、
A为四阶的方阵,
k,A*是它的伴随阵,则
*
A
03
4、
矩阵A初等变换
-1
,则该矩阵的
1勺秩至少是。
a13
0a1
5、
设n阶矩阵A
3n
1n的行
列式A0,
123
,则方程组
AXn
(有,无)解
6、若2,4,6,8是四阶矩阵A的4个特征值,则矩阵(A31)的4个特征值。
二、选择填空(每小题只选择一个答案,选错或不选一律不得分,每小题3分,共18分)
1、设矩阵A,,,行列式A3,若矩阵B(3,,2)
行列式B
()
(A)18;
(B)81;
(C)-24;
(D)-216。
2、设A、B、C为n阶矩阵,且矩阵A可逆,则下列四个结论中不正确的是()
(A)ABBA;
(B)若ABAC,则BC;
(C)若AC0,则C0;
(D)若|AB0,则B0。
3、设非齐次线性方程组AXb的系数矩阵A是mn矩阵,且秩(A)r,则方程组()。
(A)在rm时一定有解;
(B)在mn时有唯一解;
(C)在rn有无穷解;
(D)在rn时有唯一解。
4、向量组1,2,,m线性无关的充分必要条件是()。
(A)存在一组全不为零的数ki,k2,,km,使等式ki1k22kmm0成立;
(B)存在一组全为零的数ki,k2,,km,使等式ki1k22kmm0成立;
(C)每个i都不能用其他向量线性表示;
(D)有线性无关的部分组。
5、若IA20其中A是n阶矩阵,贝U下列四个结论中正确的是()。
(A)1都是A2的特征值;
(B)1是A的特征值;
(C)-1或1至少有一个是A的特征值;
(D)-1是A的特征值
6n阶矩阵A与n阶矩阵B相似,贝U下列四个结论中不正确的是()。
(A)A与B有n个相同特征值;
(B)A与B有相同的特征向量;
(C)A与B有相等的行列式;
(D)A与B有相同的秩
三、计算(每小题6分,共12分)
1、
9
abbb
0bbb
四、(11分)
矩阵A、
B、
C满足abat
2BAt
C
求Bo
2,
C1
(14分)
其中
七、
已知二次型f(x1,x2,x3)2x12x24x32x1x2,
2.求A的特征值;
4.指出二次型的秩与正定性。
八、证明题(5分)
已知向量组1,
s和
1,2,
t是两个线性无关组,
并且每个j和每个j都正交。
向量「2,s,1,2,t线性无关。
《线性代数期末模拟试题五
填空题(每小题5分,共20分)
a3
3c1
3c23c3
1•设
b1
b3
k,则
2b1
2b22b3
C1
C2
C3
C1a1
C2a2C3a3
200
2•设A1-043,贝UA=
2
022
3•设1,2,,m均为n维向量(mn),则向量组1,2,,m必线性关。
.设是矩阵A的特征值,则AmmI(其中m为正整数)
二、选择填空(每小题只选择一个答案,选错或不选一律不得分,每小题5分,
共20分)
1.设A是mn矩阵,B是nm矩阵,贝U()
(C)对的表示式不唯一;
.
(B)
3;
■7
(C)
1;
(D)
计算下列行列式(每小题
6分,共12分)
2是可逆矩阵A的特征值,
则矩阵(3A)
(A)
1.
22
42
52
62
72
2.计算n阶行列式(n>
2)
Xi
Xn
1有一个特征值为(
问入取何值时,方程组
2X31
5x-i
4X31
1•无解;
2•有唯一解;
3•有无穷多解,
并求通解。
五、(7分)
设A2
B1
1,求(AB)1
六、(7分)
设A和D分别为m和n阶矩阵,且A可逆,B和C分别为nm和mn矩阵,证明:
I
CA1
ABI
A'
B
0D
CA1B
D
AB
.J
CA
1B
CD
aB
3.可逆的充分必要条件是矩阵DCA1B可逆。
4•秩秩(A)秩(DCA1B)
七、(14分)
已知二次型f(x1,x2,x3)2x13xl3xl2ax2x3(a0),且已知二次型的矩阵A的一个特征值为1。
1•写出二次型的矩阵A,并写出二次型的矩阵表达式;
2•求a得值,并求A的另两个特征值;
3•求一个正交变换XPY将二次型化为标准形;
八、(每小题5分,共10分)证明下列各题
•已知n维向量w(w1,w2,,wn)的各分量均大于零,即wi0(i1,2,,n),
又设n阶矩阵
⑴证明秩(A)1;
⑵证明向量W是A的特征向量,并求所对应的特征值。
2.已给2n维向量组j
(ai1,ai2,
ai2n)T(i1,2,,n)和2n维向量组
i(bi1,bi2,
bi2n)T(i
1,2,,n)
,而且该向量组是方程组
aX1
a12X2
ai2nX2n
a2X1
a22X2
a22nX2n
(1)的基础解系。
anX1
an2X2
an2nx2n
证明向量组i(ai1,ai2,
ai2n)T(i1,2,,n)是方程组
《线性代数期末模拟试题六》
1排列134782695的逆序数为
2、当k满足时,矩阵A1k可逆。
21
3、若A是5阶方阵,且a=1,贝U2A=_。
4、当X为行列矩阵时,下列运算可以进行
45
123X:
其结果是行列矩阵。
67—
5、矩阵A12的伴随矩阵A=,逆阵A1=。
34
6、向量组12,1,3T,21,1,3T是线性关的。
7、2是A的特征值,贝UA2E。
&
向量空间VX(0,X2,,Xn)TX2,,XnR的维数为
9、若AAtE,则A1。
10,如果与四元线性方程组AX=O的同解方程组是X13X3,则有R(A)=
x20
1,设A、B为n阶方阵,E是n阶单位矩阵,则AB+B=
(A)(A+1)B;
(B)B(A+E);
(C)(A+E)B;
(D)B(1+A)
2,A*为n阶方阵A的伴随矩阵,贝U|A*A
3,设AXb为非齐次线性方程组,下列结论正确的是
若AX
b无解,则AX
0也无解;
0有解,则AX
b也有解;
0只有零解,则
AXb只有唯一解
(D)若AXb有无多解,则AX0也有无穷多解
4,设A、B为n阶方阵,若AB0,则;
(A)A0或B0;
(B)A=0或B=0;
(C)A+B=0;
(D)BA=0
5,下列结论不正确的是;
(A)如n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量,则矩阵A一定可以对角化;
如n阶矩阵A有n个不同的特征值,则矩阵A一定可以对角化;
如n阶矩阵A有n个不同的特征向量,则矩阵A一定可以
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