学年八年级数学人教版上同步练习第十一章第二节三角形全等的判定.docx
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学年八年级数学人教版上同步练习第十一章第二节三角形全等的判定
2011-2012学年八年级数学(人教版上)同步练习第十一章
第二节三角形全等的判定
一.教学内容:
三角形全等的判定
1.三角形全等的判定;
2.直角三角形全等的判定;
3.学习掌握综合证明的格式、步骤。
二.知识要点:
1.三角形全等的判定
(1)三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”。
表示方法:
如图所示,在△ABC和△DEF中,,∴△ABC≌△DEF(SSS)。
(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”。
表示方法:
如图所示,在△ABC和△DEF中,,∴△ABC≌△DEF(ASA)。
(3)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”。
表示方法:
如图所示,在△ABC和△DEF中,,∴△ABC≌△DEF(AAS)。
(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”。
表示方法:
如图所示,在△ABC和△DEF中,,∴△ABC≌△DEF(SAS)。
(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边、直角边”或“HL”。
表示方法:
如图所示,在Rt△ABC和Rt△DEF中,∵AB=DE,BC=EF,∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)。
注意:
①三角形全等的判定方法中有一个必要条件是:
有一组对应边相等。
②两边及其中一边的对角对应相等的情况,可以画图实验,如下图,在△ABC和△ABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,显然它们不全等。
③三个角对应相等的两个三角形不一定全等,如两个大小一样的等边三角形。
2.全等三角形的基本图形
在平面几何中,有很多问题都可以借助于三角形全等来解决,比如线段的相等、角的相等、平行、垂直关系等。
在运用三角形全等这一工具时,主要是找两个三角形,并找出它们满足全等的条件来;解题时经常需要通过观察图形的运动状况,把两个全等三角形中的一个看成是另一个的平行移动、翻折、旋转等方法得到的,这需要对常见的全等三角形做到心中有数,如下图列举了几个常见的基本图形。
掌握这些全等形的对应边和对应角的位置关系,对我们在复杂的几何问题中迅速、准确地确定全等三角形是至关重要的。
三.重点难点:
1.重点:
能够快速准确地找出适合题意的三角形全等的判定方法。
理解证明的基本过程,掌握综合法证明的格式。
2.难点:
分析证明命题的途径,这一步学习起来比较困难,需要在学习中逐步培养学生的分析能力。
【考点分析】
三角形全等的判定是一个比较重要的知识点,在考题中一般是选择题和填空题,也有证明题和计算题,甚至是探究题。
【典型例题】
例1.如图所示,AB=CD,AC=DB。
求证:
△ABC≌△DCB。
分析:
由已知可得AB=CD,AC=DB,又因为BC是两个三角形的公共边,所以根据SSS可得出△ABC≌△DCB。
证明:
在△ABC和△DCB中,
∵,
∴△ABC≌△DCB(SSS)
评析:
证明格式:
①点明要证明的两个三角形;②列举两个三角形全等的条件(注意写在前面的三角形,条件也放在前面),用大括号括起来;③条件按照“SSS”顺序排序;④得出结论,并把判断的依据注在后面。
例2.已知:
如图所示,AB=DE,∠B=∠DEF,BE=CF。
求证:
AC∥DF。
分析:
欲证AC∥DF,可通过证明∠ACB=∠F,由平行线的判定定理即可得证。
而∠ACB与∠F分别是△ABC和△DEF的内角,所以应先证明△ABC≌△DEF。
由BE=CF易得BC=EF,再结合已知条件AB=DE,∠B=∠DEF即可达到目的。
证明:
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF。
在△ABC和△DEF中,,
∴△ABC≌△DEF(SAS)。
∴∠ACB=∠F。
∴AC∥DF。
评析:
通过证明两个三角形全等可以提供角相等、线段相等,进而解决其它问题。
这里大括号中的条件按照“SAS”顺序排列。
例3.如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CD于D,BF⊥CD于F,AB交CD于E,求证:
AD=BF-DF。
分析:
要证AD=BF-DF,观察图形可得CF=CD-DF,只需证明CF=AD,CD=BF即可,也就是要证明△CFB≌△ADC。
由已知BC=AC,∠CFB=∠ADC=90°,只要再证明有一个锐角对应相等即可,由BF⊥CD,∠ACB=90°,易证得∠CBF=∠ACD,问题便得到证明。
证明:
∵∠ACB=90°,BF⊥CD
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠CBF+∠BCD=90°
∴∠CBF=∠ACD(同角的余角相等)
又∵AD⊥CD,∴∠CFB=∠ADC=90°
在△CFB和△ADC中,
∴△CFB≌△ADC(AAS)
∴CF=AD,BF=CD(全等三角形的对应边相等)
又∵CF=CD-DF
∴AD=BF-DF
评析:
由条件AC=BC和垂直关系可得,AC、BC为两个直角三角形的斜边,还需要一对角相等即可用AAS证三角形全等;由条件可用余角性质转换角度证明角相等。
例4.如图所示,AB∥CD,AF∥DE,BE=CF,求证:
AB=CD。
分析:
要证明AB=CD,由于AB、CD分别是△ABF和△DCE的边,可尝试证明△ABF≌△DCE,由已知易证:
∠B=∠C,∠AFB=∠DEC,下面只需证明有一边对应相等即可。
事实上,由BE=CF可证得BF=CE,由ASA即可证明两三角形全等。
证明:
∵AB∥CD,
∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等)
又∵AF∥DE,∴∠AFC=∠DEB(同上)
∴∠AFB=∠CED(等角的补角相等)
又∵BE=CF,∴BE-EF=CF-EF,即BF=CE
在△ABF和△DCE中,
∴△ABF≌△DCE(ASA)
∴AB=CD(全等三角形对应边相等)
评析:
由平行条件转化角,由线段和差关系转化线段,为证三角形全等做准备。
解题思路:
由已知条件,探寻三角形全等的条件,证得全等,再利用全等的性质解决相关问题。
例5.如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动。
问点P运动到AC上什么位置时,△ABC才能和△PQA全等?
分析:
要使△ABC与△PQA全等,由于∠C=∠PAQ=90°,PQ=AB,则只需AP=CB或AP=CA,由HL即可知道它们全等,从而容易确定P点的位置。
解:
由题意可知,∠C=∠PAQ=90°,又AB=PQ,要使△ABC≌△PQA,则只需AP=CB或AP=CA即可,从而当点P运动至AP=5cm,即AC中点时,△ABC≌△QPA;或点P与点C重合时,即AP=CA=10cm时,△ABC≌△PQA。
评析:
要证某两个三角形全等,但缺少条件,要求把缺少的条件探索出来。
解决这类题要从结论出发,借助相关的几何知识,探讨出使结论成立所需的条件,从而使问题得以解决。
本题中涉及到分类讨论的思想,要求同学们分析思考问题要全面,把各种情况都考虑到。
例6.(2007年四川内江)如图,△ABC和△EBD都是等腰直角三角形,A、B、D三点在同一直线上,连结CD、AE,并延长AE交CD于F。
(1)求证:
△ABE≌△CBD。
(2)直线AE与CD互相垂直吗?
请证明你的结论。
分析:
根据已知条件易得AB=BC,BE=BD,∠ABC=∠CBD=90°正好是△ABE和△CBD全等的条件。
对于AE与CD垂直关系的证明需要推证出∠CFA=90°。
证明:
(1)∵△ABC和△EBD都是等腰直角三角形,
∴AB=CB,BE=BD,∠ABC=∠CBD=90°
∴△ABE≌△CBD(SSA)
(2)AE⊥CD,
∵在△ABE和△CEF中,∠EAB=∠ECF,∠AEB=∠CEF,且∠ABE=90°,
∴∠ECF+∠CEF=∠EAB+∠AEB
∴∠ECF+∠CEF=180°-(∠EAB+∠AEB)
即∠AFC=∠ABE=90°
∴AE⊥CD。
评析:
利用已知,结合图形探索三角形全等的条件,逐步分析解决问题,把握解题思路。
【方法总结】
1.现阶段三角形全等所需的三个条件常与下列几种情况有关:
①利用中点的定义证明线段相等;②利用垂直的定义证明角相等;③利用平行线的性质证明角相等;④利用三角形的内角和等于180°证明角相等;⑤利用图形的和、差证明边或角相等。
2.证明一个几何中的命题有以下步骤:
①根据题意,画出图形。
②根据题设、结论,结合图形,写出已知、求证。
③经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明的过程。
在一般情况下,分析的过程不要求写出来,有些题目中,已经画好了图形,写好了已知、求证,这时只要写出“证明”一项就可以了。
证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”。
这些根据,可以是已知条件,也可以是定义、公理、已经学过的重要结论。
3.构造全等三角形
要能够构造两个全等三角形,利用“全等三角形的对应边相等”的特征,实地操作,测量出不能到达的两点之间的距离,并能说出这样测量的道理。
【模拟试题】(答题时间:
60分钟)
一.选择题
1.下列条件不能判定两个三角形全等的是()
A.有两边和夹角对应相等B.有三边分别对应相等
C.有两边和一角对应相等D.有两角和一边对应相等
2.下列条件能判定两个三角形全等的是()
A.有三个角相等B.有一条边和一个角相等
C.有一条边和一个角相等D.有一条边和两个角相等
3.如图所示,已知AB∥CD,AD∥BC,那么图中共有全等三角形()
A.1对B.2对C.4对D.8对
4.如图所示,已知∠A=∠D,∠1=∠2,那么要得到△ABC≌△DEF,还应给出的条件是()
A.∠E=∠BB.ED=BCC.AB=EFD.AF=CD
5.如图所示,点E在△ABC外部,点D在BC边上,DE交AC于F,若∠1=∠2,∠E=∠C,AE=AC,则()
A.△ABC≌△AFEB.△AFE≌△ADC
C.△AFE≌△DFCD.△ABC≌△ADE
6.我们学过的判定两个直角三角形全等的条件,有()
A.5种B.4种C.3种D.2种
7.如图所示,AB∥EF∥CD,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中的全等三角形有()
A.1对B.2对C.3对D.4对
8.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,且BC=6cm,则BD=__________.()
A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm
9.如图所示,DE⊥AB,DF⊥AC,AE=AF,则下列结论成立的是()
A.BD=CDB.DE=DFC.∠B=∠CD.AB=AC
二.填空题
10.如图所示,AC∥BD,AC=BD,那么__________,理由是__________.
11.已知△ABC≌△A'B'C',AB=6cm,BC=7cm,AC=9cm,∠A'=70°,∠B'=80°,则A'B'=__________,B'C'=__________,A'C'=__________,∠C'=__________,∠C=__________.
12.如图所示,已知AB=AC,在△ABD与△ACD中,要使△ABD≌△ACD,还需要再添加一个条件是____________________.
13.如图所示,已知△ABC≌△DEF,AB=4cm,BC=6cm,AC=5cm,CF=2cm,∠A=70°,∠B=65°,则∠D=__________,∠F=_
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- 学年 八年 级数 学人 教版上 同步 练习 第十一 第二 三角形 全等 判定