第三章线性规划的对偶理论及灵敏度分析1总结Word文档格式.docx
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■■■■
■s■■■■
amiXi+am2X2+*amnXn兰*
Xj_0,j=i,2,,n
则其对偶问题为:
min二byb?
y2^^n
Niyi+a2〃2+…+amiymA"
ai2yi+a22y2*+am2ym®
C2
m-a-
<
■■■■
ainyi+a2ny2++amnym®
Cn
yi一0,i=i,2,,m
矩阵形式:
原问题对偶问题
maxz=cXmin=Yb
AXEb,、Ya启C(实际为ATyT^CT)
X>
07>
、原问题与对偶问题的关系
原问题(或对偶问题)
对偶问题(或原问题)
目标函数maxz
目标函数mineo
变n个
^0
n个约
>
束
量<
无约束
条
=件
约m个
束<
条>
件=
m个变
0卓
量无约束
约束条件右端项目标函数变量的系数
目标函数变量的系数约束条件的右端项
例1求下列问题的对偶问题
minz=2x13x2-5x3x4
x1+x2-3x3+x4>
5
2x1+2x3—x4兰41x2+x3+x4=6捲_0,x2,x3-0,x4无约束
max=5y!
4y26y3
»
+2y232
yi*3兰3
«
—3%+2y?
+y3兰一5
yi-丫2*3=1
yi-0』2空0小无约束
2对偶问题的基本性质
、对称性:
对偶问题的对偶是原问题。
证:
设原问题为
maxz二cX
i
X0
min=Yb
YA_C
y0
对上式两边取负号,
得-min二-Yb
YAC
y
-max(-代)=
min
w
max(-
⑷)=_
Yb
-YA-
J
C
Y-
上式的对偶问题为
min(
v)=
CX
-AX
--b
X
-0
(两边同取负号)
-min(-v)二maxvmaxv二CX二maxz
AXb
(0)(0)cX(0):
:
Y(°
)b
二、弱对偶性:
若X是原问题的可行解,Y是对偶问题的可行解,则存在CX一丫b。
(0)
X是原问题的可行解
同理Y(0)A—C,用X(0)右乘之得丫(0)AX(0)一CX(0)
CX(0)’Y(0)AX(0)’丫⑼b,故CX(0XY(0)b
三、无界性:
若原问题(对偶问题)为无界解,则其对偶问题(原问题)无可行解。
注意:
此性质不可逆。
(0)(0)
四、可行解是最优解时的性质最优性:
设X是原问题的可行解,Y是对偶问题的可行解,当
(0).(0)(0)(0)
CX-丫b时,X、丫是最优解。
五、对偶定理(强对偶性):
若原问题有最优解,那么对偶问题也有最优解,且目标函数值相等。
反之,若其一无最优解,则另一也无最优解。
(0)(0)(0)、^
六、互补松弛性:
若X、Y分别是原问题和对偶问题的可行解,那么YXs二0和
二YAXYXs
若YsX(0)=0,丫(0)Xs二0;
则Y(0)b二Y(0)AX(0)二CX(0)
由性质4知,X、Y为最优解。
又如果X(0)、丫(0)为原问题和对偶问题的最优解,由性质4有CX(0)=Y(0)AX(0)=Y(0)b即Y(0)AX(0)-YsX(0)=丫⑼AX(0)=Y(0)AX(0)Y(0)Xs
必有YsX(0)=0,丫(0)Xs=0
例2已知线性规划问题
maxz=x「x2
捲+x2+X3兰2r
2x<
x2x3'
1
Xi,X2,X3
试用对偶理论证明上述线性规划问题无最优解。
上述问题的对偶问题为
min二2y「y2
-y<
2y^1
y「y2-1
yi-y^0
yi,y^0
由第一个约束条件知,对偶问题无可行解,所以,由对偶定理知,原问题无最优解。
七、对偶问题的经济解释----影子价格
由对偶定理可知,当达到最优解时,原问题和对偶问题的目标函数值相等,即有
求z对b的偏导数得:
其经济学意义是:
在其它条件不变的情况下,单位资源变化所引起的目标函数的最优值的变化。
i的值代表对第i种资源的估价,这种估价是针对具体工厂的具体产品而存在的一种特殊价格,称它为“影子价格”。
影子价格随具体情况而异,在完全市场经济条件下,当某种资源的市场价格低于影子价格时,企业应买进该资源用于扩大生产;
而当某种资源的市场价格高于企业影子价格时,则企业应把已有的资源卖掉。
可见,影子价格对
市场有调节作用。
3对偶单纯形法
—、基本思路
对偶单纯形法是运用对偶原理求解原问题的一种方法,而不是求解对偶问题的单纯形法。
首先讨论这样一个问题:
min二Yb;
YA丫眇c;
Y,Ys0
设B是原问题的一个可行基,于是A=(B|N),原问题可改写为:
maxz二CBXBCNX
BXbNXnXs=b
&
b,Xn,Xs=0
相应地对偶问题可以表示为
minmin二Yb
Yb飞=Cb
(1)
Yn-Ys^=Cn
(2)
丫,丫0,丫5-0
这里Ys=(Yd%)
Y$----对应原问题中基变量xb的剩余变量
Ys2----对应原问题中非变量
Xn的剩余变量
当求得原问题的一个基解Xb二B’b,其相应的检验数为Cn一CBB1N与一CBB1。
现
分析这些检验数与对偶问题的解之间的关系:
令Y=CbB,1代入⑴、
(2)得
Ys^0
飞=CnCbB1N
由此可得出:
原问题单纯形表的检验数行对应其对偶问题的一个基解,其对应关系如下:
Xb
Xn
Xs
Cn-CbB」N
-CbBJ
Y1
YS2
-Y
说明:
在单纯形表中若在b列中得到的是原问题的基可行解,而在检验数行得到的是对偶问题的基解,当在检验数行得到对偶问题的解也是基可行解时,根据性质知,已知到最优解,即原问题与对偶问题是最优解。
根据对偶问题的对称性,可这样考虑:
若保持对偶问题的解是基可行解,即Cj-CBB」Pj乞0,而原问题在非可
行解的基础上,逐步迭代达到基可行解,这样也得到了最优解。
方法是:
设原问题maxz=CX
;
AX=b
X艺0
设B是一个基,令B=(Ph,P2,…,Pm),它对应的变量为Xb=(为公2,…,Xm)T
当非基变量都为零时,可以得到XB=B,b,若在B4b中至少有一个负分量,设2北)「:
0,并且在单纯形表
的检验数行中的检验数都为负值,即对偶问题保持可行解,它的各分量是:
1.对应基变量x1,x2/,xm的检验数是
-^c^CbB4Pi=0,i=1,2,,m
2.对应非基变量xm1,xm-2/'
xn的检验数是:
■j=Cj-CbBPjgj二m1,m2,,n
每次迭代是将基变量中的负分量Xl取出,去替换非基变量中的Xk,经基变换,所有检验数仍保持负值,原问题逐
步由非可行解向可行解靠近,当原问题得到可行解时,便得到了最优解。
二•计算步骤
(1)列出初始单纯形表,若所有b■0,‘j'
0,则停止计算,已得到最优解。
若b中含有负元素,
则需继续计算。
⑵确定换出变量叫门{(Bb)i(Bb)i<
0}=(Bb)i,基变量X|为换出变量。
(3)确定换入变量
检查X|行的系数aj,若所有aij>
0,则无可行解,停止计算。
若存在3|j<
0,则继续计算。
(4)以alk为主元素进行取主变换。
例3、用对偶单纯形法求解。
minz=2x「3x24x3
x「2x2x33
r
x23x34
xi,X2,X3
化为标准型
maxz二2x<
3x24x3
maxz二-2捲-3x2-4x30x40x5
--2x2-x3兰-3
l
2x「x23x3'
4
心X2,X30
—Y—OY—Y+w兰—O
1234
2x「x23x3x5'
Xj-0,厂1,2,,5
5/:
-4-1
二min厂,—
I-5/2-1/2J-
取X2为换入变量。
b问题的0优『X*j「(01/5,2/5,0,0,0)
三•对偶单纯形的优缺点
优点:
(1)初始解可以是非可行解,当检验数为负数时,就可以进行基的变换,这时不需加入人工变量,因此可以简化计算;
(2)对变量多于约束条件的线性规划问题,用对偶单纯形法计算可以减少工作量;
(3)在灵敏度分析中,有时用对偶单纯形法,使问题的处理简化。
缺点:
对大多数线性规划问题,很难找到一个初始可行基,因而这种方法很少单独使用。
4灵敏度分析
在以前讨论线性规划问题时,假定aq,b,Cj都是常数。
但实际上这些系数往往是估计值。
如果市场条件一
变,Cj值就会变化;
aq往往是因为工艺条件的改变而改变;
b是根据资源投入后的经济效果决定的一种决策选
择。
所谓灵敏度分析,就是要研究初始单纯表上的系数变化对最优解的影响,研究这些系数在什么范围内变化时,原最优基仍然是最优的;
若原最优基不是最优的,如何用最简单的方法找到新的最优解。
当系数发生变化后,原结果一般会发生变化,当然,可用单纯形法从头计算,这样很麻烦,而且也没有必要。
因为在单纯形法计算时,每步运算都和基变量的系数矩阵B有关。
因此,可把变化的系数,经计算后直接填入最终表,并进行检查和分析,可按以下几种情况处理:
原问题
对偶问题
结论或继续计算的步骤
可行解
P可行解
表中的解仍为最优解
非可行解
用单纯形法继续计算求最优解
用对偶单纯形法计算求最优解
引入人工变量,编制新单纯形表求最优解
一、资源数量(限定系数b)变化的分析
设第r个约束方程的右端常数br变为br二br•厶br,其它系数不变,这样最终表中原问题的解XB就变为
XB二B」(b:
b)=(0,,:
br,O,,0)T
只要Xb-0,最终表中检验数不变,则最优基不变,但最优值发生了变化。
新的最优解的值可允许变化范围的确定:
■0-
iiiii
Ab
B(b,b)二BbB-b=BbB
ai^br
.0一
air"
Jam^br
这时最终表中b列的所有元素b+airAbr兰0,i=1,2,…,m
即br_-bir
当ar>
0时,^b^-b^/air
当<
0时,如兰-6/a
于是,max'
—b/airair兰AbrEmin£
/air|air£
0>
ii1
AB原材料的消耗。
以引例为例,某工厂计划生产甲、乙两种产品,已知生产单位产品所需设备台时及
原材料甲
该工厂每生产一件产品甲可获利
2元,生产一件乙产品可获利3元,问如何安排生产该工厂获利最多
maxz=2为3x2
x-^+2x2<
8
Xi,X2分别是甲、乙两种产品的产量
2x1<
164x2<
12[Xi,X2Z0
一0
1/4
01
_01
B亠Ab二
_2
1/2
=
-8
—1/8
0一
■
2J
例4、在上例中,若该厂又从别处抽出
将该结果反映到上表中,变为
经过运算得如下最终表:
23000
CBXBb
X1X2X3X4X5
2为4
1001/40
0x54
00-21/21
3X22
011/2-1/80
-1.5-1/8
4台时设备用于生产甲、乙产品,求这时该厂生产甲、乙产品的最优方案。
3
CB
b
X1
X2
X3
X4
X5
4+0
4-8
[-2]
2+2
-1/8
-1.5
-1/4
-1/2
-3/4
X,获利Z=4233=17兀
〔3
二、目标函数中价值系数Cj的变化分析
分两种情况来讨论:
1、若cj是非基变量Xj的系数,它的检验数为:
CT
j
二Cj
CbB
Pj(或二厂Cj八aijyi)
i=1
当Cj
变化
Cj后,需保证
Fa
=Cj
+Ac-
Cj
CbB1pj=0
A
即
Cj’
ypj
C-
Jj,才能满足原最优解的条件。
2.若Cr是基变量Xr的系数
C「Cb当Cr变化心Cr时,就引起Cb变化。
7j=Cj-CbB、=Cj-(CbCB)B1pj
=Cj-CbBS-(0,,Cr,,O)B「1pj
=Cj-CbB1p^Crarj
」j-CrN(p1,2,,n)
—-1注:
aij为Bpj中第r个元素
若要使原最优解不变,就须满足匚j-0,于是得
arj0,Cr
arj
Cr的变化范围为
例5、在引例中,设基变量
x2的系数c2变化.■■:
c2,在原最优解不变条件下,试确定
X2为基变量,Q即为CB3
召33二0.5,目34…0.125
「3…1.5,「4…0.125
••maxW—mina绍
I0.5J1-0.125J
即,-3-c^-1
分三种情况讨论技术系数aij的变化:
例6、分析在原计划中是否应该安排一种新产品。
在引例中,设该厂除了生产产品甲、乙外,现有一种新产品丙,已
知生产丙产品,每件需消耗原材料A、B各为6kg、3kg,使用设备2台时,每件可获利5元,问该厂是否应该生产该产
品和生产多少?
分析问题的步骤:
对应X3的检验数为
二3=c3-CBB」p3=5_(1.5,1/8,0)(2,6,3)t=1.25>
0,说明生产丙产品是有利的。
(2)计算丙产品在最终表中对应x3的列向量
并将
(1)、
(2)的计算结果填入最终表:
Cb
x3
3/2
-22
[2]
1.25
-1
1.5
3/4
-3/16
-7/16
-5/8
由于b列的数字无变化,原问题的解是可行解,但二3=1.25•0,说明目标函数值还可改善。
(3)将X3作为换入变量,X5作为换出变量,进行运算求最优解(见上表)。
这时最优解为=1,X2=1.5,X3=2;
总利润为16.5元,比原计划增加了2.5元。
例7、分析原计划生产产品的工艺结构发生变化。
在引例中,若原计划生产甲产品的工艺结构有了必改进,这时有关它的技术系数向量p;
=(2,5,2)T,每件利润4元,试分析对原最优计划有什么影响?
检验数
G=Ci—CbB’pI=4一(「5,1/8,0)(2,5,2)丁=38
3.2单位,生
将上述结果填入最终表x1的列向量位置得:
[5/4]
-2
3/8
aj
-3/2
x1
3.2
0.2
2.4
0.4
0.8
0.5
-0.2
从表中可看出,原问题和对偶问题的解都是可行解,所以表中的结果已是最优解,即应生产甲产品产乙产品0.8单位,可获利15.2元。
注:
若原问题和对偶问题均为非可行解时,需要引进人工变量后重新求解。
例&
增减约束条件的分析。
已知下列线性规划问题
maxz=9为8x250x319x4
3音+2x2+10x3+4x4兰18
2X3十丄%4兰3
I2
Xj一0(j=1,2,3,4,)
其最终单纯形表:
9
50
19
4/3
2/3
-10/3
-1/3
-1/6
CTj-4-2/3-13/310/3
如果在上述问题中增加约束条件
4x「3x25x32x4_8
试分析对原最优解有何影响?
将原最优解X*=(0,0,1,2,0,0)t代入新增约束条件检验:
40305124=138
须将该约束条件引入单纯形最优表继续迭代。
加入松弛变量x7,新增约束条件变为
4%+3x2+5x3+2x4
+x7=8
与原约束方程联立,消去X3,X4得
51
捲+2x2—x5+x7
22
=—1
用对偶单纯形法求解:
X6
X7
5/2
[-1/2]
-4
-2/3
-18/3
10/3
16/3
-4/3
-5
-77/3
-18
-26/3
**42t-新的最优解X=(0,0,—,,2,0,0)33
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- 第三 线性规划 对偶 理论 灵敏度 分析 总结