直线与圆锥曲线的位置关系典型例题Word下载.docx
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求m取值范围。
根据题意,从点p的轨迹着手
••T|PM|-|PN||=2m
又y=±
2x(xm0)
取值范围。
根据双曲线有界性:
|x|>
m,x>
m
22、
m(1m)2
2m
15m
又o<
m<
1
•1-5m2>
o
m(,o)(0,
虑利用函数思想,建立函数关系式。
例4、已知x2+y2=1,双曲线(x-1)2-y2=1,直线同时满足下列两个条件:
①与双曲线
方程。
交于不同两点;
②与圆相切,且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。
求直线
•yo=kxo+b=-b
1k2
•/M在OO上
22丄
.・.xo+yo=1
当k工土1且厶>
0时,设A(Xi,yi),B(X2,y2),则中点M(Xo,yo),
k
.3
由①②得:
3或
~3"
b
2,3b
=3
:
y——
x或y
仝=3
33
法二:
设M(xo,yo),则切线AB方程xox+yoy=1当yo=O时,xo=±
1,显然只有x=-1满足;
当yoM0时,y
Xo
xyo
yo
代入(x-1)2-y2=1得:
(yo2-xo2)x2+2(xo-yo)2x-仁0
yo2+xo2=1
可进一步化简方程为:
(1-2xo2)x2+2(Xo2+xo-1)x-1=0
32
即2xo-xo-2xo+1=0
Xo=±
1(舍),xo=l
2
yo=3。
下略
)转化为关于
rH
zj>
不管是设定何种参数,都必须将形的两个条件(“相切”和“中点”
参数的方程组,所以提高阅读能力,准确领会题意,抓住关键信息是基础而又重要的
例5、AB是抛物线y2=2px(p>
o)上的两点,且OALOB
(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积;
(2)求证:
直线AB过定点;
(3)求弦AB中点P的轨迹方程;
(4)求厶AOB面积的最小值;
(5)O在AB上的射影M轨迹方程。
分析:
设A(X1,y1),B(X2,y2),中点P(Xo,yo)
•/OALOB
--ko/koB=-1
...x1X2+y1y2=o
•••yj=2pX1,y22=2px2
22yiy2
2p2p
y〃20
Ty&
0,y丰0
42
•••yiy2=-4p
/.xiX2=4p
(2)Ty1=2pxi,y2=2px2
(yi-y2)(yi+y2)=2p(xi_x2)
yi
y2
2p
Xi
X2yi
kAB
yiy2
直线
AB:
y
(xXi)
y
2px
2pxi
y”2
2yi
2pxi,
yiy2
4p
.2px4p2
yiy2yiy?
.y-^^(x2p)
.AB过定点(2p,0),设M(2p,0)
(3)设OA:
y=kx,代入y2=2px得:
x=0,x=-2pp
X0
p(k
k)
i
k2
Jk)22
(kk)2
(I°
)22p
...Xg
p
即yo=pxo_2p
中点M轨迹方程y=px-2p
(4)S
AOB
SAOMSBOM|OM|(|y1
1Ml)
p(Ml
Ml)
》Zp.lyyl4p2
当且仅当|y
1|=|y2|=2p时,等号成立
充分利用
(1)的结论。
(5)法一
一:
设H(X3,y3),贝VkoH—
X3
y3
•AB:
y3-(xX3)
即x
(yy3)X3代入y=2p得y
2py3
2p32
2px30
由
(1)
知,
y1y2=-4p2
2py32
2px34p
整理得:
X3+ys-2px3=0
•••点H轨迹方程为x+y-4x=0(去掉(0,0))
•••/OHM=90又由
(2)知0M为定线段
•H在以0M为直径的圆上
•••点H轨迹方程为(x-p)2+y2=p2,去掉(0,0)
例6、设双曲线x2y1上两点A、B,AB中点M(1,2)
(1)求直线AB方程;
CD是否共圆,
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点,那么A、
为什么?
(1)法一:
显然AB斜率存在
设AB:
y-2=k(x-1)
ykx2k
222
由y2得:
(2-k)x-2k(2-k)x-k+4k-6=0
x21
当厶>
0时,设A(x1,y1),B(X2,y2)
则x1X2k(2k)
22k2
•k=1,满足△>
设A(xi,yi),B(X2,y2)
则
X2
卄,,,小i
两式相减得:
(X1-X2)(X计X2)=(y1-y2)(yi+y2)
■/X详X2
2(xi
X2)
2i
--kAB
y=x+i
代入x2
i得:
△>
法一为韦达定理法,法二称为点差法,当涉及到弦的中点时,常用这两种途径处理。
在利用点差法时,必须检验条件厶>
0是否成立。
(2)此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在,然后求出该结论,并检验是否满足
所有条件。
本题应着重分析圆的几何性质,以定圆心和定半径这两定为中心
设A、B、C、D共圆于OOM因AB为弦,故M在AB垂直平分线即CD上;
又CD为弦,故圆心M为CD中点。
因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|
yxi
由2y2得:
A(-i,0),B(3,4)
X2i
又CD方程:
y=-X+3
yx3
x+6x-ii=0
x2yi
设C(X3,y3),D(X4,y4),CD中点M(xo,yo)
则Xo红3,yoXo36
•••M(-3,6)
1.—
•|MC|=|MD|=|CD|=2、i0
又|MA|=|MB|=2、、i0
•|MA|=|MB|=|MC|=|MD|
•••A、B、CD在以CD中点,M(-3,6)为圆心,2、、10为半径的圆上
在复习中必须引起足够重
充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰,视。
例1设直线I:
x=7^,定点A(3,0),动点P到直线I的距离为d,且J-PA|^^。
6d2
求动点P的轨迹C的方程。
.(x3)2y2
由两边干方得,x2-23x+3+y2=?
(x2-7^x+49),
4312
12
■.3
即一x-
x+y=
。
16
经配方得
1—(x-
仝
)+y=
=-,即(x-
、3)”2=1。
21
例2已知抛物线C的对称轴与y轴平行,顶点到原点的距离为5。
若将抛物线C向上平移3个单位,则在x轴上截得的线段长为原抛物线C在x轴上截得的线段长的一半;
若将抛物线C向左平移1个单位,则所得抛物线过原点,求抛物线C的方程。
解设所求抛物线方程为(x-h)=a(y-k)(a€R,a丰0)①
由①的顶点到原点的距离为5,得,h2k2=5②
在①中,令y=0,得x-2hx+h+ak=0。
设方程的二根为刘冷,则
|x1-x2|=2..ak。
将抛物线①向上平移3个单位,得抛物线的方程为
(x-h)=a(y-k-3)
令y=0,得x-2hx+h+ak+3a=0。
设方程的二根为X3,x4,则
|x3-x4|=2ak3a。
依题意得2ak3a=丄•2.ak,
即4(ak+3a)=ak③
将抛物线①向左平移1个单位,得(x-h+1)=a(y-k),
由抛物线过原点,得(1-h)2=-ak④
由②③④得a=1,h=3,k=-4或a=4,h=-3,k=-4。
•••所求抛物线方程为(x-3)2=y+4,或(x+3)2=4(y+4)。
例3设椭圆孚+与=1的两焦点为Fi、F2,长轴两端点为Ai、A20ab
(1)P是椭圆上一点,且/FiPF2=60。
,求△FiPH的面积;
(2)若椭圆上存在一点Q使/AQA=120。
,求椭圆离心率e的取值范围。
解
(1)设|PFi|=ri,|PF2|=r2,则r计r2=2a。
在厶FiPF>
中,|FiF2|=2c,/FiPF2=60°
由余弦定理,得4c=ri+r2-2ri「2cos60°
=(ri+「2)-3ri「2,
42242
将ri+r2=2a代入,得rir2=(a-c)=b
Safpf=rir2sin60
122
V3
■-32
=
—b•
b0
(2)设点Q的坐标为(xo,y0),贝Ub2xo2+a2yo2=a2b2。
•••/AiQA=120°
又不妨设Ai(a,0),A2(-a,0),
y。
y。
x02a2
■/-bwy°
wb•3b2+2ab-.3a2<
0
即3(—)2+2(
a
b)-
2彳a
e=F
22.3
》一,且e<
1。
「.we<
10
36
例4设双曲线七
=1的焦点分别为
Fi、F2,离心率为2o
解
(1)由已知得已知双曲线的离心率为
=2,解得a2=1,所以已知双曲线方
程为y2-二=1,它的渐近线Li、L2的方程为X-..3y=0和X+..3y=0。
3
(2)因为|FiF2|=4,2|AB|=5|F冋,所以|AB|=10。
设A在Li上,B在L2上,则可以设A(.、3yi,yi)、B(-\3y2、y"
■22
•••.3(%y2)(yiy2)=i0①
设AB的中点M(x,y),贝Ux=―3上坐,y=上空
—+^^=i,是椭圆。
7525
代入①得i2y2+竺=iOO,即中点M的轨迹方程为
例5已知椭圆的一个顶点为A(0,-i),焦点在x轴上,其右焦点到直线x-y+2,2=0
的距离为3,
(1)求椭圆方程;
(2)椭圆与直线y=kx+m(k丰0)相交于不同的两点MN,当|AM|=|AN|时,求m的取值范围。
x2y2
解
(1)设已知椭圆方程为2+牙=1(a>
b>
0)
ab
其中b=1。
又设右焦点为(c,0),贝U
_=3,解得c=V2,a=j3。
V2
•••椭圆方程为—+y2=io
(2)设P为MN的中点,
ykxm
解方程组22得
x23y230
(3k+1)x+6mkx+3(m-1)=0
△=-12m+36k+12>
0,得m<
3k+1①
厂6mk3mk
又xm+xn=,xP=
3k213k21
m,m3k21
yP=kxP+m=—-二kAF=—
3k213km
变形后,得2m=3k+1②
把②代入①,得2m>
rh解得0<
2m1I
又由②得k=>
0,解得m>
—。
/•—<
例6已知曲线C:
x2-y2=1及直线L:
y=kx-1,曲线C'
与C关于直线L对称。
(1)当k=1时,求曲线C'
的方程;
(2)求证:
不论实数k为何值,C与C'
恒有公共点。
解知曲线
(1)设P(x,y)是所求曲线C上任意一点,C上。
P点关于直线L的对称点Q(xo,yo)在已
x
x0y
解得0y
XoX4
yox
代入C的方程得(y+1)2-(x-1)2=1,即得C'
的方程。
(2)①当C与C'
有公共点且在L上时,此公共点也即是C与L的公共点。
ykx1
•••方程组22有实数解,
x2y21
•方程x2-(kx-1)2=1有实根,
••(1-k2)x2+2kx-2=0有实根。
当k2=1,即k=±
1时,方程有实根x=±
1,C与L有两个公共点;
当k工1,即卩k工土1时,△=4k+8(1-k)>
0,
解得-.2<
k<
.2,且k工土1。
•••当—2<
kw2时,C与L有公共点,C与C'
也有公共点。
②当C与C'
的公共点P不在L上时,则P点关于L的对称点Q也是C与C'
的公共点,所以P、Q两点均在C上,
即C上有不同两点P、Q关于L对称。
设P、Q所在直线的方程是y=-x+b(k丰0)。
—x
b,
由
J
消去
y得
2bu2
(1
)x+
x-b-
1=0
代入
(1)式解得:
k€(-g,-1)U(-—,0)U(0,5)U(1,+g)。
55
J55
U(-,0)U(0,)U(1,+g)时,C与C'
有不在L上的公
解
X2时,设直线l的斜率为k,贝Ul的方程为y=k(x-a)+b。
又已知Xi2+±
=1,x22+=1
22
yi=k(xi-a)+b,y2=k(x2-a)+b
•••由①得
1-y2)=0③
(xi+X2)(xi-X2)+_(yi+y2)(y
由②得
y1+y2=k(x1+X2)-2ak+2b
.2.2
22b2b
因为△=8b(a+-1),又已知a+<
1,
所以当a2+—=1时,△=0,曲线L与椭圆C有且只有一个交点P(a,b)。
当a=0,
有一个交点(0,0)。
当a=0,且0<
|b|<
1,即点P(a,b)不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时,曲线L与坐标轴有两个交点(0,b)与(0,0)。
同理,当b=0且0<
|a|<
1时,曲线成坐标轴有两个交点(a,0),(0,0)。
当0<
1,0<
|b|w1,即点P(a,b)不在椭圆C外且不在坐标轴上时,曲线L与坐标有三个交点(a,0)、(0,b)与(0,0)。
例8在直角坐标系中,△ABC的两个顶点CA的坐标分别为(0,0)、(2.3,0),三
个内角A、B、C满足2sinB=,3(sinA+sinC)。
1AJ
X
图10-2
(1)求顶点B的轨迹方程;
(2)过顶点C作倾斜角为B的直线与顶点B的轨迹交于P、Q两点,当9€(0,—)时,
求厶APQ面积S(0)的最大值。
解
(1)设厶ABC的三个内角A、BC所对的边分别为a、b、c。
由正弦定理一—=—b=—C=2R。
sinAsinBsinC
■/2sinB=.3(sinA+sinC)
•••2b=,3(a+c)
•/b=2,3
••a+c=4
即|BC|+|BA|=4.
由椭圆定义知,B点轨迹是以CA为焦点,长轴长为4,中心在(3,0)的椭圆。
•B点轨迹方程为
(X丄+y2=1(y工0)
(2)设直线PQ的方程为y=x•tan0,0€(0,—),
yx-tan由(x.3)2
得(1+4tan20)x2-2,3x-1=0。
设方程两根为X1、X2,
•••|PQ|=(1tan2)(x1x2)2
=、(1tan2)[(x1x2)24x1x2]
4(1tan)
14tan2
•/点A到直线PQ的距离d=|2丄3喻」=_2_3喻—yj1__tan2v'
1tan2
((o,—),•••tan9>
•S(9)=|PQ|•d
2—
=1•4(1tan)2J3tan
214tan21tan2
=4J3tan71__tan2
=4J3tansec
=^3sin
14sin2
•s(9)的最大值为2。
例9设抛物线y2=2px(p>
0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于AB两点,点C在抛物线的准线上,且BC//x轴。
证明直线AC经过原点0(2001年全国高考数学试题)
证明一如图10-4,因为抛物线y2=2px(p>
0)的焦点为F(E,0),
所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+E;
yiy2=-p。
因为BC//x轴,
代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0。
若记A(xi,yi),B(x2,y2),贝Uyi,y2是该方程的两个根,所以
且点C在准线x=-p上,所以点C的坐标为(-—,y2),
故直线C0的斜率为k=
y2_2p_yi
==。
p/2yiXi
即k也是直线0A的斜率,所以直线AC经过原点0。
A
/
1/尸*
O
C
E
、
^10-4
BW-5
证明二如图10-5,记x轴与抛物线准线I的交点为E,过A作AD丄l,D是垂足,则
的中点,与抛物线顶点O重合,所以直线AC经过原点Q
梯形的高。
由定比分点坐标公式得
yo=-
2
(1)1
则离心率e=—。
设双曲线的方程为2
由点
CE在双曲线上,将点C、
E的坐标和e=c代入双曲线方程得—
a4
h21
訂1
e-(
h2
由①式得二
=—-1b24
,故入=1——2。
由题设
e2
[.7,10]。
-<
1-—<
-,解得■7<
e<
■.10。
所以双曲线的离心率的取值范围为
3e224
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- 直线 圆锥曲线 位置 关系 典型 例题