二次函数系数之间关系及增减性教师版.docx
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二次函数系数之间关系及增减性教师版
环球雅思学科教师辅导讲义(教师版)
组长签字:
学员编号:
DZST01169651年级:
九年级课时数:
3课时
学员姓名:
杨一鸣辅导科目:
数学学科教师:
赵金勇
授课日期及时段
2015年2月8日
教学目标
1.将二次函数系数之间的关系彻底复习到位
2.中考中出现的二次函数增减性问题
重点难点
学会分析二次函数图像,判断系数a、b、c及b2-4ac的符号
学会比较二次函数中y1、y2、y3的大小
教学内容
目录Contents
上节课回顾:
作业检查+知识点复习
新课:
一、导入
二、知识梳理+经典例题
三、随堂检测
四、归纳总结
五、课后作业
上节课回顾:
一、作业检查情况完成未完成
二、知识点回顾
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定:
(1)a由抛物线开口方向确定:
开口方向向上,则a>0;否则a<0.
(2)b由对称轴和a的符号确定:
由对称轴公式x=判断符号.
(3)c由抛物线与y轴的交点确定:
交点在y轴正半轴,则c>0;否则c<0.
(4)b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定:
2个交点,b2-4ac>0;1个交点,b2-4ac=0;没有交点,b2-4ac<0.
(5)当x=1时,可确定a+b+c的符号,当x=-1时,可确定a-b+c的符号.
当x=2时,可确定4a+2b+c的符号,当x=-2时,可确定4a-2b+c的符号……以此类推。
(6)由对称轴公式x=,可确定2a+b的符号.
二、知识梳理+经典例题
1、已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中,正确的是( )
A、a>0B、b<0C、c<0D、a+b+c>0
2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,其对称轴x=-1,给出下列结果①b2>4ac;②abc>0;③2a+b=0;④a+b+c>0;⑤a-b+c<0,则正确的结论是( )
A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤
(1)
(2)
3、如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为(12,1),下列结论:
①ac<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;④a+b+c<0.其中正确结论的个数是( )
A、1B、2C、3D、4
4、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线x=1,则下列结论正确的是( )
A、ac>0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1,x2=3
C、2a-b=0D、当x>0时,y随x的增大而减小
5、已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象如图所示,有下列结论:
①abc>0,②b2-4ac<0,③a-b+c>0,④4a-2b+c<0,其中正确结论的个数是( )
A、1B、2C、3D、4
(3)(4)(5)
6、(2011•兰州)如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:
(1)b2-4ac>0;
(2)c>1;(3)2a-b<0;(4)a+b+c<0.你认为其中错误的有( )
A、2个B、3个C、4个D、1个
7、(2011•昆明)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A、b2-4ac<0B、abc<0C、<-1D、a-b+c<0
8、(2011•鸡西)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,现有下列结论:
①b2-4ac>0②a>0③b>0④c>0⑤9a+3b+c<0,则其中结论正确的个数是( )
A、2个B、3个C、4个D、5个
(6)(7)(8)
9、已知二次函数y=ax2的图象开口向上,则直线y=ax-1经过的象限是( )
A、第一、二、三象限B、第二、三、四象限C、第一、二、四象限D、第一、三、四象限
10、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A、a<0,b<0,c>0,b2-4ac>0B、a>0,b<0,c>0,b2-4ac<0
C、a<0,b>0,c<0,b2-4ac>0D、a<0,b>0,c>0,b2-4ac>0
11、(2010•梧州)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么下列判断不正确的是( )
A、ac<0B、a-b+c>0
C、b=-4aD、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=5
12、(2010•文山州)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则a,b,c满足( )
A、a<0,b<0,c>0,b2-4ac>0B、a<0,b<0,c<0,b2-4ac>0
C、a<0,b>0,c>0,b2-4ac<0D、a>0,b<0,c>0,b2-4ac>0
(10)(11)(12)
13、(2010•铁岭)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列4个结论,其中正确的结论是( )
A、abc>0B、b>a+cC、2a-b=0D、b2-4ac<0
14、(2010•钦州)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:
①ac>0;②a-b+c<0;③当x<0时,y<0;
④方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于-1的实数根.
其中错误的结论有( )
A、②③B、②④C、①③D、①④
15、(2010•黔南州)如图所示为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,在下列选项中错误的是( )
A、ac<0B、x>1时,y随x的增大而增大
C、a+b+c>0D、方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=3
16、(2010•荆门)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论错误的是( )
A、ab<0B、ac<0
C、当x<2时,函数值随x增大而增大;当x>2时,函数值随x增大而减小
D、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根
17、(2010•福州)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A、a>0B、c<0C、b2-4ac<0D、a+b+c>0
(15)(16)(17)
18、(2010•鄂州)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论①a,b异号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=4时,x的取值只能为0,结论正确的个数有( )个.
A、1B、2C、3D、4
19、(2010•百色)二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,下列几个结论:
①对称轴为x=2;②当y≤0时,x<0或x>4;③函数解析式为y=-x(x-4);
④当x≤0时,y随x的增大而增大.其中正确的结论有( )
A、①②③④B、①②③C、①③④D、①③
(18)(19)
能力练习
1.如图,抛物线y=ax+bx+c的对称轴是x=1,下列结论:
①b<0;②(a+c)>b;③2a+b-c>0;④3b<2c.其中正确的结论有()(填上正确结论的序号).D
A、①⑤B、①②⑤C、②⑤D、①③④
解:
∵抛物线的开口方向向上,∴a>0,∵对称轴为x==1,得2a+b=0,2a=-b,
∴a、b异号,即b<0,∴①正确;∵抛物线与轴的交点在y轴负半轴,∴c<0,∴2a+b-c=-c>0,∴③正确;∵当x=1时,y=a+b+c<0,∵当x=-1时,y=a-b+c>0,∴2a-2b+2c>0,∴-b-2b+2c>0,∴3b<2c,∴④正确;∵a+b+c<0,a-b+c>>0,∴(a+b+c)(a-b+c)<0,即(a+c)2-b2<0,②错误.
3.(2011•广西)已知:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论中:
①abc>0;②2a+b<0;③a+b<m(am+b)(m≠1的实数);④(a+c)2<b2;⑤a>1.其中正确的项是( )
解:
①∵抛物线的开口向上,∴a>0,∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上,∴c<0,
∵对称轴为x=>0,∴a、b异号,即b<0,又∵c<0,∴abc>0,故本选项正确;
②∵对称轴为x=>0,a>0,-<1,∴-b<2a,∴2a+b>0;故本选项错误;
③当x=1时,y1=a+b+c;
当x=m时,y2=m(am+b)+c,当m>1,y2>y1;当m<1,y2<y1,所以不能确定;故本选项错误;
④当x=1时,a+b+c=0;当x=-1时,a-b+c>0;∴(a+b+c)(a-b+c)=0,即(a+c)2-b2=0,∴(a+c)2=b2故本选项错误
⑤当x=-1时,a-b+c=2;当x=1时,a+b+c=0,∴a+c=1,∴a=1+(-c)>1,即a>1;故本选项正确;综上所述,正确的是①⑤.故选A.
4.(2010•天津)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列结论:
①b2-4ac>0;②abc>0;③8a+c>0;④9a+3b+c<0其中,正确结论的个数是( )
A、1B、2C、3D、4
解:
①根据图示知,二次函数与x轴有两个交点,所以△=b2-4ac>0;故本选项正确;
②根据图示知,该函数图象的开口向上,∴a>0;又对称轴x=-=1,∴<0,∴b<0;又该函数图象交于y轴的负半轴,∴c<0;∴abc>0;故本选项正确;
③∵对称轴x=-=1,∴b=-2a,可将抛物线的解析式化为:
y=ax2-2ax+c(a≠0);
由函数的图象知:
当x=-2时,y>0;即4a-(-4a)+c=8a+c>0,故本选项正确;也可以:
当x=4时,从图像上看y>0,此时16a+4b+c>0,而从对称性看出-=1,解得b=-2a,代入上式得8a+c>0;
④根据抛物线的对称轴方程可知:
(-1,0)关于对称轴的对称点是(3,0);当x=-1时,y<0,所以当x=3时,也有y<0,即9a+3b+c<0;故本选项正确;所以这四个结论都正确.故答案为:
4.
5.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列结论正确序号是①②③④
(只填序号).①abc>0,②c=-3a,③b2-4ac>0,④a+b<m(am+b)(m≠1的实数).
解:
①正确,∵与y轴交于负半轴,所以c<0,∵开口向上,∴a>0,
又∵对称轴在y轴右侧,∴->0,∴b<0,∴abc>0.
②正确,∵ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=-1,x2=3,根据根与系数的关系,=3×(-1)=-3,即c=-3a.
③正确,∵函数图象与x轴有两个点,∴b2-4ac>0;
④正确,由函数图象可知,对称轴为x=1,此时y取最小值为:
a+b+c;
∵当x=m时,y值为:
am2+bm+c;∴am2+bm+c>a+b+c,(m≠1的实数),∴a+b<m(am+b).故结论正确序号是①②③④.
6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,以下结论:
①a+b+c=0;②4a+b=0;③abc<0;④4ac-b2<0;⑤当x≠2时,总有4a+2b>ax2+bx其中正确的有①②④⑤
(填写正确结论的序号).
解:
①由图象可知:
当x=1时y<0,∴a+b+c<0.
②由图象可知:
对称轴x=-=2,∴4a+b=0,∴正确;
由抛物线与x轴有两个交点可以推出b2-4ac>0,正确;
③由抛物线的开口方向向下可推出a<0因为对称轴在y轴右侧,对称轴为x=->0,又因为a<0,b>0;
由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,∴c<
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