中线倍长法及截长补短经典讲义Word格式文档下载.docx
- 文档编号:22029074
- 上传时间:2023-02-02
- 格式:DOCX
- 页数:16
- 大小:328.38KB
中线倍长法及截长补短经典讲义Word格式文档下载.docx
《中线倍长法及截长补短经典讲义Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中线倍长法及截长补短经典讲义Word格式文档下载.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
已知CD=AB,ZBDA二ZBAD,AE是Z\ABD的中线,求证:
ZC=ZBAE作业:
1.在四边形ABCD中,AB〃DC,E为BC边的中点,ZBAE=ZEAF,AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、论
2、已知:
如图,ABC中,C=90,CMAB于M,AT平分BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE
3:
已知在ZiABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE二AC,延长BE交AC于F,求证:
AF=EF
(二)截长补短法
教八年级上册课本中,在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质,这一性质在许多问题里都有着广泛的应用•而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特姝方法,在无法进行直接证明的情形下,利用此种方法常可使思路豁然开朗•请看几例.
例1・已知,如图id,在四边形ABCD中,BC>
AB.AD=DC,BD
平分ZABC.求证:
ZB^D+ZBCD=180°
・
分析:
因为平角等于180。
因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长补短法”来实现.
证明:
过点D作DE垂直的延长线于点E,作DF丄BC于点只如图
•:
BD平分ZABC.:
.DE=DF9
在Rt/\ADE与Rt/^CDF中,
[DE=DF
\AD=CD
:
.Rt^ADE竺Rt/\CDF(HLb:
.上DAE二ZDCF.
又ZBAD^ZDAE=180"
AZB/4D+ZDCF=180°
即ZB4D+ZBCD二18(T・
例2.如图2・1,AD//BC,点F在线段上,ZADE二ZCDE、ZDCE二ZECB・求证:
CD二AD+BC.
在CD上截取CQBC,如图2-2在AFCE与ABCE中,
CF=CB
<
ZFCE=ZBCE
结论是CD=AD+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”,即在CD上截取CF=CB,只要再证DF=DA即可,这就转化为证明两线段相等的问题,从而达到简化问题的目的.
CE=CE
/.AfC£
^ABC£
(SAS)/.\Z2=Z1.
又•:
AD〃BC,:
.ZADC^ZBCD=180"
ZDC£
+ZCD£
=90°
AZ2+Z3=90°
Zl+Z4=90°
AZ3=Z4.
任Z^FDE与厶ADE中,
ZFDE=ZADE
DE=DE
Z3=Z4
:
.^FDE^/\ADE(ASA),ADF=DA.
TCD二M+CF,:
.CD=AD+BC.
例3.已知,如图3」Z1=Z2,P为BN上一点,且PD丄BC于点6
AB+BC=2BD.
求证:
ZBAP+ZBCP=180D・分析:
与例1相类似,证两个角的和是180。
可把它们移到一起,让它们是
图3-2
邻补角,即证明ZBCP^ZEAP.因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.
过点P作PE垂直BA的延长线于点E,如图3-2
VZ1=Z2,且PD丄BC,:
.PE=PD9
在Rt/^BPE与RtABPD中,
fPE=PD
\bp=bp
/.RtZ^BPE竺Rt厶BPD(H0:
.BE二BD・
9:
AB+BC=2BD.:
.AB+BDWC=B[>
BE.:
.ABWC=BE即DC二BF・A3“E・
在Rt/\APE与Rt/^CPD中,
PE=PD
ZPEA=ZPDC
AE=DC
.RtAAPE竺RtACPD(SAS),:
.ZPAE二ZPCD又IZBAP^ZPAE=180c,/.Z8>
4P+Z5CP=180o
例4.已知:
如图44,在“ABC中,ZC=2ZB,Z1=Z2.求证:
AB=AC^CD・
从结论分析,“截长”或“补短”都可实现问题的转化,即延长&
C至F使CE=CD,或在上截取AF=AC.
方法一(补短法)延长AC到E.使DC=CE.则ZCDE=ZCED.
AZ>
4CB=2ZE,
VZACB=2AB,AZB=ZE,
在厶ABD与中,
Z1=Z2
ZB=ZE
AD=AD
/./XABD^^AED(AAS),:
.ab=ae.又AE=AC+CE=AC+DC.:
.AB=ACWC.
方法二(截长法)
在AB±
截取AF=AC.如图4・3
在△AFD与△&
CD中,
AF=AC
Zl=Z2
A/^AFD^AACD(SAS):
DF=DC、乙AFD=
AACD・
又VZ>
4CB=2ZB.;
・ZFDB=ZB、:
.FD=FB.
AB=AF^FB=AC+FD.:
.AB=AC^CD.
上述两种方法在实际应用中,时常是互为补充,但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。
让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。
作业:
1、已知:
如图,ABCD是正方形,ZFAD=AFAE.求证:
BE+DF=AE.
2、五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD.ZABC+Z求证:
AD平分
ZCDE
(三)其它几种常见的形式:
1、有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形。
例1、如图1:
已知AD为ZiABC的中线,且Zl=Z2,Z3=Z4z求证:
BE+CF>
EF.
2、有以线段中点为端点的线段时,常延长加倍此线段,构造全等三角形。
例:
如图2:
AD为AABC的中线,且Z1=Z2,Z3=Z4,求证:
EF.
练习:
已知△ABC,AD是BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各向
形外作等腰直角三角形,如图4,求证EF=2AD。
3、延长已知边构造三角形:
例如:
如图6:
已知AC=BD,AD丄AC于A,BC丄BD于
B,
AD=BC
4.
连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。
如图7:
AB〃CD,AD//BC求证:
AB=CDo
5.有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。
如图8:
在RtAABC中,AB=AC,ZBAC=90°
延长于Eo求证:
BD=2CE・
6、连接已知点,构造全等三角形。
如图9;
AC、BD相交于O点,且AB=DC,
Z1=Z2,CE丄BD的
ZD.
8、取线段中点构造全等三有形。
如图10:
AB=DC,ZA=ZD求证:
ZABC=ZDCB.
图IO
截长补短专题训练作业:
1、如图,等腰梯形ABCD中,ADIIBC,AB=DC,E为AD中点,连接BE,CE
(1)求证:
BE=CE;
(2)若ZBEU90。
,过点B作BF丄CD,垂足为点F,交CE于点G,连接DG,求证:
BG=DG+CD・
2.如图,口ABCD中,E是BC边的中点,连接AGF为CD边上一点,且满足
ZDFA=2乙BAE.
(1)若ZD=105°
ZDAF=35°
.求ZFAE的度数;
(2)求证:
AF=CD+CF.
3、如图,直角梯形ABCD中,ADIIBC,ZB=90°
ZD=45°
・
(1)若AB=6cm,sinZBCA=-*求梯形ABCD的面积;
5
(2)若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA±
一点,且满足
EF=GH,ZEFH=ZFHG,求证:
HD=BE+BF.
4、如图,梯形ABCD中,ADIIBC,点E在BC上,AE二BE,且AF丄AB,连接EF・
(1)若EF丄AF,AF=4,AB=6,求AE的长.
(2)若点F是CD的中点,求证:
CE二BE・AD.
5•在口ABCD中,对角线丄BC,G为3D延长线上一点且AABG为等边三角形,ABAD.ZCBD的平分线相交于点E,连接交BD于F,连接GE.
(1)若DABCD的面积为9血,求AG的长;
AE=BE+GE・
6•已知:
如图,在矩形ABCD中,AC是对角线•点P为矩形外一点且满AP=PC,AP丄PC.PC交AD于点、N,连接DP,过点P作PM丄PZ烽AD于M・
(1):
^AP=y/5.AB=-BC,求矩形A3CD的面秘
3
(2):
若CD=PM,求证:
AC=AP+PN・
7、如图,在正方形ABCD中,点P是AB的中点,连接QP,过点B作
BE丄DP交DP的延长线于点E,连接AE,过点A作AF丄AE交QP于点F,连接
(1)
若A£
=2,求EF的长;
PF=EP+EB°
9.如图,正方形ABCD的对角线相交于点O•点E是线段DO上一点,连结CE.点F是ZOCE的平分线上一点,且BF丄CF与CO相交于点M.点G是线段CF上一点,且CO=CG.
(1)若OF=4,求FG的长;
A只
BF=OG+CF.\
9题图
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 中线 长法 截长补短 经典 讲义