届高三数学一轮复习专讲专练 83 空间点直线平面之间的位置关系Word格式.docx
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又∵C,R∈β,故CR=β∩γ.
C
3.若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则( )
A.α内的所有直线与l异面
B.α内不存在与l平行的直线
C.α内存在唯一的直线与l平行
D.α内的直线与l都相交
依题意,直线l∩α=A(如图).α内的直线若经过点A,则与直线l相交;
若不经过点A,则与直线l是异面直线,故选B.
B
4.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( )
A.A、M、O三点共线
B.A、M、O、A1不共面
C.A、M、C、O不共面
D.B、B1、O、M共面
连接A1C1,AC则A1C1∥AC,
∴A1、C1、C、A四点共面.
∴A1C⊂平面ACC1A1.
∵M∈A1C,∴M∈平面ACC1A1.
又M∈平面AB1D1,
∴M为平面ACC1A1与AB1D1的公共点.
同理OA为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点.
∴A、M、O三点共线.
A
5.(2013·
沈阳质检)正方体AC1中,E、F分别是线段BC、CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直
如图所示,直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF⊂平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.
6.(2013·
烟台调研)如图所示是三棱锥D-ABC的三视图,点O在三个视图中都是所在边的中点,则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于( )
A.
B.
C.
D.
该题我们可以通过补形处理,由于△ABC中AB=AC,且∠A=90°
,同时AD⊥平面ABC.将该三棱锥补形为直三棱柱DB′C′-ABC,则异面直线DO和AB所成角等于△B′DO中∠B′DO的度数.
其中B′D=2,DO=
=
,
B′O=
,可得cos∠B′DO=
.
二、填空题
7.(2012·
四川)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是棱CD、CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是__________.
如图,连接D1M,可证D1M⊥DN.
又∵A1D1⊥DN,A1D1,MD1⊂平面A1MD1,A1D1∩MD1=D1,
∴DN⊥平面A1MD1,
∴DN⊥A1M,即夹角为90°
90°
8.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=
∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为________.
在平面ABC内,过A作DB的平行线AE,过B作BH⊥AE于H,连接B1H,则在Rt△AHB1中,∠B1AH为AB1与BD所成角.设AB=1,则A1A=
,∴B1A=
,AH=BD=
,∴cos∠B1AH=
∴∠B1AH=60°
60°
9.(2013·
金华联考)在图中,G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有__________.(填上所有正确答案的序号)
如题干图①中,直线GH∥MN;
图②中,G、H、N三点共面,但M∉面GHN,因此直线GH与MN异面;
图③中连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;
图④中,G、M、N共面,但H∉面GMN,
∴GH与MN异面.
所以图②④中GH与MN异面.
②④
三、解答题
10.在空间四边形ABCD中,已知AD=1,BC=
,且AD⊥BC,对角线BD=
,AC=
,求AC和BD所成的角.
如图所示,分别取AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H,连接EF、FH、HG、GE、GF.
由三角形的中位线定理,知EF∥AC,且EF=
,GE∥BD,且GE=
GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成的角.
同理,GH=
,HF=
,GH∥AD,HF∥BC.
又AD⊥BC,∴∠GHF=90°
∴GF2=GH2+HF2=1.
在△EFG中,EG2+EF2=1=GF2,
∴∠GEF=90°
,即AC和BD所成的角为90°
11.如图,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°
,BC綊
AD,BE綊
FA,G、H分别为FA、FD的中点.
(1)证明:
四边形BCHG是平行四边形.
(2)C、D、F、E四点是否共面?
为什么?
(1)由已知FG=GA,FH=HD,
可得GH綊
AD.
又BC綊
AD,∴GH綊BC.
∴四边形BCHG为平行四边形.
(2)方法一:
由BE綊
AF,G为FA中点知,BE綊FG,
∴四边形BEFG为平行四边形.
∴EF∥BG.由
(1)知BG∥CH,
∴EF∥CH,∴EF与CH共面.
又D∈FH,∴C、D、F、E四点共面.
方法二:
如图,延长FE,DC分别与AB交于点M,M′,
∵BE綊
AF,
∴B为MA中点.
∵BC綊
AD,
∴B为M′A中点.
∴M与M′重合,即FE与DC交于点M(M′).
∴C、D、F、E四点共面.
12.
(1)已知异面直线a与b所成的角θ=60°
,P为空间一点,则过P点与a和b所成角φ=45°
的直线有几条?
(2)已知异面直线a与b所成的角θ=60°
,P为空间一点,则过P点与a和b所成角φ=60°
(3)已知异面直线a与b所成的角θ=60°
,P为空间一点,则过P点与a与b所成角φ=70°
过点P作直线a′∥a,b′∥b,且a′与b′所确定的平面为α.
(1)过P点在平面α外存在两条直线与a、b所成的角为45°
(2)过P点在平面α内存在一条直线(120°
的角平分线)与a、b所成的角为60°
;
过P点在平面α外存在两条直线与a、b所成的角为60°
,则与a、b所成的角为60°
的直线有3条.
(3)过P点在平面α外a′、b′成60°
夹角平分线上、下存在两条直线与a、b所成的角为70°
,过P点在平面α外a′、b′成120°
,则与a、b所成的角为70°
的直线有4条.
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