数学建模古塔的变形文档格式.docx

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针对问题2，古塔倾斜的原因主要与日光照射、地基活动有关。

首先朝向阳面的地基水分较少，阴面的地基水分较多，于是1万多吨的塔，开始向水分较多，地基松软的方向倾斜。

另外大量的地下水开采影响了地基的稳固，而古塔附近的铁路运输，也会造成震动。

而且，受到地基的不均匀沉降、地震、大风等影响，都会有可能倾斜等变形情况。

针对问题3，根据管理部门委托的测绘公司的数据表来看，古塔每年都以很小的角度在偏移，由于各种人为或者自然原因，使得古塔慢慢的倾斜为斜塔，斜塔并不一定都会倒塌，只要塔的重心线（通过重心点所引的垂直线）还在塔的底面积范围内，塔就是安全的。

因此纠偏要根据每座塔的具体情况而定。

且一般来说，有些塔在倾斜的过程中，原本松软的地基会被渐渐压实，然后与倾斜角度构成新的平衡，便就此稳定下来。

关键词：

古塔变形变形趋势预测倾斜弯曲扭曲维护文物中心位置

0问题背景

在中国辽阔美丽的大地上，随处都可以看到古塔的踪影。

这些千姿百态的古塔，其造型之美，结构之巧，雕刻、装饰之华丽，均堪与我国其它种类的古代建筑相比。

然而，在我国早期的古代建筑物中有楼有阁，有台有榭，有廊有庑，有民居有桥梁有陵墓，唯独没有塔。

原来塔这种建筑并不是我国的固有类型，而是外国的一种建筑。

在传入我国以后，塔又和我国原有的建筑形式相结合，形成了一种具有中国民族传统特色的新的建筑类型。

由于古塔距今历史久远，期间经过各种风吹雨打，自然以及人为损坏，因此需要相关管理部门对古塔做测量，并且针对不同的变形情况制定不同的维护方法，以保证古塔的保留，防止历史建筑物的坍塌导致文化遗产的流逝与人员伤害。

1问题重述

古塔，是中国五千年文明史的载体之一，古塔为祖国城市山林增光添彩，塔被佛教界人士尊为佛塔。

矗立在大江南北的古塔，被誉为中国古代杰出的高层建筑。

但由于存在时间久远，受各方面影响，古塔的可能会发生变形。

如果不能及时发生古塔的变形，去及时维护，古塔就有可能遭受无法挽回的损失。

古塔的变形，由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。

为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。

某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。

管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。

请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：

问题1：

给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。

问题2：

分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。

问题3：

分析该塔的变形趋势。

2问题分析

由给出了的一个古塔实例以及相应数据（附件1，该实例古塔的4次观测数据）的条件下，要求建立该古塔的各层中心位置的通用方法，且列表给出各次测量的古塔各层的中心位置。

并进一步分析该古塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，最后分析该古塔的变形趋势。

问题1中要我们确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心位置。

首先，我们假设各测量点都是选取得科学合理的位置，都是围绕中心点的，并且同一层测量点大致在同一平面上，由已知数据（附件1）也可以看出它们是大致在同一平面上。

那么，我们由已知条件知道每层给出的各测量点的数据，我们通过画三维图形可以看出，那近似于一个的多边形，所以我们就可以把问题转变为求多边形的中心位置，然后记录各个中心位置坐标数据。

问题2中要我们分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。

我们可以根据问题1中求得的各层的中心位置坐标，然后将各层的中心位置坐标，接连起来，观察它。

理论上正常古塔的中心位置坐标连线应该大致是一条垂直于X轴和Y轴平行Z轴的直线。

如果中心位置坐标连线，还是直线但不平行于Z轴了，说明该古塔发生了倾斜，如果中心位置坐标连线不是一条直线，而是一条有一个弧度的曲线，那么说明该古塔发生了弯曲，如果中心位置坐标连线不是一条直线，而是一条有多个弧度的曲线，那么说明该古塔发生了扭曲。

问题3要我们分析该塔的变形趋势时，我们通过分析每一个中心点的变化趋势，来判断整个塔的变形趋势，与预测古塔以后可能会发生的变形情况。

3模型假设

假设1：

各测量点都是选取的都是科学合理的位置。

假设2：

每层的测量点都是围绕着这一层的中心点。

假设3：

同一层测量点都大致在同一平面上。

假设4：

各层测量点构成的几何图形的中心是与这一层的中心位置相重合的。

假设5：

测量点的位置都是古塔上固定的位置。

4符号说明

-------------第

层中心；

--------------------层数

；

---------------------测量点标记

-------------

轴坐标；

-------------------

------------------

------------------拟合线

-------------------拟合线

---------------------第

层中心的

----------------------第

----------------------测量点数

----------------------时间

----------------------时间差

--------------------

坐标差

---------------------

真实值与计算的近似值之差

--------------------方程中的参数

-------------------------第

层的方程参数

5模型建立与求解

5.1确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出古塔各层中心坐标

根据几何中心计算方法，我们可以得出计算各层中心位置的通用方法。

即：

我们把每层的8个测量值，分别求x，y，z的均值，得到的坐标就是每层的中心位置。

表1：

1986年各层中心位置

楼层

中心位置坐标

x/m

y/m

z/m

1

566.6648

522.7105

1.7874

2

566.7196

522.6684

7.3202

3

566.7735

522.6273

12.7552

4

566.8161

522.5944

17.0783

5

566.8621

522.5591

21.7205

6

566.9084

522.5244

26.2351

7

566.9467

522.5081

29.8369

8

566.9843

522.4924

33.3509

9

567.0218

522.4764

36.8549

10

567.0569

522.4230

40.1721

11

567.1045

44.4409

12

567.1518

522.3836

48.7119

13

567.0850

522.7403

52.8343

塔顶

567.2473

522.2437

55.1232

表1数据分析：

我们可以从表中发现，中心位置的x轴坐标，在逐渐增加，而y轴坐标在逐渐减少。

而正常的塔，理论而言，x轴和y轴坐标因该是不变的。

注：

表1数据的计算代码见附件5。

结论：

说明该古塔发生了倾斜变形。

表2：

1996年各层中心位置

层

566.6650

522.7102

1.7830

566.7205

522.6674

7.3146

566.7751

522.6256

12.7508

566.8183

522.5922

17.0751

566.8649

522.5563

21.7160

566.9118

522.5210

26.2295

566.9506

522.5042

29.8322

566.9884

522.4881

33.3454

567.0265

522.4714

36.8482

567.0620

522.4572

40.1676

567.1102

522.4173

44.4354

567.1578

522.3775

48.7074

567.0912

522.7340

52.8300

567.2543

522.2366

55.1198

表2数据分析：

表2数据的计算代码见附件5。

表3：

2009年各层中心位置

566.7268

522.7015

1.7645

566.7640

522.6693

7.3090

566.8001

522.6384

12.7323

566.8293

522.6132

17.0697

566.8603

522.5866

21.7094

566.9471

522.5342

26.2110

566.9792

522.5123

29.8246

567.0305

522.4797

33.3398

567.0816

522.4466

36.8438

567.1370

522.3937

40.1611

567.1799

522.3547

44.4326

567.2225

522.3160

48.6998

567.2712

522.2715

52.8183

567.336

522.2148

55.091

表3数据分析：

表3数据的计算代码见附件5。

表4：

2011年古塔各层中心位置坐标

566.7270

522.7014

1.7632

566.7462

522.6690

7.2905

566.8004

522.6387

12.7269

566.8297

522.6427

17.0520

566.8610

522.5860

21.7039

566.9478

522.5335

26.2045

566.9800

522.5115

29.8170

567.0313

522.4788

33.3366

567.0825

522.4457

36.8222

567.1381

522.3926

40.1441

567.1810

522.3535

44.4248

567.2238

522.3147

48.6838

567.2725

522.2701

52.8131

567.3375

522.2135

55.087

表4数据分析：

表4数据的计算代码见附件5。

5.2分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况

我们由已知的空间直线的标准点向式方程

整理得直线射影式方程

其中

。

这样直线可以看作是用这2个方程表示的平面相交的直线，所以可以分别对2个方程进行数据拟合。

设

表示按拟合方程求得的近似值。

一般地，它不同于实测值

，两者之差

同理可得

当Q取最小值时a，b，c，d的值即为方程的系数，即满足下列方程时Q值最小。

有

令

方程组（6）可写成

其中：

根据n组数据点解方程组就可以得到a，b，c，d的值，也就可以得到拟合线方程。

然后我们就可以通过中心位置点拟合线和拟合线方程来判断，古塔是否已经发生倾斜，弯曲或扭曲。

（1）通过前的算法模型，我们建立出1986年中心位置拟合线方程为：

a，b，c，d参数的计算代码见附件6。

图11986年古塔数据综合分析

分析1986年古塔变形情况：

通过观察图1的第4个子图，我们可以看出中心位置点基本上都是在拟合线上或附近的，说明我们的建立的模型正确的，是可靠性较高的模型。

我们通过分析表1中心点的位置坐标，中心点x坐标有逐层增加的趋势，y坐标有减小的趋势，然后结合拟合线方程和图4中的第1个子图，可知中心拟合线不与z轴平行，有向x轴数值增加方向倾斜。

我们再分析图1中的第3个子图，这是一个府视图，我们可以观察到古塔的测量点曲线图的曲线密集程度分布是不均匀的，也说明古塔发生变形。

图1生成的代码见附件7。

综上分析我们可以得出古塔发生了倾斜变形，往x轴数值增加方向与y轴数值减少方向倾斜。

（2）通过前的算法模型，我们可以建立起1996年中心位置拟合线方程为：

图21996年古塔数据综合分析

分析1996年古塔变形情况：

通过观察图2的第4个子图，我们可以看出中心位置点基本上都是在拟合线上或附近的，说明我们的建立的模型正确的，是可靠性较高的模型。

我们通过分析表2中心点的位置坐标，中心点x坐标有逐层增加的趋势，y坐标有减小的趋势，然后结合拟合线方程和图4中的第1个子图，可知中心拟合线不与z轴平行，有向x轴数值增加方向倾斜。

我们再分析图2中的第3个子图，这是一个府视图，我们可以观察到古塔的测量点曲线图的曲线密集程度分布是不均匀的，也说明古塔发生变形。

图2生成的代码见附件7。

（3）通过前的算法模型，我们可以建立起2009年中心位置拟合线方程为：

图32009年古塔数据综合分析

分析2009年古塔变形情况：

通过观察图3的第4个子图，我们可以看出中心位置点基本上都是在拟合线上或附近的，说明我们的建立的模型正确的，是可靠性较高的模型。

我们通过分析表3中心点的位置坐标，中心点x坐标有逐层增加的趋势，y坐标有减小的趋势，然后结合拟合线方程和图4中的第1个子图，可知中心拟合线不与z轴平行，有向x轴数值增加方向倾斜。

我们再分析图3中的第3个子图，这是一个府视图，我们可以观察到古塔的测量点曲线图的曲线密集程度分布是不均匀的，也说明古塔发生变形。

图3生成的代码见附件7。

（4）通过前的算法模型，我们可以建立2011年中心位置拟合线方程为：

注：

图42011年古塔数据综合分析

分析2011年古塔变形情况：

通过观察图4的第4个子图，我们可以看出中心位置点基本上都是在拟合线上或附近的，说明我们的建立的模型正确的，是可靠性较高的模型。

我们通过分析表4中心点的位置坐标，中心点x坐标有逐层增加的趋势，y坐标有减小的趋势，然后结合拟合线方程和图4中的第1个子图，可知中心拟合线不与z轴平行，有向x轴数值增加方向倾斜。

我们再分析图4中的第3个子图，这是一个府视图，我们可以观察到古塔的测量点曲线图的曲线密集程度分布是不均匀的，也说明古塔发生变形。

图4生成的代码见附件7。

表5：

各层两次测量期间中心位置变化情况

1996-1986

2009-1996

2011-2009

变化量

0.0002

-0.0003

-0.0044

0.0618

-0.0087

-0.0185

-0.0001

-0.0013

0.0009

-0.0010

-0.0056

0.0435

0.0019

-0.0178

0.0016

-0.0017

0.0250

0.0128

0.0003

-0.0055

0.0022

-0.0022

-0.0032

0.0110

0.0210

-0.0054

0.0004

0.0295

-0.0177

0.0028

-0.0028

-0.0045

-0.0046

0.0303

-0.0066

0.0007

-0.0006

0.0034

-0.0034

0.0353

0.0132

-0.0007

-0.0065

0.0039

-0.0039

-0.0047

0.0286

0.0081

-0.0076

0.0008

-0.0008

0.0041

-0.0043

0.0421

-0.0084

-0.0009

0.0047

-0.0050

-0.0067

0.0551

-0.0248

-0.0216

0.0051

0.0342

0.0750

-0.0635

0.0011

-0.0011

-0.0170

0.0057

-0.0057

0.0697

-0.0626

-0.0012

-0.0078

0.0060

-0.0061

0.0647

-0.0615

0.0013

-0.0160

0.0062

-0.0063

0.1800

-0.4625

-0.0117

-0.0014

-0.0052

0.0070

-0.0071

0.0817

-0.0218

-0.0288

0.0015

-0.0040

表5数据分析：

首先我们分析z轴上的数据变化，我们从z轴数值变化可知，z轴数值一直都是在减少，说明该古塔的各层中心高度一直在降低，但各层间的减少量不一样，说明不是地基下沉引起的变化，说明该古塔一定有倾斜变形。

我们再分析下x