人教版九年级数学下册《第二十八章锐角三角函数》单元测试题含答案.docx
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人教版九年级数学下册《第二十八章锐角三角函数》单元测试题含答案
第二十八章 锐角三角函数
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.sin60°的值等于( )
A.B.C.D.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,sinA=,则AB的长为( )
A.B.6C.12D.8
3.已知α为锐角,且cos(90°-α)=,则cosα的值为( )
A.B.C.D.
4.如图1,点A(t,3)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为α,tanα=,则t的值是( )
图1
A.1B.1.5C.2D.3
5.如图2,∠AOB在正方形网格中,则cos∠AOB的值为( )
图2
A.B.C.D.
6.如图3,将△ABC放在每个小正方形的边长都为1的网格中,点A,B,C均在格点上,则tanA的值是( )
图3
A.B.C.2D.
7.如图4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.若AC=,BC=2,则sin∠ACD的值为( )
图4
A.B.
C.D.
8.如图5,某酒店大门的旋转门内部由三块宽为2米,高为3米的玻璃隔板组成,三块玻璃摆放时夹角相同.若入口处两根立柱之间的距离为2米,则两立柱底端中点到中央转轴底端的距离为( )
图5
A.米B.2米C.2米D.3米
9.如图6,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在南偏西22°方向上.航行2小时后到达N处,观测灯塔P在南偏西44°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置,则此时轮船离灯塔的距离约为(参考数据:
sin68°≈0.9272,sin46°≈0.7193,sin22°≈0.3746,sin44°≈0.6947)( )
图6
A.22.48海里B.41.68海里
C.43.16海里D.55.63海里
10.如图7,四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A,已知BC=10,cos∠BCD=,∠BCE=30°,则线段DE的长是( )
图7
A.B.7C.4+3D.3+4
请将选择题答案填入下表:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总分
答案
第Ⅱ卷 (非选择题 共70分)
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.如图8,在△ABC中,∠B=45°,cosC=,AC=5a,则△ABC的面积用含a的式子表示是________.
图8
12.为解决停车难的问题,在一段长56米的路段上开辟停车位,如图9,每个车位是长为5米、宽为2.2米的矩形,矩形的边与路的边缘成45°角,那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位.(参考数据:
≈1.4)
图9
13.如图10,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=4,D为BC的中点,点E,F在线段AD上,tan∠ABC=3,则阴影部分的面积是________.
图10
14.已知△ABC,若与(tanB-)2互为相反数,则∠C的度数是________.
15.如图11,已知四边形ABCD是正方形,以CD为一边向CD两旁分别作等边三角形PCD和等边三角形QCD,那么tan∠PQB的值为________.
图11
16.如图12,已知点A(5,0),直线y=x+b(b>0)与y轴交于点B,连接AB.若∠α=75°,则b=________.
图12
三、解答题(共52分)
17.(5分)计算:
cos30°tan60°-cos45°sin45°-sin260°.
18.(5分)如图13,在△ABC中,AB=4,AC=6,∠ABC=45°,求BC的长及tanC的值.
图13
19.(5分)如图14,在半径为1的⊙O中,∠AOB=45°,求sinC的值.
图14
20.(5分)如图15,AB是长为10m,倾斜角为37°的自动扶梯,平台BD与大楼CE垂直,且与扶梯AB的长度相等,在B处测得大楼顶部C的仰角为65°,求大楼CE的高度(结果保留整数).
(参考数据:
sin37°≈,tan37°≈,sin65°≈,tan65°≈)
图15
21.(7分)如图16,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ABC∶∠BAD=1∶2,BE∥AC,CE∥BD.
(1)求tan∠DBC的值;
(2)求证:
四边形OBEC是矩形.
图16
22.(7分)如图17,市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,设计师提供的方案是:
水坝加高1米(EF=1米),背水坡AF的坡度i=1∶1,已知AB=3米,∠ABE=120°,求水坝原来的高度.
图17
23.(9分)阅读下面的材料:
小凯遇到这样一个问题:
如图18①,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=4,BD=6,∠AOB=30°,求四边形ABCD的面积.小凯发现,分别过点A,C作直线BD的垂线,垂足分别为E,F,设AO为m,通过计算△ABD与△BCD的面积和可以使问题得到解决(如图②).请回答:
(1)△ABD的面积为________(用含m的式子表示);
(2)求四边形ABCD的面积.
参考小凯思考问题的方法,解决问题:
如图③,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=a,BD=b,∠AOB=α(0°<α<90°),则四边形ABCD的面积为________(用含a,b,α的式子表示).
图18
24.(9分)观察与思考:
阅读下列材料,并解决后面的问题.
在锐角三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,过点A作AD⊥BC于点D(如图19①),
则sinB=,sinC=,即AD=csinB,AD=bsinC,
于是csinB=bsinC,即=,
同理有=,=,所以==.
即:
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.在锐角三角形中,若已知三个元素(至少有一条边),运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.
根据上述材料,完成下列各题:
(1)如图②,△ABC中,∠B=45°,∠C=75°,BC=60,则∠A=________°,AC=________;
(2)如图③,在某次巡逻中,渔政船在C处测得海岛A在其北偏西30°的方向上,随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行,半小时后到达B处,此时又测得海岛A在其北偏西75°的方向上,求此时渔政船距海岛A的距离AB.(结果精确到0.01海里,≈2.449)
图19
详解详析
1.C
2.B [解析]由题意可得sinA==.因为BC=4,所以AB=6.
3.D [解析]因为cos(90°-α)=,α为锐角,所以90°-α=60°,所以α=30°,所以cosα=.
4.C [解析]∵点A(t,3)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为α,tanα=,∴tanα==,∴t=2.
5.B [解析]如图,连接AC.由网格图的特点,易得△ACO是等腰直角三角形,所以∠AOB=45°,所以cos∠AOB的值为.
6.D [解析]如图,连接BD.由网格图的特点可知AD⊥BD,由AD=2,BD=,可得tanA的值为.
7.A [解析]在Rt△ABC中,根据勾股定理可得AB2=AC2+BC2=()2+22=9,∴AB=3.∵∠B+∠BCD=90°,∠ACD+∠BCD=90°,∴∠B=∠ACD,∴sin∠ACD=sinB==.故选A.
8.A [解析]如图,设中央转轴底端为A,两立柱底端的点为B,C,BC的中点为D,则有AB=AC=2米,所以AD⊥BC,且CD=1米,所以AD=米.
9.B [解析]如图,过点P作PA⊥MN于点A,MN=30×2=60(海里).
∵∠PMN=22°,∠PNA=44°,
∴∠MPN=∠PNA-∠PMN=22°,
∴∠PMN=∠MPN,
∴MN=PN=60海里.
∵∠PNA=44°,
∴在Rt△NAP中,PA=PN·sin∠PNA≈60×0.6947≈41.68(海里).
故选B.
10.D [解析]如图,过点B作BF⊥DE于点F.
在Rt△CBD中,∵BC=10,cos∠BCD=,
∴DC=6,∴BD=8.
在Rt△BCE中,BC=10,∠BCE=30°,
∴BE=5.
在Rt△BDF中,∠BDF=∠BCE=30°,BD=8,
∴DF=BD·cos30°=4.
在Rt△BEF中,∠BEF=∠BCD,
即cos∠BEF=cos∠BCD=,
∴EF=BE·cos∠BEF=3,
∴DE=EF+DF=3+4.
11.14a2 12.17
13.6 [解析]由等腰三角形的轴对称性可知阴影部分的面积等于△ABC的面积的一半.因为BD=BC=2,AD⊥BC,tan∠ABC=3,所以AD=6,所以△ABC的面积为12,所以阴影部分的面积为6.
14.90° [解析]由题意得sinA=,tanB=,所以∠A=30°,∠B=60°,所以∠C的度数是90°.
15.2- [解析]延长QP交AB于点F.
∵四边形ABCD是正方形,△PCD和△QCD是以CD为边的等边三角形,
∴四边形PCQD是菱形.
设正方形ABCD的边长为a,则可得PE=QE=a,DE=EC=a,FB=a,
∴tan∠PQB===2-.
16.5 [解析]设直线y=x+b(b>0)与x轴交于点C,易得C(-b,0),B(0,b),
所以OC=OB,
所以∠BCO=45°.
又因为α=75°,所以∠BAO=30°.
因为OA=5,所以OB=5,所以b=5.
17.
18.解:
如图,过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ABD中,∠B=45°,
∵sinB=,
∴AD=AB·sinB=4×sin45°=4×=2,
∴BD=AD=2.
在Rt△ADC中,AC=6,
由勾股定理,得DC===2,
∴BC=BD+DC=2+2,
tanC===.
19.解:
如图,过点A作AD⊥OB于点D.
∵在Rt△AOD中,∠AOB=45°,
∴OD=AD=OA·cos45°=1×=,
∴BD=OB-OD=1-,
∴AB===.
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=90°,AC=2,
∴sinC==.
20.解:
如图,过点B作BF⊥AE于点F,
则BF=DE.
在Rt△ABF中,sin∠BAF=,
则BF=AB·sin∠BAF≈10×=6(m).
在Rt△CDB中,tan∠CBD=,则CD=BD·tan65°≈10×≈21(m).
则CE=DE+CD=BF+CD≈6+21=27(m).
答:
大楼CE的高度约是27m.
21.解:
(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°.
又∵∠ABC∶∠BAD=1∶2,
∴∠ABC=60°.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠DBC=∠ABC=30°,
∴tan∠DBC=tan30°=.
(2)证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠BOC=90°.
∵BE∥AC,CE∥BD,
∴∠OBE=∠BOC=∠OCE=90°,
∴四边形OBEC是矩形.
22.解:
如图所示,过点E作EC⊥BD于点C,
设BC=x米.
∵∠ABE=120°,
∴∠CBE=60°.
在Rt△BCE中,
∵∠CBE=60°,
∴tan60°==,即CE=x米.
∵背水坡AF的坡度i=1∶1,∴=1.
∵AC=(3+x)米,CF=(1+x
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