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1kS(k)——第k步的搜索方向,是一个向量;
X*?
X*αk——第k步的步长因子,是一个数,它决定在方向S(k)上所取的步长大小。
简单的说:
是一个搜索、迭代、逼近的过程。
最关键的是搜索的方向和步长。
迭代算法的基本步骤:
1,选定初始点X(0),令k=0;
2、在X(k)处选定下降方向S(k);
3、从X(k)出发沿S(k)一维搜索,找到X(k+1)=X(k)+αkS(k),使得f(X(k+1)) 例:
f(X)=x12+4x22,已知初始点X(0)=[1,1]T,搜索方向S(o)=[-2,-4]T,求X
(1)=?
12?
1?
2?
(1)(0)(0)X?
S14?
4?
(1)229f(X)?
(1?
)?
4(1?
)α?
36 8?
?
17X
(1)?
117迭代终止条件:
迭代法收敛性 1)线性收敛性二次收敛性超线性收敛性终止迭代收敛准则。
第二章 函数的方向导数与梯度一、函数的方向导数 偏导数:
只描述函数沿特殊方向的变化情况在许多实际问题中,常常要知道函数沿其它任一方向上的变化率——引入方向导数的概念。
方向导数定义:
设函数f(x1,x2)是点X(0)的某个邻域上的函数,它与x轴夹角为θ1,与y轴夹角θ2,设X
(1)为S上另一点,则||X(0)X
(1)||=ρ= 如果极限 存在,则称这个极限为函数f(x1,x2)在点X(0)沿S的方向导数。
已知F(X)=X21+X22,取?
2/2?
cosα1Scosα22/2?
则在点处沿S方向的方向导数数值为 例题已知函数f(X)= 则其在点X=(2,1)T处梯度的模为【】 例2-1求二元函数f(x1,x2)=x12+x22-4x1-2x2+5在X0=[2,2]处函数下降最快的方向。
解:
梯度方向是函数变化率最大的方向。
负梯度方向则是函数下降最快的方向。
例2-2求二元函数f(x1,x2)=(x1-2)2+(x2-1)2在点X
(1)=[3,2]T和X
(2)=[2,2]T的梯度,并作图表示 作业:
1、求函数f(X)=x12+x22-6x1在点X
(1)=[1,1]T,X
(2)=[1,2]T,X(3)=[-2,1]T的梯度及其模,并作图表示。
2、求 例2-2?
求二元函数f(x1,x2)=x12+x22-4x1-2x2+5在X0=[2,2]T处的海赛二阶泰勒展开式。
22f(X0)?
4*2?
2*2?
5?
f(X0)?
2x1?
0?
x1f(X0)?
2x2?
2 ?
x2?
22?
f(X0)2?
x1?
x1H(X0)?
22?
02?
TT1?
f(X)?
f(X0)(X?
X0)?
(X?
X0)H(X2 Tx?
2x?
20?
11211?
2x?
202x?
22?
4x1?
5 二次函数1TTf(X)?
XHX?
BX?
C 2B为常数向量;
H为nxn阶常数矩阵。
XTHX称为二次型,H称二次型矩阵。
1)若有XTHX>
0,则称矩阵H是正定的;
若有XTHX≥0,则称矩阵H是半正定的;
若有XTHX 1)正定二次函数的等值线或等值面是一族同心的椭圆或同心椭球。
椭圆族或椭球族的中心就是该二次函数的极小点。
2)非正定二次函数在极小点附近的等值线或等值面近似于椭圆或椭球。
例:
求解等式约束问题的最优解。
解:
0?
)(X?
解1)确定初始区间 初始区间[a,b]=[0,2],中间点x2=1。
2)用二次插值法逼近极小点 相邻三点的函数值:
x1=0,x2=1,x3=2;
f1=2,f2=1,f3=18.代入公式:
xp*=, fp= 于fp, 应继续迭代。
在新区间,相邻三点的函数值:
x1=0,x2=,x3=1;
f1=2,f2=,f3=1.xp*=, fp= 于fpx2,新区间[a,b]=[x2,b]=[,1] |x2-xp*|=||= B.相邻两点目标函数值之差充分小C.目标函数的导数等于零D.目标函数梯度充分小E.目标函数值等于零 3、对于所有非零向量X,若XTMX>
O,则二次刑矩阵M是( ) a三角矩阵B.负定矩阵 C.正定矩阵D.非对称矩阵E.对称矩阵 4、求minf(X)=x12+x22-x1x2 h(X)=x1+x2-1=0 的极小值。
第五章
1、在复合形法中,若反射系数α已被减缩到小于一个预先给定的正数ε,仍不能使反射点可行或优于坏点,则可用 A好点代替坏点 B反射点代替坏点C次坏点代替坏点 D形心点代替坏点 2、对于目标函数F(X)受约束于gu(X)≤0(u=1,2,…,m)的最优化设计问题,外点法惩罚函数的表达式为 计算题:
min1、在用复合形法求解约束优化问题:
时,选定的初始复合形的顶点为:
X1=[,]T,X2=[0,1]T X3=[1,0]T, X4=[,]T 问优化迭代计算后得到的新复合形的顶点?
f(X)?
2x1x2x1x2?
0x1?
0x2?
0222222 第六章
作业:
教材P97——, 第九章 1、平面应力问题中,诸应力分量中为零的是。
Aσx,σy,σzBτxy,τxz,τyz Cσx,σy,τxy Dσz,τyz,τxz 2、在平面应力问题中,沿板厚方向。
A应变为零,但应力不为零 B应力为零,但应变不为零C应力、应变都为零 D应变、应力都不为零 3、从作图的结构体中取出单元体进行应力状态分析,正确的是( )A.σx=σy=0,τxy≠0 B.τxy=τyz=0,σx=σy≠0C.τyz=τxz=0,σz=0D.σx=σy≠0,τxy=0 例2、证明:
对平面三角形单元形函数存在下列关系 Nixi?
Njxj?
Nmxm?
x
4、如图所示二杆平面桁架,杆长为L,弹性模量为E,杆截面积为A,试求整体刚度矩阵;
在1、2节点处引入支承条件,写出总体平衡方程。
。
5、三角形单元的面积为1,厚度为1,已知三角形单元的形态矩阵为 利用单元的形态矩阵求三角形单元 的刚度矩阵。
1、在一平面桁架中,已知节点3处铅直方向位移为零。
若用划行划列法引入支承条件,则应划去总体刚度矩阵中的 ①第3行和第3列②第6行和第6列③第3行和第6列④第6行和第3列 2、对于每个节点具有三个位移分量的杆单元,两节点局部码为1,2,总码为4和1。
其单元刚度矩阵中的元素k32应放入总体刚度矩阵[K]的 ①第3行第2列上②第4行第1列上③第9行第6列上④第12行第11列上 3、在一平面刚架中共有9个杆单元,12个节点,则其总体刚度矩阵[K]是 ①9阶方阵 ②12阶方阵 ③36阶方阵 ④9×
12阶矩阵 4、若把平面应力问题的弹性矩阵改为平面应变问题的弹性矩阵只需将 ①E换成E/(1-μ2),μ换成μ/(1-μ2) ②E换成E/(1-μ2),μ换成μ/(1-μ)③E换成E/(1-μ),μ换成μ/(1-μ2) ④E换成E/(1-μ),μ换成μ/(1-μ)5、刚架杆单元与平面三角形单元 ①单元刚度矩阵阶数不同 ②局部坐标系的维数不同 ③无任何不同 ④节点载荷和位移分量数不同 6、图示平面结构的总体刚度矩阵[K]和竖带矩阵[K*]的元素总数分别是。
①400和200 ②400和160③484和200 ④484和160 7、材料性质均匀的三节点三角形单元,其内部各点①应力和应变均不随位置变化②应力和应变均随位置变化 ③应力不随位置变化,应变随位置变化④应力随位置变化,应变不随位置变化8、描述位移与应变关系的方程称 ①弹性方程 ②几何方程 ③平衡方程 ④虚功方程 9、在以平面刚架中,支承节点4的水平方向位移为已知,若用置大数法引入支承条件,则应将总体刚度矩阵中的 ①第4行和第4列上的元素换为大数A②第4行和第4列上的所有元素换为大数A③第10行、第10列上的元素换为大数A④第10行、第10列上的所有元素换为大数A 10、图示的四根杆组成的平面刚架结构,用杆单元进行有限元分析,单元和节点的划分如图示,则总体刚度矩阵的大小为 ①8x8阶矩②10x10阶矩阵③12x12阶矩阵④16x16阶矩阵 11、在弹性力学平面刚架问题中,已知相邻节点总码的最大差值为5,则半宽值为( )①10 ②18 ③15 ④1212、图示平面应力问题的结构中,单元刚度矩阵①[K]I=[K]III,[K]II=[K]IV,但[K]I≠[K]II②[K]I=[K]II,[K]III=[K]IV,但[K]I≠[K]III③[K]I≠[K]II≠[K]III≠[K]IV④[K]I=[K]II=[K]III=[K]IV 阶段测试题 一、选择题 1.在优化设计压缩螺旋弹簧时,如果安装空间很紧,则此时可选弹簧的作为优化目标。
A、外径或长度最大 B、外径或长度最小C、压力最大D、压力最小 2.下列无约束优化方法中不属于梯度算法的是 A.最速下降法B.牛顿法 C.变尺度法 D.坐标轮换法3.在下列无约束优化方法中,需要计算Hessian矩阵。
A、powell法 B、梯度法C、牛顿法D、共轭梯度法4.利用法在搜索区间[a,b]内确定两点a1=,b1=,此可以知道区间[a,b]的值是( )二.计算题 1、使用K-T条件判断X=[-11]T点是否为目标函数f(X)=x12+x22+4x1-4x2+10,受约束于 g1(X)=x1-x2+2≥0 g2(X)=-x12-x22-2x1+2x2≥0时的最优点。
2.用阻尼牛顿法求目标函数F(x)=x21+4x22的极小点,已知初始点 X(0)=[2,2]T,给定ε=。
(10分) 3.设某无约束优化问题的目标函数为f(x)=x12+9x22,已知初始迭代点X0=[2,2]T,第1次迭代所取的方向S0=[-4,-36]T,步长α0=,第2次迭代所取的方向S1=[-,-] T ,步长α1=,试计算:
(1)第1次和第2次迭代计算所获得的迭代点X1和X2;
(2)在点X0、X1、X2处的目标函数值f0、f1、f2;
(3)用梯度准则判别完成了第2次迭代后能否终止迭代,精度要求ε=。
5.求函数F(X)=(x1-x2)2+(x2-x3)2+f(x3-x1)2的Hessian矩阵,并判别其性质。
6、从直径D=100mm的圆木中锯出矩形梁,选择矩形梁的矩形截面的长为x1,高为x2,以使其抗弯强度为最大,试建立其优化数学模型。
试用外点罚函数法求其最优解;
写出内点罚函数法求解约束优化问题的惩罚函数。
2、用内点罚函数法求解:
minf(X)?
g(X)?
x?
0k 问随着rk的改变惩罚函数的最小值X*(r)是沿着怎样一条轨迹趋向于f(X)的约束最优点,写出该轨迹的表达式。
3、对于约束优化问题 minf(X)?
2x1x222222?
g1(X)?
x12?
x1x2?
0?
g2(X)?
g(X)?
3用复合形法求解,已知初始复合形的顶点X31,X2?
01?
, X?
10?
,X4,求迭代一次后的复合形顶点。
4、一长方形薄板如图所示。
其两端受均匀拉伸P,。
板长12cm,宽4cm,厚1cm。
使用有限元法求解板的内应力,并和精确解比较。
已知:
1、在一平面桁架中,已知节点3处铅直方向位移为零。
若用划行划列法引入支承条件,则应划去总体刚度矩阵中的 ①第3行和第3列②第6行和第6列③第3行和第6列④第6行和第3列 2、对于每个节点具有三个位移分量的杆单元,两节点局部码为1,2,总码为4和1。
12阶矩阵 4、若把平面应力问题的弹性矩阵改为平面应变问题的弹性矩阵只需将 ①E换成E/(1-μ2),μ换成μ/(1-μ2) ②E换成E/(1-μ2),μ换成μ/(1-μ)③E换成E/(1-μ),μ换成μ/(1-μ2) ④E换成E/(1-μ),μ换成μ/(1-μ)5、描述位移与应变关系的方程称 ①弹性方程 ②几何方程 ③平衡方程 ④虚功方程 6、在以平面刚架中,支承节点4的水平方向位移为已知,若用置大数法引入支承条件,则应将总体刚度矩阵中的 ①第4行和第4列上的元素换为大数A②第4行和第4列上的所有元素换为大数A③第10行、第10列上的元素换为大数A④第10行、第10列上的所有元素换为大数A 7、图示的四根杆组成的平面刚架结构,用杆单元进行有限元分析,单元和节点的划分如图示,则总体刚度矩阵的大小为①8x8阶矩阵②10x10阶矩阵③12x12阶矩阵④16x16阶矩阵8、在弹性力学平面刚架问题中,已知相邻节点总码的最大差值为5,则半宽值为( )①10 ②18 ③15 ④129、刚架杆单元与平面三角形单元 ①单元刚度矩阵阶数不同 ②局部坐标系的维数不同 ③无任何不同 ④节点载荷和位移分量数不同0、对一根只受轴向载荷的杆单元,K12为负号的物理意义可理解为 ①当节点2沿轴向产生位移时,在节点1引起的载荷与其方向相反 ②当节点2沿轴向产生位移时,在节点1引起的载荷与其方向相同 ③当节点2沿轴向产生位移时,节点1向反向产生位移 ④当节点2沿轴向产生位移时,节点1向同向产生位移11.刚架杆单元与平面三角形单元[ ] A单元刚度矩阵阶数不同 B局部坐标系的维数不同 C无任何不同 D节点载荷和位移分量数不同12.单元的位移模式指的是( )。
A.近似地描述单元内任一点的位移 B.精确地描述单元内任一点的位移 C.近似地描述弹性体内任一点的位移 D.精确地描述弹性体内任一点的位移 13、如图所示两个等截面杆件与所组成的结构。
试求、写出三个节点1,2,3的节点轴向力F1、F2、F3与节点轴向位移u1、u2、u3之间的整体刚度矩阵[K]。
。
、在节点3处施加固定约束,在节点1处施加沿轴向向右的载荷P,求各节点轴向位移。
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