专题强化练3立体几何中的存在性与探究性问题Word文档下载推荐.docx
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请说明
理由・
%
5.(*)如图,在四棱锥P-ABCD中侧面PAD丄底面ABCD,侧棱PA=PD=AJSifil
ABCD为直角梯形,其中BC||AD,AB丄AD,AD=2AB=:
2BC=2,O为AD的中点.
PO丄平面ABCD;
(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;
(3)线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为哼?
若存在,求出器的值;
厶VU
6,(2020浙江慈溪中学等六校联考高二上期中,*)如图所示的儿何体中,PD垂直于梯形ABCD所在的平面,nADC=nBAD号F为PA的中点,PD=VI,AB=AD今CD=1,四边形PDCE为矩形,线段PC交DE于点N.
AC||平而DEF;
(2)求平面PAB与平面PBC的夹角的正弦值;
(3)在线段EF上是否存在一点Q使得BQ与平面BCP所成角的大小为£
?
若存在,求
6
岀FQ的长;
(:
7.(*)如图甲所示,BO是梯形ABCD的高,zBAD=45o,OB二BC=1,OD=3OA,将梯形
ABCD沿OB折起得到如图乙所示的四棱锥P-OBCD,使得PC=^/3.
(1)在棱PD上是否存在一点F,使得CFII平面POB?
若存在,请求出PF的值;
若不存
在,请说明理由;
⑵点E是线段AB上一动点,当直线CE与DP所成的角最小时,求平而EBC与平而
ECD的夹角的余弦值.
中点,点Q为线段A,B上的一动点.
当点Q为线段A,B的中点时,PQ丄平面A,BC;
⑵设辰=入就,试问:
是否存在实数九使得平面AiPQ与平而BiPQ的夹角的余弦值为導?
若存在,求岀这个实数九若不存在,请说明理由.
C・P
答案全解全析
L解析
(1)证明:
T四边形AAiCiC是正方形,二AA1丄AC.
又•・•平而ABC丄平面AA|C|C,平面ABCn平而AA,C)C=AC,/.AA,ABC.
(2)由AC=4,BC=5,AB=3,得AC-+AB-=BC\/.AB丄AC.
建立如图所示的空间直角坐标系,则A](0,0,4),B(0,3,0),Bi(0,3,4),Ci(4,0,4),
・••盜=(4,-3,4),两=(0,-3,4),甌=(0,0,4).
设平匹中CiB的法向量为ni=(xi,yi,zi),平面BiCiB的法向量为心伽‘力血).
则(n厂匹=4x,-3yx+4习=0,令丫尸冬则x,=0,Z,=3,/.ni=(0,4,3).
(njBAi=-3yi+4z^=0,
n2竺=4x2-3%+4z2=0,令x2=3侧y?
"
二血=(3,4,0).
=422=0,
5X525*
・•・平而A,C,B与平而BiC,B夹角的余弦值为寻
•••Icosvn』2>
imz2l_i6j6
(3)证明:
设点D的竖坐标为t(0<
t<
4),在平而BCC1B1中作DE±
BC尸点E易得
由⑴知石3=(0,3,~4),
2.解析⑴在棱AB上存在点E使得AFII平面PCE,且E为棱AB的中点.理由如下:
如图,取PC的中点Q,连接EQ、FQ,
由题意得,FQ||DC且FQ弓CD,
因为AEIICD且AE=|CD,
所以AEIIFQ且AE=FQ.
所以四边形AEQF为平行四边形.
所以AFIIEQ.
又EQU平而PCE,AFU平面PCE
所以AF||平ffiPCE.
⑵连接BD、DE.由题意知aABD为正三角形,所以ED丄AB,即ED丄CD,
又zADPTO。
所以PD丄AD,且平而ADP±
平面ABCD,平面ADPn平面ABCD=AD,所以PD丄平面ABCD,故以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,
设FD=a,则由题意知F(0,0,a),C(0,2,0),B(岳1,0),
则fr=(0,2,-a),CB=(V3,-l,0),
设平而FBC的法向量为m=(x,y,z).
mFC=2y-az=0,
mCB=VSx-y=0,
令x=l,则y=V3,z=^,
所以
易知平而DFC的一个法向Mn=(1,0,0),因为二而角D-FC-B的余弦值为扌,所以lcos<
m,n>
l=^i,即吕W,解得41(负值舍去).因为PD丄平面ABCD,所以PB在平而ABCD内的射影为BD,所以zPBD为直线PB与平面ABCD所成的角,市题意知在R2PBD中,tanzPBD二辭:
帘=1,所以zPBD=45。
,
BDBD
所以直线PB与平而ABCD所成的角为45。
.
3•解析⑴证明:
四边形ABCD是正方形,
/.BC丄DC.
•・•平而PCD丄平而ABCD,平面PCDn平面ABCD=CD,/.BC±
平而PCD.TDEU平而PCD,ABC丄DE.
TAD二PD二DC,E为线段PC的中点,
・・・PC丄DE.
又TPCnCB=C,/.DE±
平而PBC.
又7DEu平而DEF,
・•・平而DEF丄平面PBC.
(2)由⑴知BC丄平而PCD,
VADIIBC,
・・・AD丄平面PCD.
在平而PCD内过点D作DG丄DC交PC于点G,
・•・AD丄DG,故DAQCQG两两垂直,以D为原点QA,DC,DG所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
TCD=PD=l,zPDC=120°
;
PC=V5・
TAD丄平而PCD侧A(1,O,O),D(O,O,O),C(O,1,O),P(o,-¥
,^.又E为PC的中点,二E((4晋),
二鬲阴冷)•
X+my=0,
1,V3C
-y+—Z=0,
\4J4
假设在线段AB上存在这样的点F,使得tan8=2点设F(lmO)(OSmSl),则
设平而EDF的法向量为n,=(x,y,z)侧卜巴
DE=0,
令贝JZ=-1A=-V3m,
则逅,・1)・
TAD丄平面PCD,/.平而PCD的一个法向量ibN1,0,0),*/tan0=2V3,/.cos0=^.
/.cose=|cos<
ni,nQl-J于I-導:
.m=±
I-vW+3+l13,3
4.解析取A,Ci的中点O,连接B,O,OD,易得OAi,OD,OBi两两垂直.如图,以O为原点,OA,,OD,OB,所在直线分别为X轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则A(1,2,0),B(0,2,V3),D(0,2,0),Ai(1,0,0),E(-1,1,0).
⑴证明:
4^=(-1,2,0),丽=(-1,2,V3),b7=(1,0,-73),iE=(-l,-1,-V3).
设n]=(xi,yi,Zi),02=(X2,72,22)分别为平面A1BD和平面BAE的法向星.由胡咕0,丽•咕0,得{:
:
;
Xx=0,
令yi=l,Mxi=2,zi=0.
/.ni=(2,l,0)是平而AiBD的一个法向量.
市百52=0,辰得卜-辰2=0,
(-^2-72-v3^2=0,
令Z2=l,贝1JX2=V3,y2=-2V3.
/.n2=(A-2V3,l)是平而BAE的一个法向量.
•・・叭尸0,・・・平而BAE丄平面A,BD.
(2)乔=(0,2,0),设平面A1AB的法向暈:
为m=(x,y,z).
由乔m=0,丽口二。
得{?
二;
+辰=0令z=l,则x=V3,.•.m=(V3,0,l)是平而AiAB的一个法向星.
设平而DBA,和平而BAA,的夹角为a
IjliJcos9=1"
5|一2^?
_皿
人J35b•冋Q25*即平而DBA,和平面BAAi夹角的余弦值为罟.
(3)假设在线段BiB(含端点)上存在点M,使点M到平面A,BD的距离为警,设M(O,a,逅)(05a52),则胡=(0,a20).
5]ni|yfS,
解得a=4或a=0.
故在线段B,B上存在点M(端点处),使点M到平而A,BD的距离为等.
5.解析⑴证明:
在"
AD中,PA=PD,O为AD的中点,所以PO丄AD,又侧而PAD丄底面ABCD,侧面PADn平面ABCD=AD,POu平而PAD,所以PO丄平而ABCD.
⑵连接OC,以O为坐标原点,OC、OD、OP所在直线分别为X轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz,依题意,易得B(l,J,0),C(l,0,0),D(0,l,0),P(0,0,l),
设异而直线PB与CD所成的角是e,则
cos0=|COS<
PB,CD>
I=5
(3)假设线段AD上存在点Q使得它到平面PCD的距离为%市
(2)知cp=(-1,0,1)-
设平而PCD的法向量为n=(xo,yo,zo).
则卜更=6所以後叮:
社
n-CD=0,%+y。
一0,
即xo=yo=zo,
取xoul,得平而PCD的一个法向量为11=(1,1,1).
设Q(O,y,0)(-15y51)贝辰=:
(_1,y,0),由聲畔得乎%
解得y=4或y气(舍去),
所以线段AD±
存在点Q满足题意,此时AQ茅,QD=£
则器.
6•解析⑴证明:
因为四边形PDCE为矩形,所以N为PC的中点•连接FN,如图,
在APAC中,F,N分别为PA,PC的中点,
所以FNIIAC,
因为FNU平面DEF,AC<
t平面DEF,
所以ACII平而DEF.
(2)易知DA,DC,DP两两垂直,如图,以D为原点QAQCQP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.
则P(0,0,V^),A(1,0,0)3(1,1,0),C(0,2,0),所以乔二(0,1,0),而=(141,1,0)
设平匹PBC的法向量为m=(x,y,z),
贝jjfmPB=(x,y,z)(l,lrV2)=0,
*ImBC=(x,y,z)(-Xl,0)=0,
即卩+y-辰=0,即卩
l-x+y=0,(z=V2x,
令n:
所以平而PBC的一个法向量为逅).
设平西PAB的法向量为n=(x,,yi,z,),
则炉•竺=(xi,yi,zi)(0,1,0)=0,
、InPB=(Xi,yi,zi)(l,l,-V2)=0,
令Zi=l,MX1=V2,
所以平而PAB的一个法向暈:
为n=(V2,0U),
lcosvni,n>
l二需;
【2+]-募,故平面PAB与平而PBC的夹角的正弦值为Ji-(野当.
(3)设存在点Q满足条件.
由FG,o,^),E(O,2Q)侧辰=(-霁冷).
设整理得Q(苧,2入弩),
则西彳¥
,2X1色严).
因为直线BQ与平面BCP所成角的大小为*,所以sinMlcos<
^,m:
>
l
_|BQ-m|_15A-1I_1
-亦-2耐肿,
解得九2=4,由05入51知九=1,即点Q与点E重合.
故在线段EF上存在一点Q使得BQ与平面BCP所成角的大小为质此时FQ二EF=字.
7•解析⑴在棱PD上存在点F,使得CFII平面POB,此时PF=^.
平而OBCDQBU平面OBCD,OCnOB=O,
所以OP丄平面OBCD,
所以OP丄OD,所以PD=Vr+9=>
ZTo,
过F作FGIIOD交OP于G,连接CF,BG,易知FGgOD二BC,FG||OD||BC,
所以FG||BC,FG=BC,
所以四边形BCFG为平行四边形,
所以CFI1BG,因为BGU平而POB,CF(t平面POB,所以CF||平面POB.
此时PF窑.
(2)以O为坐标原点,OB,OD,OP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
则C(1,1,0),D(0,3,0),P(0,0,1),B(1,0,0),所以5?
二(0,・3,1).设E(x,y,z),则?
=(x,y,z・
即(x,y,z-1)=九(1,0,-1),所以E(Z,O,1-Z),CE=(X-1,-1,1-Z),设直线CE与DP所成角为0,
则cos0=|cosv左,丽>
|:
=—=——0dMl)・
J2A^-4X+3VTO皿寸2护・4入+3
令十,则X=4-t(3.t.4),eos。
扁為步冷,
令a』,则Xa箱cos:
—.
r43VnJwQ.123+2
当a€时,cos0=—取最大值,此时直线CE与DP所成的角最小,此时入三,所
19VTo719fl2-i2a+26
以E(沁)•
易知竟=(0,1,0),疋二(-£
-1,扌),?
3=(-1,2,0).
可求得平而EBC、平而ECD的法向量分别为n尸(1,0,1),112=(2,1,8).所以lcosvnm>
l二磊仝黑即平而EBC与平面ECD的夹角的余弦值为窖&
解析⑴证明:
连接ABi,ACi.
T点Q为线段A,B的中点,四边形A.BiBA为矩形,
・•・A,Q,B]三点共线,且点Q为AB1的中点.
•・•点P,Q分别为BiCi和ABi的中点,
APQIlACi.
在直三棱柱ABC-AiB,C,中,AC丄BC,
/.BC丄平而ACCiAi,
又ACiU平面ACC,Ai,/.BC±
AC,.
又AC=AA,,••・四边形ACCiAi为正方形,
AC]丄A^C.
VAiCnBC=C,/.ACi±
平面A1BC.
而PQIIAC1,.:
PQ丄平而A1BC.
⑵以C为原点,分别以CA,CB,CCi所在直线为X轴,y轴,Z轴建立空间直角坐标系,连接A,P,BiQ,BP,则B(0,2,0),Ai(2,0,2)・设Q(x,y,z).
两,:
、(x,y-2,z)=Z(2,-2,2).
(X=2入Ay=2-21,AQ(2V-2X,2X).
G=2入
•・•点Q在线段AiB上运动,
・•・平而A.PQ的法向量即为平而A,PB的法向量.
设平而A1PB的法向量为ni=(xi,y,,zi),
TC(O,O,O),P(O丄2),
丽=(0,-1,2),两二(2,-1,0).
市卜号0,得捫+圣=0,
UiPAi=0,l2xi-yi=0.
令yi=2,得111=(1,2,1).
设平而BiPQ的法向量为I12=(X2,y2,Z2),
•/B1(0,2,2),・•・两二(0,1,0),顽=(2九-2九2九-2).
比卜2PBl=0,彳早$2=0,
ln2bTq=0,'
(加2勿2+(入-1)Z2=°
・令Z|=九得112=(1-九0,入).由题意得lcos<
n4>
1二■严'
-£
—-駕
V5xJ(1*)2+¥
V5xJ2A2-2X+1
・•・9尼9入+2=0,解得迅或0
・•・当九或九时,平面A1PQ与平面B1PQ所成夹角的余弦值为警.
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- 专题 强化 立体几何 中的 存在 探究性 问题