吴赣昌第五版经管类概率论与数理统计课后习题完整版Word格式.docx
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①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来,则称X为离散型随机
变量;
否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出,但可在一段
连续区间上取值,则称X为连续型随机变量.
习题3盒中装有大小相同的球10个,编号为0,1,2,?
9,从中任取1个,观察
号码是“小于5”,“等于5”,“大于5”的情况,试定义一个随机变量来表
达上述随机试验结果,并写出该随机变量取每一个特定值的概率.
2.2离散型随机变量及其概率分布
习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且P{X=1}=P{X=2},求λ.
习题2
设随机变量X的分布律为
试求
(1)P{12<
X<
52;
P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,
(2)P{1≤X≤3};
(3)P{X>
3}.
习题3
一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.
习题4(空)
习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务,每出租一辆汽车,可从出租公司得到3元.因代营业务,每天加油站要多付给职工服务费60元,设每天出租汽车数X是一个随机变量,它的概率分布如下:
X
10
20
30
40
pi
0.15
0.25
0.45
求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.
习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1,当生产过程中出现废品时立即进行调整,X代表在两次调整之间生产的合格品数,试求:
(1)X的概率分布;
(2)P{X≥5};
(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?
习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6,求他一次投篮时,投篮命中的概率分
布.
习题8某种产品共10件,其中有3件次品,现从中任取3件,求取出的3件产品中次品的概率分布.
习题9一批产品共10件,其中有7件正品,3件次品,每次从这批产品中任取
一件,取出的产品仍放回去,求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.
习题10纺织厂女工照顾800个纺绽,每一纺锭在某一段时间
为0.005,在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.
τ内断头的概率
习题11设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布,经统计发现在某本书
上,有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同,求任意检验4页,每页上都
没有印刷错误的概率.
2.3随机变量的分布函数
习题1.解答:
离散.
由于F(x)是一个阶梯函数,故知X是一个离散型随机变量.
习题3已知离散型随机变量X的概率分布为
P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,
试写出X的分布函数F(x),并画出图形.
习题4
习题5
习题6在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这个质点的坐标.设这个质点
落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例,试求X的分布函数.
2.4连续型随机变量及其概率密度
习题1
习题5设一个汽车站上,某路公共汽车每5分钟有一辆车到达,设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的,试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.
习题6
习题7(空)
2.5随机变量函数的分布
总习题二
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
9、
10、
11、
12、
13、
14、
15、
16、
17、
18、
19、
20、
第三章多维随机变量及其分布
3.1二维随机变量及其分布
⑴
⑵
⑶
3、⑴
3.2条件分布与随机变量的独立性
3.3二维随机变量函数的分布
复习总结与总习题解答
14、(空)
第四章随机变量的数字特征
4.1数学期望
4
4.2方差
4.3协方差与相关系数
4.4大数定理与中心极限定理
总习题四解答
X表示每件产品的利润,则X取-2,10,求每件产品的平均利润,即X的数学期
望.E(X)=-2×
0.1+10×
0.9=8.8.
故cov(X,Y)=0.
21、
22、
23、
24、
25、
第五章数理统计的基础知识
5.1数理统计的基本概念
已知总体X服从[0,λ]上的均匀分布(λ未知),X1,X2,?
Xn为X的样本,则().
(A)1/n∑i=1nXi-λ2是一个统计量;
(B)1/n∑i=1nXi-E(X)是一个统计量;
(C)X1+X2是一个统计量;
(D)1/n∑i=1nXi^2-D(X)是一个统计量.
应选(C).由统计量的定义:
样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样本的统计
量.(A)(B)(D)中均含未知参数.
观察一个连续型随机变量,
抽到100
株“豫农一号”玉米的穗位(单位:
cm),
得到如下表中所列的数据
.按
区间[70,80),[80,90),
?
[150,160),
将100个数据分成
9个组,列出分组数据计表(包括频率和累积频率),
并画出频率累积的直方图
.解答:
分组数据统计表
组序号
1
2
3
5
6
7
8
9
组限
70~80
80~90
90~100
100~110
110~120
120~130
130~140
140~150
150~160
组中值
75
85
95
105
115
125
135
145
155
组频率
13
16
26
组频率%
累计频率%
12
25
41
67
87
94
98
100
频率直方图见图(a),累积频率直方图见图(b).
测得20个毛坯重量(单位:
g),列成如下简表:
毛坯重量
185
187
192
195
200
202
205
206
频数
毛坯重量207208210214215216218227
将其按区间[183.5,192.5),?
[219.5,228.5)组,列出分组统计表,并画出频率直方图.
分组统计表见表
183.5,~192.5
192.5,~201.5
201.5,~210.5
210.5,~219.5219.5,~228.5
188
197
215
224
组频数
组频率/%15
频率直方图见下图
某地区抽样调查
200个居民户的月人均收入,得如下统计资料:
月人均收入(百元)5-66-77-88-9
9-1010-11
11-12合计
户数
18
35
76
24
19
14
求样本容量n,样本均值Xˉ,样本方差S^2.
对于抽到的每个居民户调查均收入,可见
n=200.这里,没有给出原始数据,而是给出了整
理过的资料(频率分布),我们首先计算各组的“组中值”
,然后计算Xˉ和S2的近似值:
组中值ak
5.5
6.5
7.5
8.5
9.5
10.5
11.5
-
户数fk
7624
Xˉ=1n∑kakfk=1200(5.5
×
+1118+.5×
14)=7.945,
S2≈1n-1∑k(ak-X
ˉ)2fk=1n∑-1kak2fk-X
ˉ2=1199(5.52×
18+?
+11.52×
14)-7.945
≈66.0402-63.123025=2.917175.
设总体X服从二项分布B(10,3100),X1,X2,?
Xn为来自总体的简单随机样本,
Xˉ=1n∑i=1nXi与Sn2=1n∑i=1n(Xi-Xˉ)2
分别表示样本均值和样本二阶中心矩,试求E(Xˉ),E(S2).
由X~B(10,3100),得
E(X)=10×
3100=310,D(X)=10×
3100×
97100=2911000,所以
E(Xˉ)=E(X)=310,E(S2)=n-1nD(X)=291(n-1)1000n.
设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料
日售出台数k
34
合计
天数fk
1025
15
求样本容量n,经验分布函数
Fn(x).解答:
(1)样本容量n=100;
(2)经验分布函数
Fn(x)={0,x<
20.20,2≤x<
30.50,3≤x<
40.60,4≤x<
50.85,5≤x<
61,x≥6.
设总体X的分布函数为F(x),概率密度为f(x),X1,X2,?
Xn为来自总体X的一个样本,记X
(1)=min1≤i≤n(Xi),X(n)=max1≤i≤n(Xi),
试求X
(1)和X(n)各自的分布函数和概率密度.
设X
(1)的分布函数和概率密度分别为
F1(x)和
f1(x),X(n)的分布函数和概率密度分别为
Fn(x)和fn(x),
则
Fn(X)=P{X(n)≤x}=P{X1≤
x,?
X(n)≤x}
=P{X1≤x}P{X2≤x}?
P{Xn≤x}=[F(x)]n,
fn(x)=F′n(x)=n[F(x)]n-1f(x),
F1(x)=P{X
(1)≤x}=1-P{X
(1)>
x}=1-P{X1>
x,X2>
Xn>
x}
=1-P{X1>
x}P{X2>
x}?
P{Xn>
=1-[1-P{X1≤x}][1-P{X2≤x}]?
[1-P{Xn≤x}]
=1-[1-F(x)]n,
F′1(x)=f1(x)=n[1-F(x)]n-1f(x).
设总体X服从指数分布e(λ),X1,X2是容量为2的样本,求X
(1),X
(2)的概率密度.
f(x)={λe-λx,x>
00,其它,F(x)={1-e-λx,x>
00,x≥0,
X
(2)的概率密度为
f
(2)(x)=2F(x)f(x)={2λe-λx(1-e-λx),x>
00,其它,
又X
(1)的概率密度为
f
(1)(x)=2[1-F(x)]f(x)={2λe-2λx,x>
00,其它.
设电子元件的寿命时间X(单位:
h)服从参数λ=0.0015的指数分布,今独立测试n=6元件,记录它们的失效时间,求:
(1)没有元件在
800h之前失效的概率;
(2)没有元件最后超过
3000h
的概率
.
(1)总体
X的概率密度
f(x)={(0.0015)e-0.0015x,x>
00,其它,
分布函数
F(x)={1-e-0.0015x,x>
{没有元件在
800h前失效
}={最小顺序统计量
X
(1)>
800},
有
P{X
(1)>
800}=[P{X>
800}]6=[1-F(800)]6
=exp(-0.0015×
800×
6)=exp(-7.2)≈0.000747.
(2){没有元件最后超过3000h}={最大顺序统计量X(6)<
3000}
P{X(6)<
3000}=[P{X<
3000}]6=[F(3000)]6
=[1-exp{-0.0015
3000}]6=[1-exp{-4.5}]6
≈0.93517.
设总体X任意,期望为μ,方差为σ2,
容量n应取多大?
解答:
因当n很大时,Xˉ-N(μ,σ2n),于是
若至少要以
95%的概率保证∣
Xˉ-μ∣<
0.1σ,
问样本
P{∣Xˉ-μ∣<
0.1σ}=P{μ-0.1σ<
Xˉ<
μ+0.1σ}
≈Φ(0.1σσ/n)-Φ(-0.1σσ/n)=2Φ(0.1n)-1≥0.95,
则Φ(0.1n)≥0.975,查表得Φ(1.96)=0.975,因Φ(x)非减,故0.1n≥1.96,n≥384.16,故样本容量至少取385才能满足要求.
5.2常用统计分布
对于给定的正数a(0<
a<
1),设za,χa2(n),ta(n),Fa(n1,n2)分别是标准正态分布,
χ2(n),t(n),F(n1,n2)分布的上
a分位点,则下面的结论中不正确的是
().
(A)z1-a(n)=-za(n);
(B)χ1-a2(n)=-χa2(n);
(C)t1-a(n)=-ta(n);
(D)F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1).
应选(B).
因为标准正态分布和t分布的密度函数图形都有是关于
等于零,所以(A)和(C)是对的.(B)是错的.对于F分布,若
y轴对称的,而χ2分布的密度大于F~F(n1,n2),则
1-a=P{F>
F1-a(n1,n2)}=P{1F<
1F1-a(n1,n2)=1-P{1F>
1F1-a(n1,n2)
由于1F~F(n2,n1),所以
P{1F>
1F1-a(n1,n2)=P{1F>
Fa(n2,n1)=a,
即F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1).故(D)也是对的.
习题2
(1)
2.设总体X~N(0,1),X1,X2,?
Xn为简单随机样本,问下列各统计量服从什么分布?
(1)X1-X2X32+X42;
因为Xi~N(0,1),i=1,2,?
n,所以:
X1-X2~N(0,2),X1-X22~N(0,1),X32+X42~χ2
(2),
故X1-X2X32+X42=(X1-X2)/2X32+X422~t
(2).
习题2
(2)
(2)n-1X1X22+X32+?
+Xn2;
因为Xi~N(0,1),∑i=2nXi2~χ2(n-1),所以
n-1X1X22+X32+?
+Xn2=X1∑i=2nXi2/(n-1)~t(n-1).
习题2(3)
2.设总体X~N(0,1),X1,X2,?
Xn为简单随机样本,问下列各统计量服从什么分布?
(3)(n3-1)
∑i=13Xi2/∑i=4nXi2.解答:
因为∑i=13Xi2~χ2(3),∑i=4nXi2~χ2(n-3),所以:
(n3-1)∑i=13Xi2/∑i=4nXi2=∑i=13Xi2/3∑i=4nXi2/(n-3)~F(3,n-3).
设X1,X2,X3,X4是取自正态总体X~N(0,22)的简单随机样本,且
Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,
则a=?
b=?
时,统计量Y服从χ2分布,其自由度是多少?
解法一Y=[a(X1-2X2)]2+[b(3X3-4X4)]2,令Y1=a(X1-2X2),Y2=b(3X3-4X4),则
Y=Y12+Y22,
为使
Y~χ2
(2),
必有
Y1~N(0,1),Y2~N(0,1),
因而
E(Y1)=0,D(Y1)=1,E(Y2)=0,D(Y2)=1,
注意到
D(X1)=D(X2)=D(X3)=D(X4)=4,由
D(Y1)=D[a(X1-2X2)]=aD(X1-X2)=a(D(X1)+22D(X2))
=a(4+4
4)=20a=1,
D(Y2)=D[b(3X3-4X4)]=bD(3X3-4X4)
=b(9D(X3)+16D(X4))=b(4
9+16×
4)=100b=1,分别得
a=120,b=1100.
这时
Y~χ2
(2),
自由度为n=2.
解法二因Xi~N(0,22)且相互独立,知
X1-2X2=X1+(-2)X2~N(0,20),3X3-4X4=3X3+(-4)X4~N(0,100),
故X1-2X220~N(0,1),3X3-4X4100~N(0,1),为使
Y=(X1-2X21/a)2+(3X3-4X41/b)2~χ2
(2),
必有X1-2X21/a~N(0,1),3X3-4X41/b~N(0,1),与上面两个服从标准正态分布的随机变量比较即
是1a=20,1b=100,即a=120,b=1100.
设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,32).X1,X2,?
X9和Y1,Y2,?
Y9是分别取自总体X和Y的简单随机样本,试证统计量
T=X1+X2
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