第三篇+三角函数解三角形Word格式文档下载.docx

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有向线段AT为正切线

辨析感悟

1．对角的概念的认识

（1）小于90°

的角是锐角．（×

）

（2）锐角是第一象限角，反之亦然．（×

（3）将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°

.（×

（4）相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．（×

2．任意角的三角函数定义的理解

（5）（教材练习改编）已知角α的终边经过点P（－1,2），则sinα＝＝.（√）

（6）（2013·

济南模拟改编）点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第二象限．（√）

（7）（2011·

新课标全国卷改编）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cosθ＝.

（×

[感悟·

提升]

1．一个区别　“小于90°

的角”、“锐角”、“第一象限的角”的区别如下：

小于90°

的角的范围：

，锐角的范围：

，第一象限角的范围：

（k∈Z）．所以说小于90°

的角不一定是锐角，锐角是第一象限角，反之不成立．如

（1）、

（2）．

2．三个防范　一是注意角的正负，特别是表的指针所成的角，如（3）；

二是防止角度制与弧度制在同一式子中出现；

三是如果角α的终边落在直线上时，所求三角函数值有可能有两解，如（7）.

考点一　象限角与三角函数值的符号判断

【例1】

（1）若sinα·

tanα＜0，且＜0，则角α是（　　）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

（2）sin2·

cos3·

tan4的值（　　）．

A．小于0B．大于0

C．等于0D．不存在

解析　

（1）由sinα·

tanα＜0可知sinα，tanα异号，从而α为第二或第三象限的角，由＜0，可知cosα，tanα异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．

（2）∵sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，

∴sin2·

tan4＜0.

答案　

（1）C　

（2）A

规律方法熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符号，再判断角所在象限．

【训练1】设θ是第三象限角，且＝－cos，则是

（　　）．

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

解析　由θ是第三象限角，知为第二或第四象限角，

∵＝－cos，∴cos≤0，知为第二象限角．

答案　B

考点二　三角函数定义的应用

【例2】已知角θ的终边经过点P（－，m）（m≠0）且sinθ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．

解　由题意得，r＝，∴sinθ＝＝m.

∵m≠0，∴m＝±

.故角θ是第二或第三象限角．

当m＝时，r＝2，点P的坐标为（－，），角θ是第二象限角，

∴cosθ＝＝＝－，tanθ＝＝＝－.

当m＝－时，r＝2，点P的坐标为（－，－），角θ是第三象限角．

∴cosθ＝＝＝－，tanθ＝＝＝.

综上可知，cosθ＝－，tanθ＝－或cosθ＝－，tanθ＝.

规律方法利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：

角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．

【训练2】已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋的值．

解　设角α终边上任一点为P（k，－3k），

则r＝＝|k|.

当k＞0时，r＝k，

∴sinα＝＝－，＝＝，

∴10sinα＋＝－3＋3＝0；

当k＜0时，r＝－k，

∴sinα＝＝，

＝＝－，

∴10sinα＋＝3－3＝0.

综上，10sinα＋＝0.

考点三　扇形弧长、面积公式的应用

【例3】已知一扇形的圆心角为α（α＞0），所在圆的半径为R.

（1）若α＝60°

，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；

（2）若扇形的周长是一定值C（C＞0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

审题路线　

（1）角度化为弧度⇒求扇形的弧长⇒S弓＝S扇－S△⇒分别求S扇＝lr，S△＝r2sinα⇒计算得S弓．

（2）由周长C与半径R的关系确定R与α的关系式⇒代入扇形面积公式⇒确定S扇与α的关系式⇒求解最值．

解　

（1）设弧长为l，弓形面积为S弓，则

α＝60°

＝，R＝10，l＝×

10＝（cm），

S弓＝S扇－S△＝×

×

10－×

102×

sin

＝π－＝50（cm2）．

（2）法一　扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝，

∴S扇＝α·

R2＝α·

2

＝α·

＝·

≤.

当且仅当α2＝4，即α＝2rad时，扇形面积有最大值.

法二　由已知，得l＋2R＝C，

∴S扇＝lR＝（C－2R）R＝（－2R2＋RC）

＝－2＋.

故当R＝，l＝2R，α＝2rad时，这个扇形的面积最大，最大值为.

规律方法

（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．

（2）求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.

学生用书第50页

【训练3】

（1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？

扇形的面积是多少？

（2）一扇形的周长为20cm；

当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？

解　

（1）设扇形的圆心角为θrad，则扇形的周长是2r＋rθ.

依题意：

2r＋rθ＝πr，

∴θ＝（π－2）rad.

∴扇形的面积S＝r2θ＝（π－2）r2.

（2）设扇形的半径为r，弧长为l，

则l＋2r＝20，即l＝20－2r（0＜r＜10）．

∴扇形的面积S＝lr＝（20－2r）r

＝－r2＋10r＝－（r－5）2＋25.

∴当r＝5cm时，S有最大值25cm2，

此时l＝10cm，α＝＝2rad.

因此，当α＝2rad时，扇形的面积取最大值．

1．在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r一定是正值．

2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：

一全正，二正弦，三正切，四余弦．

3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．

创新突破4——以任意角为背景的应用问题

【典例】（2012·

山东卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2,1）时，的坐标为________．

突破1：

理解点P转动的弧长是解题的关键，在单位圆中可寻找直角三角形．

突破2：

在直角三角形中利用三角函数定义求边长．

突破3：

由几何图形建立P点坐标与边长的关系．

解析　如图，作CQ∥x轴，PQ⊥CQ,Q为垂足．

根据题意得劣弧

＝2，故∠DCP＝2，则在△PCQ中，∠PCQ＝2－，|CQ|＝cos＝sin2，

|PQ|＝sin＝－cos2，

所以P点的横坐标为2－|CQ|＝2－sin2，P点的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos2，所以P点的坐标为（2－sin2,1－cos2），

故＝（2－sin2,1－cos2）．

答案　（2－sin2,1－cos2）

[反思感悟]

（1）解决此类问题时应抓住在旋转过程中角的变化，结合弧长公式、解三角形等知识来解决．

（2）常见实际应用问题有：

表针的旋转问题、儿童游乐场的摩天轮的旋转问题等．

【自主体验】

已知圆O：

x2＋y2＝4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N，以ON为终边的角记为α，则tanα＝（　　）．

A．－1B．1C．－2D．2

解析　圆的半径为2，的弧长对应的圆心角为，故以ON为终边的角为，故tanα＝1.

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1．若sinα＜0且tanα＞0，则α是（　　）．

A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角

解析　∵sinα＜0，则α的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴；

又tanα＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限．

答案　C

2．（2014·

汕头一中质检）一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（　　）．

A.B.C.D.

解析　设圆的半径为R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为R，∴圆弧长为R.∴该圆弧所对圆心角的弧度数为＝.

3．点P从（1,0）出发，沿单位圆x2＋y2＝1按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为（　　）．

A.B.C.D.

解析　由弧长公式得，P点逆时针转过的角度α＝，所以Q点的坐标为，即.

答案　A

4．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π），则θ的值为（　　）．

A.B.C.D.

解析　由sin＞0，cos＜0知角θ是第四象限的角，

∵tanθ＝＝－1，θ∈[0,2π），∴θ＝.

答案　D

5．有下列命题：

①终边相同的角的同名三角函数的值相等；

②终边不同的角的同名三角函数的值不等；

③若sinα＞0，则α是第一、二象限的角；

④若α是第二象限的角，且P（x，y）是其终边上一点，则cosα＝.

其中正确的命题的个数是（　　）．

A．1B．2C．3D．4

解析　①正确，②不正确，

∵sin＝sin，而与角的终边不相同．

③不正确．sinα＞0，α的终边也可能在y轴的正半轴上．

④不正确．在三角函数的定义中，cosα＝＝，不论角α在平面直角坐标系的任何位置，结论都成立．

二、填空题

6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P（4，y）是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝______.

解析　因为sinθ＝＝－，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.

答案　－8

7.

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα＝____.

解析　因为A点纵坐标yA＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cosα＝－.

答案　－

8．函数y＝的定义域为________．

解析　

∵2cosx－1≥0，∴cosx≥.

由三角函数线画出x满足条件的终边的范围（如图阴影所示）．

∴x∈（k∈Z）．

答案　（k∈Z）

三、解答题

9．

（1）写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°

≤α<

720°

的元素α写出来：

①60°

；

②－21°

.

（2）试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°

180°

的元素α写出来．

解　

（1）①S＝{α|α＝60°

＋k·

，k∈Z}，其中适合不等式－360°

的元素α为－300°

，60°

，420°

②S＝{α|α＝－21°

的元素α为－21°

，339°

，699°

（2）终边在y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝k·

＋120°

，k∈Z}∪{α|α＝k·

＋300°

，k∈Z}＝{α|α＝k·

，k∈Z}，其中适合不等式－180°

的元素α为－60°

，120°

10．

（1）已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；

（2）一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.

解　

（1）设圆心角是θ，半径是r，则

解得或（舍去）．

∴扇形的圆心角为.

（2）

设圆的半径为rcm，弧长为lcm，

则解得

∴圆心角α＝＝2.

如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1弧度．

∴AH＝1·

sin1＝sin1（cm），

∴AB＝2sin1（cm）．

能力提升题组

25分钟）

1．（2014·

杭州模拟）已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是（　　）．

A．（－2,3]B．（－2,3）

C．[－2,3）D．[－2,3]

解析　由cosα≤0，sinα＞0可知，角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上，所以有解得－2＜a≤3.

2．给出下列命题：

①第二象限角大于第一象限角；

②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；

③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；

④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；

⑤若cosθ<

0，则θ是第二或第三象限的角．

其中正确命题的个数是（　　）．

A．1B．2C．3D．4

解析　由于第一象限角370°

不小于第二象限角100°

，故①错；

当三角形的内角为90°

时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；

③正确；

由于sin＝sin，但与的终边不相同，故④错；

当θ＝π，cosθ＝－1<

0时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．

3．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋＝________.

解析　原式＝＋，由题意知角α的终边在第二、四象限，sinα与cosα的符号相反，所以原式＝0.

答案　0

4．已知sinα＜0，tanα＞0.

（1）求α角的集合；

（2）求终边所在的象限；

（3）试判断tansincos的符号．

解　

（1）由sinα＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；

由tanα＞0，知α在第一、三象限，

故α角在第三象限，其集合为

（2）由（2k＋1）π＜α＜2kπ＋，

得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，

故终边在第二、四象限．

（3）当在第二象限时，tan＜0，sin＞0，cos＜0，

所以tansincos取正号；

当在第四象限时，tan＜0，sin＜0，cos＞0，

所以tansincos也取正号．

因此，tansincos取正号.

学生用书第51页

第2讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式

1．理解同角三角函数的基本关系式：

sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.

2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±

α，π±

α的正弦、余弦、正切的诱导公式.

1．同角三角函数的基本关系

（1）平方关系：

sin2α＋cos2α＝1.

（2）商数关系：

＝tanα.

2．三角函数的诱导公式

一

二

三

四

五

六

角

2kπ＋α

（k∈Z）

π＋α

－α

π－α

＋α

sinα

－sinα

sinα

cosα

cosα

－cosα

cosα

－sinα

tanα

tanα

－tanα

函数名不变，符号看象限

函数名改变，符号看象限

3.特殊角的三角函数值

角α

0°

30°

45°

60°

90°

120°

150°

角α的弧度数

π

1

－1

1．对三角函数关系式的理解

（1）若α，β为锐角，sin2α＋cos2β＝1.（×

（2）若α∈R，则tanα＝恒成立．（×

（3）（教材练习改编）已知sinα＝，α∈，则cosα＝.（×

2．对诱导公式的认识

（4）六组诱导公式中的角α可以是任意角．（√）

（5）诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．（√）

（6）角π＋α和α终边关于y轴对称．（×

3．诱导公式的应用

（7）若cos（nπ－θ）＝（n∈Z），则cosθ＝.（×

（8）（2013·

广东卷改编）已知sin＝，则cosα＝－.（×

1．一点提醒　平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中α≠＋kπ，k∈Z，如

（1）、

（2）．

2．两个防范　一是利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定，如（3）；

二是利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：

去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定．

考点一　同角三角函数基本关系式的应用

【例1】

（1）已知tanα＝2，则＝___________，

4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝________.

（2）（2014·

山东省实验中学诊断）已知sinθ·

cosθ＝，且＜θ＜，则cosθ－sinθ的值为________．

解析　

（1）＝＝＝－1，

4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝

＝＝＝1.

（2）当＜θ＜时，sinθ＞cosθ，

∴cosθ－sinθ＜0，

又（cosθ－sinθ）2＝1－2sinθcosθ＝1－＝，

∴cosθ－sinθ＝－.

答案　

（1）－1　1　

（2）－

学生用书第52页

规律方法

（1）应用公式时注意方程思想的应用，对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，利用（sinα±

cosα）2＝1±

2sinαcosα可以知一求二．

（2）关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子．

【训练1】

（1）已知sinα＋cosα＝，0＜α＜π，则tanα＝______.

（2）已知sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，求cosα＝________.

解析　

（1）法一　联立方程

由①得cosα＝－sinα，将其代入②，

整理得25sin2α－5sinα－12＝0.

又0＜α＜π，∴∴tanα＝－.

法二　∵sinα＋cosα＝，∴（sinα＋cosα）2＝2，

即1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－，

∴（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝1＋＝.

∵sinαcosα＝－＜0且0＜α＜π，

∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，

∴sinα－cosα＝，

由得∴tanα＝－.

（2）∵sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，

∴sin2α＝4sin2β，①

tan2α＝9tan2β，②

由①÷

②得：

9cos2α＝4cos2β，③

①＋③得：

sin2α＋9cos2α＝4，

∵cos2α＋sin2α＝1，∴cos2α＝，即cosα＝±

答案　

（1）－　

（2）±

考点二　利用诱导公式化简三角函数式

【例2】

（1）sin（－1200°

）cos1290°

＋cos（－1020°

）·

sin（－1050°

）＝________.

（2）设f（α）＝（1＋2sinα≠0），则f＝________.

解析　

（1）原式＝－sin1200°

cos1290°

－cos1020°

sin1050°

＝－sin（3×

）cos（3×

＋210°

）－cos（2×

）sin（2×

＋330°

＝－sin120°

cos210°

－cos300°

sin330°

＝－sin（180°

－60°

）cos（180°

＋30°

）－cos（360°

sin（360°

－30°

＝sin60°

cos30°

＋cos60°

sin30°

＝×

＋×

＝1.

（2）∵f（α）＝

＝＝＝，

∴f＝＝

＝＝.

答案　

（1）1　

（2）

规律方法

（1）诱导公式应用的原则：

负化正、大化小，化到锐角为终了．

（2）诱导公式应用的步骤：

任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→

0～2π的角的三角函数→锐角三角函数

注意：

诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号．

【训练2】

（1）sin（－1071°

）sin99°

＋sin（－171°

）sin（－261°

）＋tan（－1089°

）tan（－540°

（2）化简：

＝________.

解析　

（1）原式＝（－sin1071°

sin99°

＋sin171°

·

sin261°

＋tan1089°

tan540°

－9°

）sin（90°

＋9°

）＋sin（180°

sin（270°

）＋tan（3×

tan（360°

＋180°

＝sin9°

cos9°

－sin9°

＋tan9°

tan180°

＝0＋0＝0.

（2）原式＝

＝＝

＝－＝－·

＝－1.

答案　

（1）0　

（2）－1

考点三　利用诱导公式求值

【例3】

（1）已知sin＝，则cos＝______；

（2）已知tan＝，则tan＝________.

解析　

（1）∵＋＝，

∴cos＝cos＝sin＝.

（2）∵＋＝π，∴tan＝

－tan＝－