奥数比和比例教程文件Word格式.docx

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3+3×

4）∶（10×

5+4×

4+3×

3）

　　=44∶75.

两者容量之比是44∶75.

　　把5∶2与4∶3这两个比合在一起，成为三样东西之比10∶4∶3，称为连比.例3中已告诉你连比的方法，再举一个更一般的例子.

　　甲∶乙=3∶5，乙∶丙=7∶4，

　　3∶5=3×

7∶5×

7=21∶35，

　　7∶4=7×

5∶4×

5=35∶20，

　　甲∶乙∶丙=21∶35∶20.

　　花了多少钱？

根据比例与乘法的关系，

　　连比后是

　　甲∶乙∶丙=2×

16∶3×

2

　　=32∶48∶63.

甲、乙、丙三人共花了429元.

　　例5有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙

　　，而它们留在墙外的部分一样长.问：

甲、乙、丙的长度之比是多少？

设甲的长度是6份.

　　∶x=5∶4.

　　乙与丙的长度之比是

　　而甲与乙的长度之比是6∶5=30∶25.

　　甲∶乙∶丙=30∶25∶26.

甲、乙、丙的长度之比是30∶25∶26.

　　于利用已知条件6∶5，使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段.

　　例6甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？

解一：

设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是

这些糖果每千克平均价是27.5元.

　　上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有：

　　事实上，有稍简捷的解题思路.

　　解二：

先求出这三种糖果所买数量之比.

　　不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.

　　平均数是（15+11+10）÷

3=12.

　　单价33元的可买10份，要买12份，单价是

　　下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量.

　　例7一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，

新的分数，分子与分母之和是（10+23+32），而分子与分母之比2∶3.因此

　　例8加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？

所需时间是多少？

三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.

　　三人工作效率之比是

　　他们分别需要完成的工作量是

　　所需时间是

　　700×

3=2100分钟）=35小时.

甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时.

　　这是三个数量按比例分配的典型例题.

　　例9某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是：

　　甲：

12∶13，乙：

5∶3，丙：

2∶1，

　　那么丙有多少名男会员？

甲组的人数是100÷

2=50（人）.

　　乙、丙两组男会员人数是56-24=32（人）.

丙组有12名男会员.

　　上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔

　　例10一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶3.小龙走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时间？

　　解一：

通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.

　　上坡、平路、下坡的速度之比是

　　走完全程所用时间

小龙走完全程用了10小时25分.

　　上面是通常思路下解题.1∶2∶3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用比例有简捷解法.

全程长是上坡这一段长的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的时

　　设小龙走完全程用x小时.可列出比例式

二、比的变化

　　已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢？

这就是这一节的内容.

　　例11甲、乙两同学的分数比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5∶7.甲、乙原来各得多少分？

甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成5+4=9份，变化后要分成5+7=12份.如何把这两种分法统一起来？

这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算.

　　5∶4=（5×

4）∶（4×

4）=20∶16.

　　5∶7=（5×

3）∶（7×

3）=15∶21.

　　甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20-15=5份.因此原来

　　甲得22.5÷

5×

20=90（分），

　　乙得22.5÷

16=72（分）.

原来甲得90分，乙得72分.

　　我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程.

设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根据得分变化，可列出比例式.

　　（5x-22.5）∶（4x+22.5）=5∶7

　　即5（4x+22.5）=7（5x-22.5）

　　15x=12×

22.5

　　x=18.

　　甲原先得分18×

5=90（分），乙得18×

4=72（分）.

其他球的数量没有改变.

　　增加8个红球后，红球与其他球数量之比是

　　5∶（14-5）=5∶9.

　　在没有球增加时，红球与其他球数量之比是

　　1∶（3-1）=1∶2=4.5∶9.

　　因此8个红球是5-4.5=0.5（份）.

　　现在总球数是

现在共有球224个.

　　本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把1∶2写成4.5∶9，就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解：

　　（x+8）∶2x=5∶9.

　　例13张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？

我们采用“假设”方法求解.

　　如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶5.张家结余240元，李家应结余x元.有

　　240∶x=8∶5，x=150（元）.

　　实际上李家结余270元，比150元多120元.这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷

（5-3）=60.（元）.因此可求出

张家收入720元，李家收入450元.

设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多.

　　我们画出一个示意图：

　　张家开支的3倍是（8份-240）×

3.

　　李家开支的8倍是（5份-270）×

8.

　　从图上可以看出

　　5×

8-8×

3=16份，相当于

　　270×

8-240×

3=1440（元）.

　　因此每份是1440÷

16=90（元）.

　　张家收入是90×

8=720（元），李家收入是90×

5=450（元）.

　　本题也可以列出比例式：

　　（8x-240）∶（5x-270）=8∶3.

　　然后求出x.事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些.

　　例14A和B两个数的比是8∶5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数.

减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点.

　　8∶5，就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1.将前项与后项都乘以3，即2∶1=6∶3，使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是34∶2=17.

　　A数是17×

8=136，B数是17×

5=85.

A，B两数分别是136与85.

　　本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的2∶1，改写成8∶4.

　　例15小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸？

充分利用已知数据的特殊性.

　　4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，

　　新的1份=原来1份+1

　　原来4份，新的5份，5-4=1，因此

　　新的1份有15-1×

4=11（张）.

　　小明原有图画纸11×

5-15=40（张），

　　小强原有图画纸11×

2+8=30（张）.

原来小明有40张，小强有30张图画纸.

我们也可采用例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）

　　4∶3=20∶15

　　5∶2=20∶8.

　　但现在是20∶8，因此这个比的每一份是

　　当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法.

　　解三：

设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸.

　　把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图：

　　从图上可以看出，3×

5-4×

2=7（份）相当于图画纸15×

2+8×

5=70（张）.

　　因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张.

　　例11至15这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握.例13的解一，也是一种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用.从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维.

　　例16粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍.问这两支蜡烛点了多少时间？

　　我们把问题改变一下：

设细蜡烛长度是2，每小时点

　　等需要时间是

这两支蜡烛点了3小时20分.

　　把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2，使原来要考虑的“2倍”变成“相等”，思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.再请看一个稍复杂的例子.

　　例17箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只.每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？

因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最后应剩51只.

　　因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取7×

3＝21只，最后应剩3×

3＝9只.因此.共取了（51-3×

3）÷

（7×

3-15）＝7（次）.

　　红球有15×

7＋53＝158（只）.

　　白球有7×

7＋3＝52（只）.

　　原来红球比白球多158-52＝106（只）.

箱子里原有红球数比白球数多106只.

三、比例的其他问题

　　，这里必须用分数来说，而不能用比.实际上它还是隐含着比例关系：

　　（甲-7）∶乙=2∶3.

　　因此，有些分数问题，就是比例问题.

　　加33张，他们两人取的画片一样多.问这些画片有多少张？

这些画片有261张.

设最初的水量是1，因此最后剩下的水是

　　样重，就有

　　因此原有水的重量是

容器中原来有8.4千克水.

　　例18和例19，通常在小学数学中，叫做分数应用题.“比”有前项和后项，当两项合在一起写成一个分数后，才便于与其他数进行加、减运算.这就是把比（或除法）写成分数的好处.下面一个例题却是要把分数写成比，计算就方便些.

　　例20有两堆棋子，A堆有黑子350个和白子500个，B堆有黑子

　　堆中拿到A堆黑子、白子各多少个？

　　子100个，使余下黑子与白子之比是（40-100）∶100＝3∶1.再要从B堆拿出黑子与白子到A堆，拿出的黑子与白子数目也要保持3∶1的比.

　　现在A堆已有黑子350＋100＝450个），与已有白子500个，相差

　　从B堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合3∶1这个比，要拿出白子数是

　　50÷

（3-1）＝25（个）.

　　再要拿出黑子数是25×

3＝75（个）.

从B堆拿出黑子175个，白子25个.

　　人，问高、初中毕业生共有多少人？

先画出如下示意图：

　　6-5＝1，相当于图中相差17-12＝5（份），初中总人数是5×

6＝30份，因此，每份人数是

　　520÷

（30-17）=40（人）.

　　因此，高、初中毕业生共有

　　40×

（17＋12）＝1160（人）.

高、初中毕业生共1160人.

　　计算出每份是

　　例21与例14是完全一样的问题，解一与例14的解法也是一样的.（你是否发现？

）解二是通常分数应用题的解法，显然计算不如解一简便.

　　例18，19，20，21四个例题说明分数与比例各有好处，你是否从中有所心得？

当然关键还是在于灵活运用.

　　下的钱共有多少元？

设钢笔的价格是1.

　　这样就可以求出，钢笔价格是

　　张剩下的钱数是

　　李剩下的钱数

张、李两人剩下的钱共28元.

　　题中有三个分数，但它们比的基准是不一样的.为了统一计算单位，设定钢笔的价格为1.每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过“1”统一地折算.解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧.

　　作为这一讲最后的内容，我们通过两个例题，介绍一下“混合比”.

　　用100个银币买了100头牲畜，问猪、山羊、绵羊各几头？

　　这是十八世纪瑞士大数学家欧拉（1707～1783）提出的问题.

　　们设1头猪和5头绵羊为A组，3头山羊和2头羊绵为B组.A表示A组的数，B表示B组的数，要使

　　（1＋5）×

A＋（3＋2）×

B＝100，

　　或简写成6A＋5B＝100.

　　就恰好符合均价是1.

　　类似于第三讲鸡兔同笼中例17，很明显，A必定是5的整数倍.A＝5，B＝4，6×

5＋5×

4＝50，50是100的约数，符合要求.

　　A＝5，猪5头，绵羊25头，

　　B=4，山羊12头，绵羊8头.

　　猪∶山羊∶绵羊=5∶12∶（25＋8）.

　　现在已把1∶5和3∶2两种比，组合在一起通常称为混合比.

（一）DIY手工艺品的“多样化”　　

1、购买“女性化”　　要注意，这样的问题常常有多种解答.

我们从小学、中学到大学，学的知识总是限制在一定范围内，缺乏在商业统计、会计，理财税收等方面的知识；

也无法把自己的创意准确而清晰地表达出来，缺少个性化的信息传递。

对目标市场和竞争对手情况缺乏了解，分析时采用的数据经不起推敲，没有说服力等。

这些都反映出我们大学生创业知识的缺乏；

　　A=5，B＝14或A＝15，B＝2才能产生解答，相应的猪、山羊、绵羊混合比是5∶42∶53或15∶6∶79.

有三组解答.买猪、山羊、绵羊的头数是10，24，66；

或者5，42，53；

或者15，6，79.

调研结论：

综上分析，我们认为在学院内开发“DIY手工艺品”商店这一创业项目是完全可行的。

　　求混合比是一种很实用的方法，对数学有兴趣的小学同学，学会这种方法是有好处的，会增加灵活运用比例的技巧.

　　通常求混合比可列下表：

　　下面例题与例23是同一类型，但由于题目的条件，解法上稍有变化.

　　例24某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件，买1件按定价，买2件降价10％，买3件降价20％.最后结算，平均每件恰好按原定价的85％出售，那么买3件的顾客有多少人？

题目已给出平均数85％，可作比较的基准.

　　1人买3件少5％×

3；

（二）DIY手工艺品的“热卖化”　　1人买2件多5％×

2；

　　1人买1件多15％×

1.

400-500元1326%　　1人买3件与1人买1件成A组，即按1∶1比例，2人买3件与3人买2件成B组，即按2∶3的比例.

随科技的迅速发展，人们的生活日益趋向便捷、快速，方便，对于我国传统的手工艺制作，也很少有人问津，因此，我组想借此创业机会，在校园内开个DIY创意小屋。

它包括编织、刺绣、串珠等，让我们传统的手工制作也能走进大学，丰富我们的生活。

　　A组是2人买4件，每人平均买2件.

但这些困难并非能够否定我们创业项目的可行性。

盖茨是由一个普通退学学生变成了世界首富，李嘉诚是由一个穷人变成了华人富豪第一人，他们的成功表述一个简单的道理：

如果你有能力，你可以从身无分文变成超级富豪；

如果你无能，你也可以从超级富豪变成穷光蛋。

　　B组是5人买12件，每人平均买2.4件.

　　现在已建立了一个鸡兔同笼型问题：

总脚数76，总头数33，兔脚数2.4，鸡脚数2.

　　B组人数是

　　（76-2×

33）÷

（24-2）＝25（人），

　　A组人数是33-25＝8（人），其中买3件4人，买1件4人.

我们长期呆在校园里，对社会缺乏了解，在与生意合作伙伴应酬方面往往会遇上困难，更不用说商业上所需经历的一系列繁琐手续。

他们我们可能会在工商局、税务局等部门的手续中迷失方向。

对具体的市场开拓缺乏经验与相关的知识，缺乏从职业角度整合资源、实行管理的能力；

　　10＋4＝14（人）.

买3件的顾客有14位.

　　建立两种比的A组和B组，与例23的解题思路完全一致，只是后面解法稍有不同.因为对A组和B组，不仅要从人数考虑满足2A+5B＝33，还要从买的件数考虑满足4A＋12B＝76.这已完全确定了A组和B组的数，不必再求混合比.