江苏省南京师范大学附属中学届高三数学模拟试题含答案.docx

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江苏省南京师范大学附属中学届高三数学模拟试题含答案

江苏省南京师范大学附属中学2019届高三数学5月模拟试题

（满分160分，考试时间120分钟）

2019．5

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1.已知集合A＝{x||x|≤1，x∈Z}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B＝________．

2.已知复数z＝（1＋2i）（a＋i），其中i是虚数单位．若z的实部与虚部相等，则实数a的值为________．

3.某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本．已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是________．

4.3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖．甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是________．

5.函数f（x）＝＋log2（1－x）的定义域为________．

6.如图是一个算法流程图，则输出k的值为________．

（第6题）

　　　　　　　（第7题）

7.若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为2，点P为侧棱AA1上任意一点，则四棱锥PBCC1B1的体积为________．

8.在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：

y＝x3－10x＋3上，且在第四象限内．已知曲线C在点P处的切线方程为y＝2x＋b，则实数b的值为________．

9.已知函数f（x）＝sin（2x＋φ）－cos（2x＋φ）（0<φ<π）是定义在R上的奇函数，则f（－）的值为________．

10.如果函数f（x）＝（m－2）x2＋2（n－8）x＋1（m，n∈R且m≥2，n≥0）在区间[，2]上单调递减，那么mn的最大值为________．

11.已知椭圆＋y2＝1与双曲线－＝1（a>0，b>0）有相同的焦点，其左、右焦点分别为F1，F2.若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P，且F1P＝F1F2，则双曲线的离心率为________．

12.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，5），点B是直线l：

y＝x上位于第一象限内的一点．已知以AB为直径的圆被直线l所截得的弦长为2，则点B的坐标为________．

13.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an＋2＝则满足2019≤Sm≤3000的正整数m的所有取值为________．

14.已知等边三角形ABC的边长为2，＝2，点N，T分别为线段BC，CA上的动点，则·＋·＋·取值的集合为________．

二、解答题：

本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是.

（1）求cos（α－）的值；

（2）若以x轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标为－，求α＋β的值．

16.（本小题满分14分）

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：

（1）AM∥平面BDE；

（2）AM⊥平面BDF.

17.（本小题满分14分）

某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以O为圆心的半圆及直径AB围成．在此区域内原有一个以OA为直径、C为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ，其中P，Q分别在半圆O与半圆C的圆弧上，且PQ与半圆C相切于点Q.已知AB长为40米，设∠BOP为2θ.（上述图形均视作在同一平面内）

（1）记四边形COPQ的周长为f（θ），求f（θ）的表达式；

（2）要使改建成的展示区COPQ的面积最大，求sinθ的值．

18.（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1，F2与椭圆C的上顶点构成边长为2的等边三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知直线l与椭圆C相切于点P，且分别与直线x＝－4和直线x＝－1相交于点M，N.试判断是否为定值，并说明理由．

19.（本小题满分16分）

已知数列{an}满足a1·a2·…·an＝2（n∈N*），数列{bn}的前n项和Sn＝（n∈N*），且b1＝1，b2＝2.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{bn}的通项公式；

（3）设cn＝－，记Tn是数列{cn}的前n项和，求正整数m，使得对于任意的n∈N*均有Tm≥Tn.

20.（本小题满分16分）

设a为实数，已知函数f（x）＝axex，g（x）＝x＋lnx.

（1）当a<0时，求函数f（x）的单调区间；

（2）设b为实数，若不等式f（x）≥2x2＋bx对任意的a≥1及任意的x>0恒成立，求b的取值范围；

（3）若函数h（x）＝f（x）＋g（x）（x>0，x∈R）有两个相异的零点，求a的取值范围．

2019届高三模拟考试试卷（二十一）

数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）

21.【选做题】在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A.（选修42：

矩阵与变换）

已知矩阵A＝，二阶矩阵B满足AB＝.

（1）求矩阵B；

（2）求矩阵B的特征值．

B.（选修44：

坐标系与参数方程）

设a为实数，在极坐标系中，已知圆ρ＝2asinθ（a>0）与直线ρcos（θ＋）＝1相切，求a的值．

C.（选修45：

不等式选讲）

求函数y＝＋的最大值．

【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22.如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，点M为PC的中点．

（1）求异面直线AP与BM所成角的余弦值；

（2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．

23.在平面直角坐标系xOy中，有一个微型智能机器人（大小不计）只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进，且每一步只能行进1个单位长度，例如：

该机器人在点（1，0）处时，下一步可行进到（2，0）、（0，0）、（1，1）、（1，－1）这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点O出发、行进n步后落在y轴上的不同走法的种数为L（n）．

（1）求L

（1），L

（2），L（3）的值；

（2）求L（n）的表达式．

2019届高三模拟考试试卷（二十一）（南师附中）

数学参考答案及评分标准

1.{0，1}　2.－3　3.18　4.　5.[0，1）　6.3　7.　8.－13　9.－　10.18　11.　12.（6，3）　13.20，21　14.{－6}

15.解：

因为锐角α的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是，

所以由任意角的三角函数的定义可知sinα＝.

从而cosα＝＝.（3分）

（1）cos（α－）＝cosαcos＋sinαsin＝×（－）＋×＝－.（6分）

（2）因为钝角β的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标是－，

所以cosβ＝－，从而sinβ＝＝.（8分）

于是sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×（－）＋×＝.（10分）

因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈（，），（12分）

从而α＋β＝.（14分）

16.证明：

（1）设AC∩BD＝O，连结OE，

∵四边形ACEF是矩形，∴EF∥AC，EF＝AC.

∵O是正方形ABCD对角线的交点，

∴O是AC的中点．

又点M是EF的中点，∴EM∥AO，EM＝AO.

∴四边形AOEM是平行四边形，

∴AM∥OE.（4分）

∵OE平面BDE，AM平面BDE，

∴AM∥平面BDE.（7分）

（2）∵正方形ABCD，∴BD⊥AC.

∵平面ABCD∩平面ACEF＝AC，平面ABCD⊥平面ACEF，BD平面ABCD，

∴BD⊥平面ACEF.（9分）

∵AM平面ACEF，∴BD⊥AM.（10分）

∵正方形ABCD，AD＝，∴OA＝1.

由

（1）可知点M，O分别是EF，AC的中点，且四边形ACEF是矩形．

∵AF＝1，∴四边形AOMF是正方形，（11分）

∴AM⊥OF.（12分）

又AM⊥BD，且OF∩BD＝O，OF平面BDF，BD平面BDF，

∴AM⊥平面BDF.（14分）

17.解：

（1）连结PC.由条件得θ∈（0，）．

在△POC中，OC＝10，OP＝20，∠POC＝π－2θ，由余弦定理，得

PC2＝OC2＋OP2－2OC·OPcos（π－2θ）＝100（5＋4cos2θ）．（2分）

因为PQ与半圆C相切于点Q，所以CQ⊥PQ，

所以PQ2＝PC2－CQ2＝400（1＋cos2θ），所以PQ＝20cosθ.（4分）

所以四边形COPQ的周长为f（θ）＝CO＋OP＋PQ＋QC＝40＋20cosθ，

即f（θ）＝40＋20cosθ，θ∈（0，）．（7分）

（没写定义域，扣2分）

（2）设四边形COPQ的面积为S（θ），则

S（θ）＝S△OCP＋S△QCP＝100（cosθ＋2sinθcosθ），θ∈（0，）．（10分）

所以S′（θ）＝100（－sinθ＋2cos2θ－2sin2θ）＝100（－4sin2θ－sinθ＋2），θ∈（0，）．（12分）

令S′（t）＝0，得sinθ＝.

列表：

sinθ

（0，）

（，1）

S′（θ）

＋

0

－

S（θ）

增

最大值

减

答：

要使改建成的展示区COPQ的面积最大，sinθ的值为.（14分）

18.解：

（1）依题意，2c＝a＝2，所以c＝1，b＝，

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.（4分）

（2）①因为直线l分别与直线x＝－4和直线x＝－1相交，

所以直线l一定存在斜率．（6分）

②设直线l：

y＝kx＋m，

由得（4k2＋3）x2＋8kmx＋4（m2－3）＝0.

由Δ＝（8km）2－4×（4k2＋3）×4（m2－3）＝0，

得4k2＋3－m2＝0　①.（8分）

把x＝－4代入y＝kx＋m，得M（－4，－4k＋m），

把x＝－1代入y＝kx＋m，得N（－1，－k＋m），（10分）

所以NF1＝|－k＋m|，

MF1＝＝　②，（12分）

由①式，得3＝m2－4k2　③，

把③式代入②式，得MF1＝＝2|－k＋m|，

∴＝＝，即为定值.（16分）

19.解：

（1）①a1＝2＝2；（2分）

②当n≥2时，an＝＝＝2n.

所以数列{an}的通项公式为an＝2n（n∈N*）．（4分）

（2）由Sn＝，得2Sn＝n（b1＋bn）　①，

所以2Sn－1＝（n－1）（b1＋bn－1）（n≥2）　②.

由②－①，得2bn＝b1＋nbn－（n－1）bn－1，n≥2，

即b1＋（n－2）bn－（n－1）bn－1＝0（n≥2）　③，

所以b1＋（n－3）bn－（n－2）bn－1＝0（n≥3）　④.

由④－③，得（n－2）bn－2（n－2）bn－1＋（n－2）bn－2＝0，n≥3，（6分）

因为n≥3，所以n－2>0，上式同除以（n－2），得

bn－2bn－1＋bn－2＝0，n≥3，

即bn＋1－bn＝bn－bn－1＝…＝b2－b1＝1，