高考文科数学圆锥曲线专题复习docWord格式.docx
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的关
a最大,c
b,c
c最大,可以ab,a
b,a
系
x
渐近
线
y
抛物线:
图
形
OF
l
xFOx
方
2px(p
0)y2
0)
2py(p
2py(p0)
程
焦
p,0)
(
(0,p)
(0,
p)
点
准
p
(一)椭圆
1.椭圆的性质:
由椭圆方程
1(
(1)范围:
ax
a,-b
xa
,椭圆落在x
ay
b组成的矩形中。
,
(2)对称性:
图象关于y轴对称。
图象关于x轴对称。
图象关于原点对称。
原点叫椭圆的对称中心,简称中心。
x轴、y轴叫椭圆的对称轴。
从椭圆的方程中直接可以看出它的范围,对称的截距。
(3)顶点:
椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
椭圆共有四个顶点:
A(a,0),A2(a,0),B(0,
b),B2(0,b)。
加两焦点F1(
c,0),F2(c,0)共有六个
特殊点。
A1A2叫椭圆的长轴,
B1B2叫椭圆的短轴。
长分别为
2a,2b。
a,b分别为椭圆的长半轴长和短半
轴长。
椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。
(4)离心率:
椭圆焦距与长轴长之比。
e
c
(b)2。
0e1。
椭圆形状与e的关系:
e
0,c
0,椭圆变圆,直至成为极限位置圆,此时也可认为圆为椭圆在
e0时
的特例。
e1,c
a,椭圆变扁,直至成为极限位置线段
F1F2,此时也可认为是椭圆在
e1
时的特例。
2.椭圆的第二定义:
一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个
(0,1)
内常数e,那么这
个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数
e就是离心率。
椭圆的第二定义与第一定义是等价的,它是椭圆两种不同的定义方式
3.椭圆的准线方程
对于x2
y2
1,左准线l1:
;
右准线l2
:
对于y
1,下准线l1:
上准线l2:
焦点到准线的距离p
(焦参数)
(二)双曲线的几何性质:
1.
(1)范围、对称性
由标准方程x2
y2
1,从横的方向来看,直线
x=-a,x=a之间没有图象,从纵的方向来看,随着x
的增大,y的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭圆那样是封闭曲线。
双曲线不封闭,但仍称其对称中心为双曲线的中心。
(2)顶点
顶点:
A1(a,0),A2a,0,特殊点:
B1(0,b),B20,b
实轴:
A1A2长为2a,a叫做实半轴长。
虚轴:
B1B2长为2b,b叫做虚半轴长。
双曲线只有两个顶点,而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异。
(3)渐近线
过双曲线x2
y21的渐近线
bx(
(4)离心率
双曲线的焦距与实轴长的比e
2c
c,叫做双曲线的离心率
范围:
e>
2a
双曲线形状与
e的关系:
k
e2
1,e越大,即渐近线的斜率的绝对
值就越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。
由此可知,双曲线的离心率越大,
它的开口就越阔。
2.等轴双曲线
定义:
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
等轴双曲线的性质:
(1)渐近线方程为:
yx;
(2)渐近线互相垂直;
(3)离心率e2。
3.共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为ybxkbx(k0),那么此双曲线方程就一定是:
aka
1(k0)或写成
(ka)2
(kb)2
。
4.共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。
区别:
三量a,b,c中a,b不同(互换)c相同。
共用一对渐近线。
双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。
确
定双曲线的共轭双曲线的方法:
将1变为-1。
5.双曲线的第二定义:
到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数ec(ca0)的点的轨迹是
双曲线。
其中,定点叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线。
常数e是双曲线的离心率。
6.双曲线的准线方程:
来说,相对于左焦点F1(c,0)对应着左准线l1:
,相对于右焦点F2(c,0)对
应着右准线l2
焦点到准线的距离
(也叫焦参数)。
对于y2
来说,相对于下焦点F1(0,c)对应着下准线l1:
相对于上焦点F2(0,c)对
应着上准线l2:
(三)抛物线的几何性质
(1)范围
因为p>0,由方程y2
2pxp0可知,这条抛物线上的点
M的坐标(x,y)满足不等式x≥0,所
以这条抛物线在
y轴的右侧;
当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
(2)对称性
以-y代y,方程y2
2pxp0不变,所以这条抛物线关于
x轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做
抛物线的轴。
(3)顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程y22pxp0中,当y=0时,x=0,因此抛物
线y22pxp0的顶点就是坐标原点。
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示。
由抛物线的定义可知,e=1。
【典型例题】
例1.根据下列条件,写出椭圆方程
(1)中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8;
(2)和椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点,且经过点(2,-3);
(3)中心在原点,焦点在x轴上,从一个焦点看短轴两端的视角为直角,焦点到长轴上较近顶点的
距离是
10-
5。
确定
分析:
求椭圆的标准方程,首先要根据焦点位置确定方程形式,其次是根据
a2、b2的值进而写出标准方程。
解:
(1)焦点位置可在x轴上,也可在y轴上
a2=b2+c2
及已知条件
因此有两解:
x2
1或y2
16
12
(2)焦点位置确定,且为(
0,
1,(a>
b>
0),由已知条件有
5),设原方程为
5
9
4
15,b2
10,故方程为
1。
15
10
(3)设椭圆方程为
1,(a>
及a2=b2+c2,解得b=5,a10
由题设条件有
故所求椭圆的方程是
例2.
直线y
kx
1与双曲线3x2
1相交于A、B两点,当a为何值时,A、B在双曲线的同一支
上?
当a为何值时,
A、B分别在双曲线的两支上?
把ykx
1代入3x2
整理得:
(3
a2)x2
2ax
0
(1)
当a
3时,
24
4a2
由
>
0得
6
6且a
3时,方程组有两解,直线与双曲线有两个交点
若A、B在双曲线的同一支,须
x1x2
0,所以a
3或a
3。
3
故当
3或3a
6时,A、B两点在同一支上;
当
3a
3时,A、B两点在
双曲线的两支上。
例3.
已知抛物线方程为
2p(x1)(p>
0),直线l:
m过抛物线的焦点
F且被抛物线截得
的弦长为
3,求p的值。
设l与抛物线交于
A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|
3.
由距离公式|AB|=(x1-x2)2
(y1
y2)2
1|y1
2|
2|y1y2
|
k2
则有(y
)2
9.
2,消去x,得y2
2pyp2
2p(x
1)
(2p)2
4p2
0.
y1
2p,y1y2
p2.
从而(y1
(y1y2)2
4y1y2
即(2p)2
由于p>
0,解得p
例4.过点(1,0)
的直线l
与中心在原点,焦点在
x轴上且离心率为
2的椭圆C相交于A、B两点,直
线y=1x过线段AB的中点,同时椭圆
C上存在一点与右焦点关于直线
l对称,试求直线
l与椭圆C的方
程.
解法一:
由e=c
2,得a2
1,从而a2=2b2,c=b.
设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)
在椭圆上.
则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得,
(x12-x22)+2(y12-y22)=0,y1
x1
.
2(y1
y2)
设AB中点为(x0,y0),
则kAB=-x0
2y0
又(x0,y0)在直线y=1
x上,y0=1x0,
于是-
x0=-1,kAB=-1,
2y0
设l的方程为y=-x+1.
右焦点(b,0)
关于l的对称点设为(x′,y′),
则xb
解得x
由点(1,1
-b)在椭圆上,得1+2(1-b)2=2b2,b2=9
a2
8
∴所求椭圆C的方程为8x2
=1,l的方程为y=-x+1.
解法二:
得a2
设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x-1),
将l的方程代入C的方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0,
则x1+x2=
4k2
y1+y2=k(x1-1)+k(x2
-1)=k(x1+x2)
-2k=-
2k
2k2
2k2
的中点
),则
k
直线l:
y=
x过AB
12k2
212k2
解得k=0,或k=-1.
若k=0,则l
的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l
的对称点就是
F点本身,不能在椭圆C上,所以k=0舍
去,从而k=-1,直线l
的方程为y=-(x-1),即y=-x+1,以下同解法一.
解法3:
设椭圆方程为
1(a
0)
(1)
直线l
不平行于y轴,否则AB中点在x轴上与直线
1x过AB中点矛盾。
故可设直线l的方程为y
k(x
1)
(2)
(2)代入
(1)消y整理得:
(k2a2
b2)x2
2k2a2x
a2k2
a2b2
0(3)
设A(x1,y1)B(x2,y2),知:
x1
2k2a2
k2a2
又y1
k(x1
x2)
2k代入上式得:
1,
k2kk2a2
kk
1,又e
ka2
2b2
2(a2
c2)
2e2
直线l的方程为y
x,
此时a2
2b2,方程(3)化为3x2
4x
0,
24(1
b2)
8(3b2
1)0
椭圆C的方程可写成:
x2
2y2
2b2(4)
,又c2
b2,
右焦点F(b,0)
,设点F关于直线l的对称点(x0,y0),
y0
x0
则
,y
b,
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