椭圆的简单几何性质教案人教A版Word格式文档下载.docx
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(3)点P在椭圆外⇔+>1.
直线与椭圆的位置关系
【问题导思】
1.直线与椭圆有几种位置关系?
相离、相切、相交.
2.我们知道,可以用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系,这种方法称为几何法,能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系?
【提示】 不能.
3.用什么方法判断直线与椭圆的位置关系?
【提示】 代数法.
直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系联立消y得一个一元二次方程.
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ=0
相离
无解
Δ<0
(对应学生用书第26页)
直线与椭圆的位置关系的判定
当m为何值时,直线y=x+m与椭圆+y2=1相交、相切、相离?
【思路探究】 →→→
【自主解答】 联立方程组得
将①代入②得+(x+m)2=1,
整理得5x2+8mx+4m2-4=0③
Δ=(8m)2-4×
5(4m2-4)=16(5-m2).
当Δ>0,即-<m<时,方程③有两个不同的实数根,代入①可得到两个不同的公共点坐标,此时直线与椭圆相交;
当Δ=0,即m=-或m=时,方程③有两个相等的实数根,代入①可得到一个公共点坐标,此时直线与椭圆相切;
当Δ<0,即m<-或m>时,方程③没有实数根,直线与椭圆相离.
判断直线与椭圆位置关系的步骤:
试判断直线y=x-与椭圆x2+4y2=2的位置关系.
【解】 联立方程组得
消去y,整理得5x2-4x-1=0,(*)
Δ=(-4)2-4×
5×
(-1)=36>0,
即方程(*)有两个实数根,所以方程组有两组解,即直线和椭圆相交.
直线与椭圆相交问题
已知椭圆+=1和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A,B两点.
(1)当直线l的斜率为时,求线段AB的长度;
(2)当P点恰好为线段AB的中点时,求l的方程.
【思路探究】
(1)你能写出直线方程吗?
怎样求此直线在椭圆上截得的弦长的长度?
(2)点P与A、B的坐标之间有怎样的关系?
能否用根与系数的关系求得直线的斜率?
【自主解答】
(1)由已知可得直线l的方程为y-2=(x-4),即y=x.
由
可得x2-18=0,
若设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=0,x1x2=-18.
于是|AB|=
=
==×
6=3.
所以线段AB的长度为3.
(2)法一:
设l的斜率为k,则其方程为y-2=k(x-4).
联立
消去y得(1+4k2)x2-(32k2-16k)x+(64k2-64k-20)=0.
则x1+x2=,
由于AB的中点恰好为P(4,2),
所以==4,解得k=-.
这时直线l的方程为y-2=-(x-4),
即y=-x+4.
法二:
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有
两式相减得+=0.
由于P(4,2)是AB的中点,
∴x1+x2=8,y1+y2=4,
从而(x2-x1)+2(y2-y1)=0,kAB==-,于是直线AB,即为l的方程为y-2=-(x-4),即y=-x+4.
1.求直线与椭圆相交所得弦长问题,通常解法是将直线方程与椭圆方程联立,然后消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程,根据两点间的距离公式以及根与系数的关系求解.也可以直接代入弦长公式:
|P1P2|==求解.
2.解决直线与椭圆相交弦的中点有关的问题时,通常有两种方法:
法一:
由直线的方程与椭圆的方程组成的方程组消去y后转化为关于x的一元二次方程,再利用根与系数的关系,运用中点坐标公式建立方程组求解.
通过弦AB的端点的坐标是椭圆的方程的解,得到两个“对称方程”,然后将两个方程相减,再变形运算转化为直线的斜率公式,这种方法通常称为“点差法”.
过点P(-1,1)的直线与椭圆+=1交于A,B两点,若线段AB的中点恰为点P,求AB所在的直线方程及弦长|AB|.
【解】 设A(x1,y1),B(x2,y2),由于A,B两点在椭圆上,
∴x+2y=4,x+2y=4.
两式相减,得
(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0①
显然x1≠x2,
故由①得:
kAB==-.②
又点P(-1,1)是弦AB的中点,
∴x1+x2=-2,y1+y2=2.③
把③代入②得:
kAB=,
∴直线AB的方程为y-1=(x+1),即x-2y+3=0
由消去y得3x2+6x+1=0,
∴x1+x2=-2,x1x2=,
|AB|=·
=·
=.
与椭圆相关的实际应用问题
图2-1-3
如图2-1-3,某隧道设计为双向四车道,车道总宽22米,要求通行车辆限高4.5米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.若最大拱高h为6米,则隧道设计的拱宽l是多少?
【思路探究】 →→→→
【自主解答】 如图建立直角坐标系,则点P(11,4.5),椭圆方程为+=1.
∵P(11,4.5)在椭圆上,
∴+=1,①
又b=h=6代入①式,得a=.
此时l=2a=≈33.3(米).
因此隧道的拱宽约为33.3米.
1.解答与椭圆相关的应用问题,事物的实际含义向椭圆的几何性质的转化是关键,其次要充分利用椭圆的方程对变量进行讨论,以解决实际问题.
2.实际问题中,最后的结论不可少,一定要结合实际问题中变量的含义做出结论.
有一椭圆形溜冰场,长轴长100m,短轴长60m,现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域,且使这个区域的面积最大,应把这个矩形的顶点定位在何处?
这时矩形的周长是多少?
【解】 分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x轴和y轴,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,
设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上.因为矩形的各顶点都在椭圆上,而矩形是中心对称图形,
又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形,
所以矩形ABCD关于原点O及x轴,y轴都对称.
已知椭圆的长轴长2a=100m,短轴长2b=60m,
则椭圆的方程为+=1.
考虑第一象限内的情况,设A(x0,y0),
则有1=+≥2=,
当且仅当==,
即x0=25,y0=15时,等号成立,
此时矩形ABCD的面积S=4x0y0取最大值3000m2.
这时矩形的周长为4(x0+y0)=4(25+15)=160(m).
(对应学生用书第27页)
运用“设而不求”法研究直线和
椭圆位置关系问题
(12分)(2013·
本溪高二检测)已知椭圆方程为+=1(a>b>0),过点A(-a,0),B(0,b)的直线倾斜角为,原点到该直线的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)斜率大于零的直线过D(-1,0)与椭圆分别交于点E,F,若=2,求直线EF的方程;
(3)对于D(-1,0),是否存在实数k,使得直线y=kx+2分别交椭圆于点P,Q,且|DP|=|DQ|,若存在,求出k的值,若不存在,请说明理由.
【思路点拨】
【规范解答】
(1)由=,ab=×
×
,得a=,b=1,所以椭圆的方程是+y2=1.2分
(2)设EF:
x=my-1(m>0)代入+y2=1,得(m2+3)y2-2my-2=0.
设E(x1,y1),F(x2,y2).由=2,得y1=-2y2,4分
由y1+y2=-y2=,y1y2=-2y=得
(-)2=,∴m=1,m=-1(舍去),
直线EF的方程为x=y-1,即x-y+1=0.7分
(3)记P(x′1,y′1),Q(x′2,y′2).将y=kx+2代入+y2=1,得(3k2+1)x2+12kx+9=0(*),
x′1,x′2是此方程的两个相异实根.
设PQ的中点为M,则xM==-,yM=kxM+2=.由|DP|=|DQ|,得DM⊥PQ,
∴kDM===-,
∴3k2-4k+1=0,得k=1或k=.10分
但k=1,k=均不能使方程(*)有两相异实根,
∴满足条件的k不存在.12分
1.直线和椭圆位置关系问题中设而不求、整体代换是常用的运算技巧,在解题中要注意运用.
2.直线和椭圆相交时要切记Δ>0是求参数范围的前提条件,不要因忘记造成不必要的失分.
1.直线与椭圆的位置关系,可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定,通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判别式Δ来判定.
直线与椭圆相交的弦长公式:
|P1P2|=或|P1P2|=.
2.直线和椭圆相交时的弦的中点坐标或弦中点的轨迹方程常由韦达定理来解决,设点而不求点是解析几何中重要的解题方法.
3.解决与椭圆有关的实际问题时首先要仔细审题,弄懂题意,再把实际问题中的量化归为椭圆的性质,从而得以解决.
(对应学生用书第28页)
1.下列在椭圆+=1内部的点为( )
A.(,1) B.(-,1)
C.(2,1)D.(1,1)
【解析】 点(,1),(-,1)满足椭圆方程,故在椭圆上;
把点(1,1)代入+得:
+=<1,故点(1,1)在椭圆内.
【答案】 D
2.已知椭圆+=1有两个顶点在直线x+2y=2上,则此椭圆的焦点坐标是( )
A.(±
,0)B.(0,±
)
C.(±
,0)D.(0,±
【解析】 ∵直线x+2y=2过(2,0)和(0,1)点,
∴a=2,b=1,∴c=,
椭圆焦点坐标为(±
,0).
【答案】 A
3.直线y=x+1被椭圆+=1所截得线段的中点的坐标是( )
A.(,)B.(,)
C.(-,)D.(-,-)
【解析】 联立方程消去y得
3x2+4x-2=0.
设交点A(x1,y1)、B(x2,y2),中点M(x0,y0).
∴x1+x2=-,x0==-,y0=x0+1=,∴中点坐标为(-,).
【答案】 C
4.直线2x-y-2=0与椭圆+=1交于A、B两点,求弦长|AB|.
【解】 设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程消去y得3x2-5x=0,
则x1+x2=,x1·
x2=0,
∴|AB|=·
一、选择题
1.点A(a,1)在椭圆+=1的内部,则a的取值范围是( )
A.-<a< B.a<-或a>
C.-2<a<2D.-1<a<1
【解析】 ∵点A(a,1)在椭圆+=1内部,
∴+<1.∴<.
则a2<2,∴-<a<.
2.已知直线y=kx+1和椭圆x2+2y2=1有公共点,则k的取值范围是( )
A.k<-或k> B.-<k<
C.k≤-或k≥D.-≤k≤
【解析】 由得(2k2+1)x2+4kx+1=0.
∵直线与椭圆有公共点.
∴Δ=16k2-4(2k2+1)≥0,则k≥或k≤-.
3.直线l交椭圆+=1于A,B两点,AB的中点为M(2,1),则l的方程为( )
A.2x-3y-1=0B.3x-2y-4=0
C.2x+3y-7=0D.3x+2y-8=0
【解析】 根据点差法求出kAB=-,
∴l的方程为:
y-1=(x-2).
化简得3x+2y-8=0.
4.若直线mx+ny=4和⊙O:
x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为( )
A.2个B.至多一个
C.1个D.0个
【解析】 若直线与圆没有交点,则d=>2,
∴m2+n2<4,即<1.∴+<1,∴点(m,n)在椭圆的内部,故直线与椭圆有2个交点.
5.椭圆有如下的光学性质:
从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A,B是它的两个焦点,其长轴长为2a,焦距为2c(a>c>0),静放在点A的小球(小球的半径不计),从点A沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是( )
A.2(a-c)B.2(a+c)
C.4aD.以上答案均有可能
【解析】 如图,本题应分三种情况讨论:
当小球沿着x轴负方向从点A出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是2(a-c);
当小球沿着x轴正方向从点A出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是2(a+c);
当是其他情况时,从点A沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是4a.
二、填空题
6.(2013·
济宁高二检测)已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为________.
【解析】 设椭圆方程为+=1(a>b>0)与直线方程联立消去x得(a2+3b2)y2+8b2y+16b2-a2b2=0,由Δ=0及c=2得a2=7,∴2a=2.
【答案】 2
7.(2013·
合肥高二检测)以等腰直角三角形ABC的两个顶点为焦点,并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________.
【解析】 当以两锐角顶点为焦点时,因为三角形为等腰直角三角形,故有b=c,此时可求得离心率e====;
同理,当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时,设直角边长为m,故有2c=m,2a=(1+)m,所以离心率e====-1.
【答案】 -1或
8.(2013·
石家庄高二检测)过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点,O为原点,则△OAB的面积为________.
【解析】 直线方程为y=2x-2,与椭圆方程+=1联立,可以解得A(0,-2),B(,),
∴S△=|OF|·
|yA-yB|=(也可以用设而不求的方法求弦长|AB|,再求出点O到AB的距离,进而求出△AOB的面积).
【答案】
三、解答题
9.已知椭圆的短轴长为2,焦点坐标分别是(-1,0)和(1,0).
(1)求这个椭圆的标准方程;
(2)如果直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点,求m的取值范围.
【解】
(1)∵2b=2,c=1,∴b=,a2=b2+c2=4.
故所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)联立方程组
消去y并整理得7x2+8mx+4m2-12=0.
若直线y=x+m与椭圆+=1有两个不同的交点,则有Δ=(8m)2-28(4m2-12)>0,
即m2<7,解得-<m<.
即m的取值范围是(-,).
10.椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2,OC的斜率为,求椭圆的方程.
【解】 由得(a+b)x2-2bx+b-1=0.
设A(x1,y1)、B(x2,y2),
则|AB|=
.
∵|AB|=2,∴=1.①
设C(x,y),则x==,y=1-x=,
∵OC的斜率为,∴=.
代入①,得a=,b=.
∴椭圆方程为+y2=1.
图2-1-4
11.(2013·
亳州高二检测)如图2-1-4所示,已知椭圆+=1(a>b>0)过点(1,),离心率为,左、右焦点分别为F1、F2.点P为直线l:
x+y=2上且不在x轴上的任意一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分
别为A、B和C、D,O为坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2.
证明:
-=2.
【解】 因为椭圆过点(1,),e=,
所以+=1,=,
又a2=b2+c2,所以a=,b=1,c=1,
故所求椭圆方程为+y2=1.
(2)证明:
设点P(x0,y0),则k1=,k2=,
因为点P不在x轴上,所以y0≠0,
又x0+y0=2,
所以-=-===2.
(2012·
北京高考)已知椭圆C:
+=1(a>
b>
0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.
【解】
(1)由题意得
解得b=.
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.
设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),
x1+x2=,x1x2=.
所以|MN|=
又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离
d=,
所以△AMN的面积为
S=|MN|·
d=.
由=,解得k=±
1.
(2013·
济南高二检测)设F1、F2分别为椭圆C:
+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°
,F1到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距;
(2)如果=2,求椭圆C的方程.
【解】
(1)设焦距为2c,由已知可得F1到直线l的距离c=2,故c=2.所以椭圆C的焦距为4.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y1<0,y2>0.
直线l的方程为y=(x-2).
联立得(3a2+b2)y2+4b2y-3b4=0.
解得y1=,y2=.
因为=2,所以-y1=2y2.
则=2·
解得a=3.又b2=a2-c2=9-4=5.
∴b=.
故椭圆C的方程为+=1.
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