高维李查逊外推算法的研究和应用Word下载.docx
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理查逊外推法是否一样成立,下面我们将理查逊外推法推广为广义理查逊外推。
2.广义李查逊外推
这节我们给出广义广义李查逊外推算法以及理论分析。
首先我们给出多元函数的
多元函数的Taylor定理
定理1多元函数的Taylor公式
假设D⊂Rn是一凸域,f∈Cm+(1D)。
12(,,.....)nx=xxx
和
1122(,,.....)nnxhxhxhxh
→
+=+++
是D中两点,则必存在θ∈(0,1),使得:
0||
!
fxhDfxhR
α
αα
→→
==
+=ΣΣ+,其中
||1
()
m!
RDfxhh
θ
=+α
+
=Σ
,这里
12
.....
()(),...
....
n
nn
Dfxfxhhhh
xxx
ααα
ααααα
→∂++→
∂∂∂
其中
1212|.....,!
!
.......!
nn|α=α+α+αα=ααα
------------------------------------------------------------
基金项目:
北京市精品课程建设项目资助
作者简介:
林柏洪,男,1989年11月出生,现为北京航空航天大学物理科学与核能工程学院学生。
张权,
男,1991年1月出生,现为北京航空航天大学物理科学与核能工程学院学生。
杨小远,女,1964年2月出
生,博士,北京航空航天大学数学与系统科学学院教授、博导,主要研究方向应用调和分析和图像处理。
2
定理2(广义李查逊外推)
设步长为h=(h1,h2,.....hn)
的算法
1G(h)去逼近量f,若f和
1G(h)之间的截断误差有渐
近展开式:
111
1||
()()(),0
k
kp
GhfDfxhohppp
−=ΣΣ+
=
其中>
(1)
则定义1
()()()(01)
GhGqhqGhq
q+
=<
<
,1()mGh+逼近f的截断误差阶为
hpm+1
为了证明定理2,我们首先证明两引理。
引理1设k,n是两个正整数,那么
112
...12
(......)!
......,
......!
kn
xxkxαxαxα
α+α++α=ααα
+=Σ
(2)
12......n这里α,α,α是非负整数。
证明:
对加项的个数n作归纳法,n=2时,它是二项式定理,当然成立。
现设关于k-1时成
立,那么由二项式定理以及归纳假设得:
11111
0...121
(......)[(.....]!
(........)
()!
()!
....
nnn
kkk
nnnnn
nnkn
xxxxxkxxx
kkxxxx
kx
αααα
−−
=
=+++=−−
+++=
+=++=+
Σ
ΣΣ
)
12......n,
nαxαxα
因此k时,
(2)也成立。
引理证毕。
引理2在多元函数的Taylor定理的条件下,我们有(m1),0
mR=oh+h→
由于x
是D的内点,所以可以x
为中心作一个闭球K,使得KD⊂。
而当h
充分
小时,可使x+θh∈K
。
由于f的所有m+1阶偏微导都在K上连续,设M是所有偏导数的
绝对值在K上的一个上界,于是由Taylor定理及引理1得:
||112||112
...||.....||
(1)!
(||....||)()
(1)!
mnnn
mmm
hhhMhh
MhhMnhMnh
α=+αααα=+ααα
+++
=++<
1(m+1)!
|R|<
=M
证毕。
下面我们来证明广义理查逊外推。
用步长为h的算法f(x+h)
去逼近量f(x)
,若f(x+h)
和f(x)
之间的截断误差有
3
渐近展开式:
()()().............(0)
fxhfxDfxhppp
+−==ΣΣ+>
令1G(h)f(xh)
→→→
=+,则
1||1||
()()()()(0)
()()()()()()()
mkm
ppp
kpkp
GhfxDfxhohppp
GqhfxDfxqhohqDfxhoh
====
−=+>
−=+=+
ΣΣΣΣ
2||
()()()()()()
11!
pmpp
pp
GqhqGhfxqqDfxhohoh
=++=
−−ΣΣ
这个过程称用1()Gqh
和1G(h)
作了一次外推,得到的新公式记为2G(h)
则
()()()()()
GhGqhqGhfxoh
q
→−→
==+
类似的,若假设m=j时
1||
()()()......()()()()
(1)
(1)......
(1)!
j
kkkj
mj
jj
jp
mpppppp
kjp
GqhqGh
Gh
fxqqqqqqDfxhohoh
qqq
++
=+=
−−−
−−−ΣΣ
,1()jGh+
逼近f(x)
的截断误差阶为pj1h+
成立
则当m=j+1时
||
()()()()......()()()()
()()()......()()
jppp
pppppp
GqhfxqqqqqqDfxqhoh
fxqqqqqqqDfxh
=++
=+
ΣΣ
(m)
oh+
ΣΣ+
(1)()()()....()()()()
(1)
(1).....
(1)!
kkkjkj
jm
mpppppppp
qfxqqqqqqqqDfxhoh
−−−−
=−++
4
122||
(1)()(()1()
(1)....()......
(1)())!
−−−ΣΣ
故
2||
()()()......()()()()
fxqqqqqqqqDfxhoh
oh
==++
命题也成立。
综上,命题得证。
3.高阶导数的外推计算
这节我们给出基于广义李查逊外推算法的导数算法。
对于函数f(x),对f(x+h)进行Taylor展开,得到:
()()()()()()()()23
'
23
2!
3!
fx+h=fx+fxh+hfx+hfx+
+ohn………(3)
对f(x−h)进行Taylor展开,得到:
fx−h=fx−fxh+hfx−hfx+
+ohn………(4)
(3)+(4),得到:
()()()()()()22
2[2
(2)()]2
(2)!
fxhfxhfxhfxhfnxohn
++−=++
++……….(5)
(3)-(4),得到:
()()()()()121
2[1(21)()]21
1!
(21)!
fxhfxhhfxhfnxohn
+−−=++−+−
………….(6)
若求解的阶数为偶数,即求解2n阶导,则对(5)式中的h取n个不同的值,得到:
()()()()()22
2
(2)22()
22!
k=1,2,3,........n
kkkknn
fxhfxhfxhfxhfxoh
⎧++−−
=+++⎪⎨⎪⎩
…...(7)
略去高阶无穷小,得到线性代数方程组:
()()()()
22
2
(2)2()
(),
k=1,2,3,........n.
kkkknfxhfxhfxhfxhfx
=++⎪⎨⎪⎩
…………..…(8)
把f
(2)(x)、f(4)(x)……f(2n)(x)当成未知数,通过(8)即可求解出f(2n)(x)。
5
下面给出(8)的计算公式,用行列式表示为:
2462
1111
2452
2222
,.............
4!
6!
.......................................
nnnn
hhhh
⎛⎜
⎝
2222123
123
1,1,1.............................1
,.......................
..............................................
4!
6!
...
(2)!
..............................
⎞⎟
⎜⎟
⎜⎟=
⎠
22222222
2468
12322
...........
,.........
.....()
ij
jin
hhhhhh
<
⎛⎞
⎝⎠
=Π−
阶Vandermonde行列式
2422
22222
,...............,()()2()
2
............................................................................
hhhfxhfxhfx
B
++−−
.........
.....................................................................................
nnnnnhhhfxhfxhfx
⎜⎜++−−⎟⎟
11k+1
4444
.....,,...........
1
(1)()()2().......,,..........
.........(22)!
2......................................
...,.....
nkkkkn
kkn
fxhfxhfxhhhh
+−
−+
=−
k=
222211k+1
1234444
211k+1
1,1,1............................,1
1
(1).....()()2().......,,..........
...................
nkn
nknkk
hhhhfxhfxhfxhhhh
nh
−Σ
24242424
n,...n,n.....n
kknh−h−h−h−
⎜⎜⎟⎟
1231
22222222222
11211
(2)!
(1).....[()()2()]()
2()()....()().....()
nnij
nknkkjin
kkkkkkkknk
nhhhhfxhfxhfxhh
hhhhhhhhhhh
+<
=−+
++−−Π−
−−−−−Σ阶Vandermonde行列式
222
.....[()()2()]()
2()
nij
nkkjin
kkki
in
ik
hhh
≠
Π−Σ
6
则
(2)()
222
()()2()
nkk
kkki
fxBnfxhfxhfx
A=hhh
≈=
Π
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