类比化归思想Word文档格式.docx
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求常数m的范围,使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=n(x—3)垂直
平分.
(分析):
直接求解较为困难,事实上,问题可以转化为:
在曲线y=x存在
关于直线y=m(x—3)对称的两点,求m的范围
22
(略解):
抛物线y=x2上存在两点(Xi,x1)和(乂2,x2)关于直线
y=m(x—3)对称,则广乞上m(x^^23)
22A
X!
x21
「X!
x2m
x;
x;
x26)
即Q1消去X2得
%x2—
Lm
221
2xix16m10
mm
•••存在(X1,X12),(X2,xj)•••上述方程有解
12m2m21
2>
0
m
•(2m1)(6m22m1)V0
1
从而m<
-
2
例1设等比数列{an}的公比为q,前n项和为S,若S+i、S、S+2成等差
数列,贝Uq=.
【分析】由于该题为填空题,我们不防用特殊情况来求q的值•如:
S、S、
S3成等差,求q的值.这样就避免了一般性的复杂运算
略解:
S?
a〔a〔q,S3a〔qq
VS2S32S1
2a12a1qa1q2a1(a1^0)
--q=—2或q=0(舍去)
/43、
例2:
已知平面上的直线I的方向向量e(—厂),点(0,0)和A(1,
5'
5
—2)在I上的射影分别为0和A,若OAe则入为()
11
A.11B
11C.2D2
设
值。
A(x.y)则
可得A(8,6)
55
~^(
3
yx
oa~e即(8,-)(-J3)
5533
设三棱柱ABC-ABC的体积为V,P、Q分别是侧棱AA、CG上的点,
且PA=QC则四棱锥B-PAQG勺体积为:
1111
A.、B.-VC.1VD.3
6432
【分析】P、Q运动四棱锥B-PAQC是变化的,但从选项来看其体积是不变的,所以可以转化为特殊情况来解决
【略解】取P与A重合,Q与C重合的特殊情况
(3)
主与次的转化
常可以简化问题的解决,先看下面两题。
例1:
x2ax2<
0对x[1,1]上恒成立,求实数a的取值范围•
对任何a[1,1]函数f(x)x2(a4)x42a的值总大于0,则实
数x的取值范围是:
对于例1:
令f(x)x2ax2则从图像知
f
(1)<
—Ka<
1
f
(1)<
对于例2:
我们也可以转化为例1的形式
只需视f(x)为关于a的函数,问题就可以转化为例1的情况:
令g(x)(x2)a(x2)2(x2)为关于a的一次函数,
由图像知g
(1)>
0或xv1或x>
Y
勺⑴>
设y的实数,4y24xyx50则x的取值范围是:
【分析】把4y24xyx50看作是关于y的二次方程,则利用0求解x的范围。
【略解】:
把4y24xyx50看作是关于y的二次方程,因为y的实数,所以方程有解。
•••△=(4x)242(x6)>
/•{x|x<
-2或x>
3}
例4:
关于x的二次方程x22x3m0在(0,)上有两个不等的实根,求m的范围。
【分析】:
将方程写成mx22x3,并且用函数的观点认识,则m就成
了x的二次函数,m的取值范围就是在定义域(0,)上,函数值的范围。
【略解】将方程转化为mx22x3作出图像如图m[3,4)上和每一个m都有不同的两个不同的X1,X2与之对应。
/.m[3,4)
(四)数学各分支之间的转化
数学各分支间的转化是一种重要策略,应用十分广泛,比如用向量解立体几何,用解析几何处理平面几何、代数、三角及立体几何中的位置问题,求角与距离转化为平面几何中求角与距离等。
例1在四面体ABCD内部有一点0,使得直线AQBQCQDC与四面体的
面BCD,CDADAB,ABC分别交于A、Bi、C、D四点,且满足
AQBQ
AQB1Q
CQDQK,求K可能的取值。
C1QD1Q
【分析】
立体几何中的四面体,可以与平面几何中的三角形类比,四面体的
面可以与三角形的边类比,于是命题可以从“△ABC内部有一点Q,使得直线A0
BQC0与三角形的三边BCCAAB交于点A、Bi、Ci,且满足竺-B°
-C°
K
A1QB1QC1Q
求K的可能取值”的推理过程探求思考途径,在平面几何中
据上述思路的启发,在空间四面体中,可转化为体积关系来推理
CCiVCABDK1DD1VDABCK
VOBCDVOCDAVOABDVOABC4“
VABCDK1
(五)陌生与熟悉的转化
7个名额分配给5个班,每班至少
例1:
学校将召开学生代表大会,高三有
有一个名额,问名额分配方法有多少种?
解:
(插板法):
C6=15
方程的正整数解的组数为多少
7个“1”之间插四个板C6=15
二、练习:
1•已知下列三个方程:
x24ax4a30,x2(a1)xa20,x22ax2a0至少有一个方程
有实根,求实数a的取值范围。
{a|a>
-1或a<
}
o1*■
2.过抛物线y=4x的焦点的直线交抛物线A、B两点,0为坐标原点,则OAOB的值为:
A.12B.-12C.3D.-3
3.对于满足|P|<
2的所有实数P,求使不等式
x2px1>
2x+p恒成立的x的取值范围
{x|xv—1或x<
—3}
4•在平面中,三角形具有性质:
三角形的中线平分三角形的面积,试将该
性质推广到空间,写出相应的一个真命题(过三棱锥的顶点及底面
的中线的截面平分三棱锥的体积)
三、小结:
我们学习了化归与转化思想,正与反的转化从集合的角度来看就是“补集”的思想一般与特殊的转化只限选择题,填空题中使用,在大题中可有管种方法来探究解题的突破口,寻求解题的方法。
数学分支间的转化是数学分支间内在联系的具体体现。
将陌生变为熟悉,是解每一道题的一般过程。
主与次的转化的方法,是如何看待一个等式(或不等式)中的两个元素的地
位,只要需要,就可以把其中任何一个元素看作“主”要元素来解题。
解决,类比与转化的类型很多,
归纳如下:
类比与转化思想在教学中应用非常普遍,我们在解每一道题时,实际上都在
高次问题低次问题
多元问题一元问题
超越运算代数运算
无限问题
■>有限问题
空间问题平面问题问题问题
几何问题代数问题
四、作业:
1•在由数字0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有o
2.3•设不等式2x-1>m(x2-1)对满足冋<2的一切实数m都成立,求实数x的取值范围。
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- 类比 思想