导数中双变量的函数构造2Word下载.docx
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)上递减,(1,
)上递增,
又(0)
0,
时
(x)0,
综上••…•可知,
或>
0;
6分
11
(2)由
(1)可知,当=时,f(x)Inxex在(0,)上递减,v0x1x2,
ee
•f(xj
1x
f(x2),即Inx1e为
1x2
Inx2e2,
1X21X.
•e2eInx1
Inx2
要证e1x2
e为1—,只需证Inx1
X2
InX21
,即证In—1
X1
入xi
t1
令tc,
t(0,1),则证Int1,
令h(t)Int
1,则h(t)
.2
t
[典例]已知函数f(x)=ax2+xlnx(a€R)的图象在点(1,f
(1))处的切线与直线x
+3y=0垂直.
求实数a的值;
[解]
(1)因为f(x)=ax2+xInx,
所以f'
(x)=2ax+Inx+1,
因为切线与直线x+3y=0垂直,所以切线的斜率为3,
(1)=3,即2a+1=3,故a=1.
(2)证明:
要证Inn—Inm>
m——,
nm'
nmnnmn小
即证lnm>
——m,只需证lnm—齐+m>
°
.
n1
令用=x,构造函数g(x)=Inx—x+x(x>
1),
则g'
(x)=x+采+1.
因为x€[1,+x),所以g'
(x)=x+壬+1>
0,
故g(x)在(1,+x)上单调递增.
由已知n>
m>
0,得m>
1,
n
所以gm>
g
(1)=0,
即证得inm—m+m>
0成立,所以命题得证.
1.(2017石家庄质检)已知函数f(x)=ax—|x(x>
0),其中e为自然对数的底
数.
(1)当a=0时,判断函数y=f(x)极值点的个数;
X2、.一—__
⑵若函数有两个零点X1,X2(X1VX2),设t=二,证明:
X1+x2随着t的增大而
I
增大.
x2
解:
(1)当a=0时,f(x)=—-x(x>
0),
ex2
—2x・xe——x2・xexx—2f(x)=x2=—,
令f'
(x)=0,得x=2,
当x€(0,2)时,f'
(x)v0,y=f(x)单调递减,
当x€(2,+x)时,f'
(x)>
0,y=f(x)单调递增,
所以x=2是函数的一个极小值点,无极大值点,
即函数y=f(x)有一个极值点.
x22
⑵证明:
令f(x)=ax—石=0,得x2=aex,
因为函数有两个零点xi,X2(X1VX2),
333
所以xii2=aexi,x孑=aex2,可得qlnxi=Ina+xi,
所以Xi+X2=!
•+i"
\①
2t—i
x+ilnx
令h(X)=T,X€(i,+^),
i—2lnx+x—-入则h,(x)=仁—
x—i2
当x€(i,+x)时,u'
0.
因此,u(x)在(i,+^)上单调递增,
故对于任意的x€(i,+^),u(x)>
u(i)=0,
由此可得h,(x)>
0,故h(x)在(i,+^)上单调递增.
因此,由①可得Xi+X2随着t的增大而增大.
2.(2016全国乙卷)已知函数f(x)=(x—2)ex+a(x—1)2有两个零点.
⑴求a的取值范围;
(2)设XI,X2是f(x)的两个零点,证明:
Xl+X2<
2.
(1)f‘(x)=(x—1)ex+2a(x—1)=(x—1)(ex+2a).
1设a=0,则f(x)=(x—2)ex,f(x)只有一个零点.
2设a>
0,则当x€(—^,1)时,f'
(x)<
0;
当x€(1,+x)时,f'
所以f(x)在(—^,1)内单调递减,在(1,+^)内单调递增.
a
又f
(1)=—e,f
(2)=a,取b满足b<
0且b<
ln2,
则f(b)>
2(b—2)+a(b—1)2=ab2—qb>
0,
故f(x)存在两个零点.
3设a<
0,由f'
(x)=0得x=1或x=ln(—2a).
右a》一2,则ln(—2a)w1,
故当x€(1,+x)时,
f'
0,因此f(x)在(1,+x)内单调递增.
又当xw1时,f(x)<
0,所以f(x)不存在两个零点.
若a<
—2,则ln(—2a)>
1,
故当x€(1,ln(—2a))时,f'
0;
当x€(ln(—2a),+^)时,f'
因此f(x)在(1,ln(—2a))内单调递减,在(ln(—2a),+^)内单调递增.
综上,a的取值范围为(0,+^).
不妨设X1VX2,由
(1)知,X1€(—X,1),X2€(1,+X),2-X2€(—%,1),又f(x)在(—x,1)内单调递减,
所以X1+X2<
2等价于f(X1)>
f(2—X2),即f(2—X2)<
由于f(2—X2)=—X2e2—X2+a(X2—1)2,
而f(X2)=(X2—2)eX2+a(X2—1)2=0,
所以f(2—X2)=—X2e2—X2—(X2—2)eX2.
设g(x)=—xe2—X—(x—2)eX,
(x)=(x—1)(e2—x—ex).
所以当x>
1时,g'
0,而g
(1)=0,
故当X>
1时,g(X)<
从而g(x2)=f(2—X2)<
0,故X1+X2<
3.已知函数f(x)=ex—ax—1(a为常数),曲线y=f(x)在与y轴的交点A处的切线斜率为—1.
(1)求a的值及函数y=f(x)的单调区间;
(3)若X1VIn2,X2>
In2,且f(x1)=f(x2),试证明:
X1+X2<
2ln2.
(1)由f(x)=ex—ax—1,
得f'
(x)=ex—a.
又f'
(0)=1—a=—1,
所以a=2,
所以f(x)=ex—2x—1,f'
(x)=eX—2.
由f'
(x)=ex—2>
0,得x>
In2.
所以函数y=f(x)在区间(一x,in2)上单调递减,在(In2,+x)上单调递增.
设X>
In2,
所以2In2—x<
f(2In2—x)=e(2In2—x)—2(2ln2—x)—1
4
—&
+2x—4ln2—1.
D
令g(x)—f(x)—f(2ln2-x)
x4
—e—ex—4x+4ln2(x>
In2),
所以g'
(x)—ex+4e_x—4>
当且仅当x—In2时,等号成立,
所以g(x)—f(x)—f(2In2—x)在(In2,+^)上单调递增.
又g(ln2)—0,
所以当x>
ln2时,
g(x)—f(x)—f(2ln2—x)>
g(ln2)—0,
即f(x)>
f(2ln2—x),
所以f(x2)>
f(2ln2—X2),
又因为f(xi)—f(X2),
所以f(xi)>
由于X2>
ln2,
所以2ln2—X2VIn2,
因为xi<
In2,
由
(1)知函数y—f(x)在区间(一%,In2)上单调递减,
所以xi<
2ln2—X2,
即xi+X2<
2ln2.
4.(20i7沈阳质监)已知函数f(x)—^x2—alnx+b(a€R).
(i)若曲线y—f(x)在x—i处的切线的方程为3x—y—3—0,求实数a,b的值;
⑵若x—i是函数f(x)的极值点,求实数a的值;
ii
⑶若—2<
a<
0,对任意xi,X2€(0,2],不等式|f(xi)—f(X2)|wm~—~恒成立,求m的最小值.
⑴因为f(x)=gx2—alnx+b,
所以F(x)=x—a,
因为曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程为3x—y—3=0,
「i=3,1—a=3,a=—2,
所以即1解得1
f1=0,2+b=0,b=—~2
⑵因为x=1是函数f(x)的极值点,
(1)=1—a=0,所以a=1.
当a=1时,f(x)=gx2—Inx+b,定义域为(0,+),
1x2—1x—1x+1
f'
(x)=x—x=
当0vXV1时,f'
(x)V0,f(x)单调递减,
当x>
1时,f'
0,f(x)单调递增,
所以a—1.
(3)因为一2<
av0,0Vx<
2,所以f'
(x)—x—x>
故函数f(x)在(0,2]上单调递增,
不妨设OvX1Wx2<
2,
11八m「m
则|f(x1)—f(x2)|wm書―x;
可化为f(x2)+QWf(x1)+打,
山m12m
设h(x)—f(x)+x—2x2—alnx+b+匚,
则h(x1)>
h(x2).
所以h(x)为(0,2]上的减函数,
am
即h'
(x)—x—x—x^w0在(0,2]上恒成立,
入入
等价于x3—ax—mw0在(0,2]上恒成立,
即m》x3—ax在(0,2]上恒成立,
又—2wav0,所以ax》—2x,所以x?
—axwx'
+2x,
而函数y=x3+2x在(0,2]上是增函数,
所以x3+2xw12(当且仅当a=—2,x=2时等号成立).
所以m》12,
即m的最小值为12.
5.已知函数f(x)=x—x,g(x)=alnx(a€R).
(1)当a》一2时,求F(x)=f(x)—g(x)的单调区间;
⑵设h(x)=f(x)+g(x),且h(x)有两个极值点为X1,X2,其中X1€0,㊁,求
h(x1)—h(X2)的最小值.
亠1
(1)由题意得F(x)=x—-—alnx(x>
0),
入
x2一ax+1
则F'
(x)=x,令m(x)=x2—ax+1,贝U△=a2—4.
①当一2waw2时,0,从而F'
(x)》0,
所以F(x)的单调递增区间为(0,+x);
②当a>
2时,A>
0,设F'
(x)=0的两根为
所以F(x)的单调递增区间为
综上,当—2waw2时,F(x)的单调递增区间为(0,+);
当a>
2时,F(x)的单调递增区间为
⑵对h(x)=x—x+alnx,x€(0,+^)求导得,
1ax2+ax+1h(x)=1+X2+X=X2,
h'
(x)=0的两根分别为X1,X2,则有X1X2=1,X1+X2=—a,
令H(x)=h(x)—hx
=2—x—xInx+x—x
xx
121—x1+xInx
即H'
(x)=2X2—1Inx=X2(x>
0).
11、
当x€0,2时,H'
(x)V0,所以H(x)在0,2上单调递减,
又H(X1)=h(x1)—h1=h(x1)—h(x2),
1所以[h(x1)—h(x2)]min=Hj=5ln2—3.
6.设f(x)=ex—a(x+1).
(1)若?
x€R,f(x)>
0恒成立,求正实数a的取值范围;
(2)设g(x)=f(x)+ex,且A(X1,y1),B(X2,y2)(X1工X2)是曲线y=g(x)上任意两点,
若对任意的a<
—1,直线AB的斜率恒大于常数m,求m的取值范围.
[解]
(1)因为f(x)=ex—a(x+1),
(x)=e"
—a.
由题意,知a>
故由f'
(x)=eT—a=0,
解得x=Ina.
故当x€(—x,ina)时,
(x)v0,函数f(x)单调递减;
当x€(Ina,+x)时,
0,函数f(x)单调递增.
所以函数f(x)的最小值为f(lna)=elna—a(lna+1)=—alna.
由题意,若?
0恒成立,
即f(x)=ex—a(x+1)>
0恒成立,
故有—alna>
又a>
0,所以lna<
0,解得0va<
1.所以正实数a的取值范围为(0,1].
(2)设xi,X2是任意的两个实数,且X1VX2.
gX2—gxi
则直线AB的斜率为k=
X2—xi
由已知k>
m,
即>
m.
X2—Xi
因为X2—Xi>
所以g(x2)—g(xi)>
m(x2—xi),
即g(x2)—mx2>
g(xi)—mxi.
因为xiVX2,
所以函数h(x)=g(x)—mx在R上为增函数,
故有h'
(x)=g'
(x)—m>
0恒成立,
所以mwg'
(x).
而g'
(x)=ex—a—j,
又a<
—iv0,
故g,(x)=ex+~er~-a>
2e•誉-a=2a-a.
而2—a—a=2—a+(:
-a)2二(-:
—a+1)2—1>
3,
所以m的取值范围为(―乂,3].
练习:
12
1已知函数fxx,gxalnx.
2
(1)若曲线yfxgx在x1处的切线的方程为6x2y50,求实数a的值;
(2)设hxfxgx,若对任意两个不等的正数x1,x2,都有2恒成立,求实数
x1x2
a的取值范围;
(3)若在1,e上存在一点Xo,使得fXo
1g'
xoJ成立,求实数a的取值范围
fxogxo
a2
2.已知函数fxxlnxxaR.
(1)若xO,恒有fxx成立,求实数•的取值范围;
(2)若函数gx
x有两个极值点x1,x2x1
x2,求证:
Inx1
2ae.
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- 导数 变量 函数 构造