第12讲统筹与对策完整版Word格式文档下载.docx
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戊洗衣服,用15分钟,请问:
如何合理安排,最快在早晨几点几分,这五个人都能用完水?
6:
17
解析:
5+2+10+1+15=33分钟,有两个水龙头,33÷
2=16.5,则至少要17分钟。
下面的构造说明17分钟是可以的,5+l0+1=16,2+15=17.
所以最快在早晨6点17分,这五个人都能用完水.
4.西点店里卖的面包都是5个一袋或3个一袋的,不拆开零售.已知5个一袋的售价是8元,3个一袋的售价是5元,要给47位同学每人发1个面包最少要花多少钱?
76元
因为买15个面包时,3个大袋比5个小袋划算,所以大袋的单价比小袋的便宜,那么应该尽量多买大袋的.
①若买9个大袋和1个小袋,9×
5+1×
3=48个,多出1个,总价是8×
9+5×
1=77元.
②若买8个大袋和3个小袋,8×
5+3×
3=49个,多出2个,总价是8×
8+5×
3=79元.
③若买7个大袋和4个小袋,7×
5+4×
3=47个,不多不少,总价是8×
7+5×
4=76元.
比较后得最少要花76元.
5.如图12-1所示,一条环形公路上有A、B、C、D四个仓库.A仓库存盐40吨,B仓库存盐5吨,C仓库存盐35吨,D仓库没有盐.现在要调整存放数量,计划A、B、C、D每个仓库各存盐20吨,已知每吨盐运1千米需要运费2元.试问:
为完成上述调运计划,最少需要多少元运费?
(图12-1中公路旁的数字表示相邻仓库间的里程数,单位为千米)
700元
A仓库存盐40吨,要运出40-20=20吨.C仓库存盐35吨,要运出35–20=15吨.而A仓库把20吨盐运往D仓库,C仓库把15吨盐运往B仓库,刚好能使每个仓库存盐20吨.此即最节省的方案,运费为20×
10×
2+15×
2=700元.
6.2008个小方格从左到右排成一行,甲、乙两人轮流在空格内放棋子,每人每次放一枚.规定:
每个空格只能放一枚棋子,当甲放好一枚棋子后,乙必须在紧挨着这枚棋子的空格内放;
而当乙放好棋子后,甲必须隔一个位子放;
谁放不了就判谁输.如果乙一开始在左边第一个方格内放了一枚棋子,那么谁将有必胜策略?
甲
当甲放下第一个棋子后,游戏呈现如下形式:
这时乙有两个选择:
A或B,如果乙选择B,那么甲放到A的话,乙就输了,所以乙只能选择A,接下来甲只有选择B,之后乙必须放到C里面,至此,格子变成以下形式:
乙占据了除去最左边4格后剩下的2004个格子中的最左边一个,那么重复上面的分析可以知道,如果乙不想输的话,以后的摆放必然是“乙乙甲甲乙乙
甲甲……”的规律,到最后只剩四格的时候乙占据最左边的格子:
甲放到B后,无论乙放到A还是C,甲放好后所有的格子都有棋子,所以乙无法再放棋子,于是甲有必胜策略,
7.有9根火柴,甲、乙两人轮流取,规定每次可以取1根或者2根火柴,以取走最后一根火柴的人为胜者,试问:
如果甲先取,谁有必胜的策略?
乙
如果剩1根或2根,那么先取的直接取走便可,先取的必胜.
如果剩3根,先取的无论取1根还是2根,后取的都可以取完,后取的有必胜策略.
如果剩4根或5根,先取的取走1根或2根后剩下3根,由上面的分析知他必胜.
如果剩6根,先取的取完后剩4根或5根,由上面分析知,后取的获胜.
题目中是9根,这时甲取后剩7或8根,轮到乙时,他只要保证取完后剩下6根,根据前面的分析便可以知道乙必胜,所以这里乙有必胜策略,
8.有100根火柴,甲、乙两人轮流取,规定每次可以取1根、2根、3根或4根火柴,谁取到最后~根火柴谁输.若甲先取,问:
谁有必胜的策略?
如果剩1根,那么先取的输.
如果剩2至5根,先取可以取得剩1根,所以先取必胜.
如果剩6根,先取酌取完后剩2~5根,那么根据上面的分析知,先取的输.
如果剩7至10根,先取的取完后可以保证剩6根,他必胜.
根据上面的分析,对100根的总数,田可以取4根,剩96艰,等乙取完后,甲再取使得剩下91根,之后每次甲只要使自己取完后剩下的数目是5的倍数加1,那么最后1根必然是乙取到,所以甲必胜.
9.如图12-2方格A中放有一枚棋子,甲先乙后轮流移动这枚棋子,只能向上、向右或向右上方沿453角走1步,最终将棋子走到方格B的人获胜,请问:
谁有必胜策略,策略是什么?
甲有必胜策略,标有“√”的方格是“制胜点”,即棋
子已经出现在“√”处,轮到谁走谁就会赢.如图:
如图1,谁若从与B相邻的格开始走,则一步{就能走到B,因此谁如果从这些格走的话一定赢,我们将这种点称为“制胜点”,打“√”表示,
再看图2,谁若走到图中打。
×
,,的地方,则自己走一步必定走到打“√”的地方,因此这些点是“必败点”.继续填写表格,得到结果如答案所示.
因为A是“制胜点”,即甲现在已经处于“制胜点”,所以可获胜。
10.两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币,规则是:
每人每次只能放一枚,硬币不许重叠,谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放,谁就获胜.请问:
先放者如何取胜?
先在桌面中心放一枚,然后无论后放者放在哪里,先放者总是放在与之关于中心对称的位置上
如果甲第一枚硬币放在桌子正中央,那桌子尚未被硬币盖住的部分是一个中心对称图形,之后每当乙放置好一枚硬币之后,甲可以把硬币放在乙放的硬币关于桌子圆心对称的地方(如图),这样只要乙硬币,那么甲也可以放,所以当最后桌子上不能再放置硬币时,一定是乙无法再放,所以甲胜.
拓展篇
1.萱萱中午做的菜是烧豆腐,共需要七道工序,每道工序的时间如下:
切豆腐2分钟,切肉片2分钟,准备葱姜蒜3分钟,准备佐料1分钟,烧热锅2分钟,烧热油2分钟,炒菜4分钟.那么萱萱烧好这道菜最少需要几分钟?
答案:
l2分钟
萱萱可以顺次完成切肉片、切豆腐、准备葱姜蒜和准备佐料四道工序,在做这四道工序的同时可以顺便完成烧热锅和烧热油两道工序,当这六道完成
后,就可以去烧豆腐了.按这个顺序,一共需要12分钟.
2.小杂货店里有一位售货员卖货,同时来了A、B、C、D、E五位顾客.A买糖果需要2分钟,B买大米需要6分钟,C买香烟和啤酒需要4分钟,D买水果需要3分钟,E买蔬菜需要5分钟,请问:
售货员应该如何安排这五位顾客的顺序,使得这五位顾客排队等候的时间总和最短?
(只计算每个人排队的时间,不计算买东西的时间.)
按照A、D、C、E、B的顺序;
30分钟
谁买东西所用时间最少,谁就先买,这样等待的总时间就会最短,所以按照A、D、C、E、B的顺序购买时,等待时间最短,是30分钟.
3.有47位小朋友,老师要给他们每人发1支红笔和1支蓝笔,商店中每种笔都是5支一包或3支一包,不能打开零售.5支一包的红笔61元,蓝笔70元;
3支一包的红笔40元,蓝笔47元.请问:
老师买所需要的笔最少要花多少元?
1264元
因为买15支笔时,3大包比5小包划算,所以最后无论那种笔,都至多有4小包.
对红笔来说,如果最后都是大包,共要花61×
10=610(元);
如果有1个小包,还需要9个大包,共要花40+61×
9=589(元);
如果有2个小包,还需要9个大包,这显然比上面的情况花费多;
如果有3个小包,还需要8个大包,共要花40×
3+61×
8=608(元);
如果有4个小包,还需要7个大包,共要花40×
4+61×
7=587(元);
所以只需购买4小包和7大包红笔即可.
对蓝笔来说,如果最后都是大包,共要花70×
10=700(元);
如果有1个小包,还需要9个大包,共要花47+70×
9=677(元);
如果有2个小包,还需要9个大包.这显然比上面花费多;
如果有3个小包,还需要8个大包,共要花47×
3+70×
8=701(元);
如果有4个小包,还需要7个大包,共要花47×
4+70×
7=678(元).
所以给47个小朋友每人发1支红笔1支蓝笔最少要花58.7+677=1264元,
4.如图12-3的方格屏幕上,每个小方格的边长是1厘米,一条贪吃的蛇从左下角出发,沿着格线爬行,如果它想吃掉图中的3个“★”,最少要爬多远?
请画出路线.
8厘米
将这三个“★”分别记作“左”、“下”相“右”,则因为吃“右”的路上可以顺路吃掉一个“左”或“下”,因此必然不应该第一个吃“右”,
如果先吃“左”,①第二个吃“下”,最少需要8厘米;
②第二个吃“右”,最少需要10厘米.
如果先吃“下”,①第二个吃“左”,最少需要10厘米;
②第二个吃“右”,最少需要11厘米.
综上,最少要爬8厘米,先吃“左”,再吃“下”,最后吃“右”.
5.如图12-4是一张道路图,每段路旁标注的数值表示卡莉娅走这段路历需的分钟数.问:
卡莉娅从A出发走到B最快需要多少分钟?
18分钟
如果图中的5个岔口如图1那样标注:
那么从A开始,逐涉计算A到每个岔口的最短时间.A、C最快是4分钟,A、D最快5分钟,这样A、E最快路线是A、D、E,为6分钟,由于从A到E-定不会走C、E,所以C、E是多余的道路,可以在图中把它去掉,如图2所示.
下面来确定到F和G的最短时间,E、F要用10分钟,A、F是18分钟,这样可以知道A、F的最短时间是16分钟,是A、D、E、F,此时A、F成为多余道路,可以在图中去掉.
同样可以知道A、G的最短时间是11分钟,而且从A到G不会走D、G道路,去掉它后,如图3所示:
此时只要计算出从E到B的最短时间即可,很显然,走E、F、B用时最少,是12分钟,把E、G、B去掉,如图4所示,此时便知道A到B的最快路线是A、D、E、F、B,用时18分钟.
6.如图12-5,一条路上从西到东有A、B、C、D、E五所学校,分别有200人、300人、400人、500人、600人,任意相邻的两所学校之间的距离都是100米,现在要在某所学校的门口修建一个公共汽车站,要使所有人到达车站的距离之和最小,那么车站应该建在什么地方?
距离的总和最少是多少?
D;
220千米
首先把路程单位换为千米,因为C处在所有学校的中间,所以先算建在这里的总路程.
车站修在C门口,总路程为0.2×
200+0.1×
300+0.1×
500+c.2×
600=240千米.
如果车站搬到B,那么A相B的学生少走100米路就可以到达车站,路程减少50千米;
但是C、D、E的学生都得多走100米路,路程增加150千米,总路程增加100千米,所以建在C比建在B好.
如果车站搬到D,A、B、C的学生每人多走100米,路程增加90千米;
D、E的学生每人少走100米,路程减少110千米,总路程减少20千米,所以建在D比建在C好.
车站搬到D后,如果继续搬到E的话,A、B、C、D的学生每人多走100米,增加路程140千米;
E的学生每人少走100米,减少路程60千米,总路程增加80千米,所以建在D比建在E好,
综上所述,车站应当建在D.总路程为220千米.
7.北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台,这些车床准备分配给武汉11台、西安5台,每台车床的运费如图12-6所示.那么总运费最少是多少元?
9700元
先假设把北京和上海制成的所有车床都运到武汉,然后把其中的一些改为运到西安.把一台车床从运到武汉改为运到西安,北京的厂家要多付100元,而上海的厂家要多付300元,所以西安的车床都由北京提供时,能节省更多的运费,最少运费为
500×
5+600×
5+700×
6=9700(元).
8.甲拿若干枚黑棋子,乙拿若干枚白棋子,他们轮流向如图12-7所示的3×
3的方格中放棋子,每次放1枚,谁的棋子中有3枚连成一条线(横、竖、斜均可),谁就获胜.如果甲首先占据了中间位置,乙要想不败,第1枚棋子应该放在哪里?
左上角,右上角,左下角或者右下角
如图1所示,对乙来说,第一个棋子可以放到A或B,下面分别讨论:
①放A,如果甲放在B,乙只能放C,之后甲放在D后必胜.
②放B,此时甲有4个选择:
D、E、F、C,下面分别分析这4种情况:
甲放在D,乙只能放在G,这时还剩5个格子,但是无论甲怎么走,乙都有办法应对,使自己不败;
甲放在E,之后是乙B,甲A,乙F,至此甲已经无法取胜;
甲放在F,之后乙A,甲B,乙E,甲D,乙G后,双方平手;
甲放在C,这时乙可以选择放在B,下面甲A、乙F后,剩下的4个格子无法保证甲能够取胜.
如图2所示,只要乙的第一个棋子放在角上,那他就一定不会输.
9.有12枚棋子,甲、乙两人轮流取,规定每次至少取1枚,最多取3枚,以取走最后一枚棋子者为胜者.如果甲先取,那么谁有必胜策略?
如果取走最后一枚棋子者为败者,并且仍然是甲先取,那么谁有必胜策略?
乙;
第一问中,在每次甲取完之后,乙取适当的数目可以保证两个人共取4枚棋子,这样每次取一轮都可以取4枚,因为一共有12枚棋子,所以乙可以保证自己拿到最后一枚,所以乙有必胜策略。
第二问中,由于条件变成取到最后一枚的算输,那么重新分析一下简单情况,如果剩1枚,那么先取的必败;
如果剩2至4枚,先取的可以剩1枚不取,所以后取的必败.又因为两个人取一轮时后取可以保证一定能取走4枚,那么在12枚的情况下,同4枚时的情况类似,甲先取3枚,这时还剩9枚,之后无论乙怎么取,甲只要保证每一轮自己和乙共取4枚,那么最后l枚必然被乙取到,所以甲有必胜策略.
10.A现有2008根火柴,甲、乙两个人轮沆从中取出火柴,每次最少从中取出2根,最多取出4根,谁无法再次取出火柴谁就赢,如果甲先取,请问谁有必胜的策略?
甲
对2008根火柴来说,甲先取2根,这时还剩;
2006根,之后每次乙取完后,甲取适当的根数,以保证两个人共取到6根,因为2006=6×
334+2,所以还剩2根给乙去取,于是甲获胜.
11.甲、乙两人玩游戏:
有两堆小球,甲、乙两人轮流从中取球,每次只能从同一堆中取,个数不为零即可,规定取到最后一个球的人赢,现在甲先取球,问:
(1)如果开始时两堆球数分别是2个和2个,那么谁有必胜策略?
请说明理由;
(2)如果开始时两堆球数分别是2个和3个,那么谁有必胜策略?
(3)如果开始时两堆球数分别是5个和8个,那么谁有必胜策略?
请说明理由,
(1)乙有必胜策略,乙每次都从另外一堆取和甲相同的数目;
(2)甲有必胜策略,甲先从3个的那堆中取出1个,接着乙取几个,甲就从另外一堆取几个;
(3)甲有必胜策略,甲先从8个的那堆中取出3个,接着乙取几个,甲就从另外一堆取几个.
(1)如果甲在其中一堆里面取走2个,那么乙把另一堆全部取走便赢了;
如果甲在其中一堆里面只取走1个,那么乙在另一堆里面也取走1个后两堆都只有1个球,这时甲无法把所有球取走,所以乙获胜.所以当两堆球都只有2个时,乙有必胜策略.
(2)甲在第二堆中取走1个球,那么两堆球的数目都是2个,所以由上一问可知甲获胜.
(3)甲首先在第二堆中取j个球,这样两堆球的数目都是j个,之后无论乙怎么取,甲只要保证自己取完后两堆球的数目仍然一样多,那么最后一个球肯定是甲取到,所以甲有必胜策略.
12.黑板上写有1-2009这些自然数,甲先乙后,两人轮流擦去一个自然数,如果最后剩下的两个自然数奇偶性不同,那么甲就胜,否则乙胜.请问:
谁有必胜的策略,具体的策略是怎样的?
甲有必胜策略.甲先擦去一个奇数,以后每次擦去和乙不同奇偶性的一个数
如果只有1、2、3,那么甲擦去一个奇数后获胜,如果是1到5,那么甲擦去一个奇数后剩下两奇两偶,接下来如果乙擦去一个奇数,那么甲擦去一个偶数,甲胜;
如果乙擦去一个偶数,那么甲擦去一个奇数,还是甲胜.
通过上面的分析,对2009个数字,可以为甲设计一个策略:
首先他擦去一个奇数,等乙擦完后,甲擦去一个和乙选择的数字奇偶性不同的数,这样可以保证每次甲擦完后,剩下的数中都是一半奇数、一半偶数,那么最后剩下的两个数,奇偶性一定是不同的,所以甲必胜.
13.如图12-8,方格A中放有一枚棋子,甲先乙后轮流移动这枚棋子,只能向上、向右或向右上方沿45。
角走1步,最终将棋子走到方格B的人获胜.请问:
如果每次允许往同一方向(上、右或右上)走任意多步,结果又如何呢?
甲有必胜策略,标“√”的方格是甲的制胜点
从终点逆推,看从不同的格子开始,谁有必胜策略,如果先走的必胜,那么在格中标记“√”,如果是后走的获胜,那么标记“×
”.
当和B-行时,因为只能往右走,所以容易确定,为“√”、“×
”相间的标记;
同样,对和B-列的格子也是如此,而B左下的格子,很显然应该标记“√”,此时如图1所示:
这时,可以确定1、2和3该如何标记,很显然,对1来说,只要先往上走一步,那么根据上面格子的标记状况知先走的可以获得胜利,所以1标记“√”,同理,3往右走也能得到胜利,标记“√”;
最后看2,因为它上、右和右上都是“√”,所以无论他如何走都是失败,于是标记“×
”.此时情形如图2所示:
对这时需要确定结果的5个格子,1、3和5的右上是“×
”,2的右侧、4的上面也都是“×
”,所以只要第一步把棋子移动到这些“×
”处便可以保证胜利,所以这5个格子都是“√”.
根据上面的分析,不难总结出下面的规律:
如果一个格子的右、上或者右上有一个“×
”,因为可以弹一步走到“×
”处,所以可以保证胜利,于是这个格孑是“√”;
如果右、上或右上全是“√”,那么这个格子就必须是“×
”.根据这个规律,便很容易补全图2,如图3所示:
这样便知道甲有必胜策略,只要在每次移动棋子时移动到附近的“×
”处即可.
如果每次允许往一个方向走任意步,从终点开始逆推,同样可以做出如图4所示的一个图,此时依然是甲必胜,只要在每次移动棋子时移动到“×
14.妻妻桌上有一块巧克力,它被直线划分成3行7列的21个小方块,如图12-9所示.现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏,规则如下:
①每次只许沿一条直线把巧克力切成两块;
②拿走其中一块,把另一块留给对手再切;
③谁能留给对手恰好是一个小方块,谁就取胜,
如果请你首先切巧克力,那么你第一次应该切走多少个小方块,才能使你最后获胜?
切走12块,给对手留下一个3×
3的正方形,接着-每次都给对手留下一个正方形
如果只剩1行或1列,但不是一个小方块,那么先切的人只要剩一个小方块就赢了;
如果剩2行,是2×
2的方块,那么先切的人切完后成为1×
2的方块,所以后切的人必胜;
如果比2×
2多(2×
3,2×
4,…),因为2×
2时是切的人获胜,所以这时先切的人只要剩下一个2×
2的方块就可以取胜;
在3×
3时,先切的切完后,剩下的巧克力是1×
3或是2×
3,根据上面的分析可知后切的一定获胜.所以第一刀切完后剩下3×
3时就可以保证获胜了,即切下3×
4=12块巧克力.
超越篇
1.甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的三个车床上车出七个零件,加工各零件所需要的时间分别为4、5、6、6、8、9、9分钟.三人同时开始工作,问:
经过合理分工,最少经过多少分钟可以车完全部零件?
17分钟
如果想在16分钟就完成所有零件,那么三个人的工作时间肯定是16、16和15,这7个零件中,16分钟可以完成的零件组合只有4、6、6,于是不可能有两个人都恰好16分钟完成,所以不可能16分钟就完成所有零件.
那么17分钟能不能完成呢?
此时三个人的工作时间可以是17、16和15,而因为17=9+8,16=4+6+6,15=6+9,所以17分钟可以完成所有零件.
2.如图12-10是某县的道路分布图,小唐驾车从县城出发,要经过甲、乙、丙、丁、戊这些乡镇中的每个至少一次,并且最后回到县城.已知道路旁边的数值表示汽车通过此段公路所需的时间分钟数,那么小唐完成计划的行程最少需要多少分钟?
300分钟
注意到甲、乙两乡镇之间的公路需行驶80分钟,而小唐从甲经过县城再到乙的时间是73分钟,因此甲、乙这段公路是肯定不会经过的,可以从图上删除,同理可以删除的还有丙、丁之间的公路和县城与戊镇之间的公路,如所示:
这样完成此行程最快的路线是
县城一甲一戊一丁一县城一乙一丙一县城,需要的时间为
20+60+50+4J+20+60+50=300(分钟).
3.如图12-ll,有10个村坐落在从县城出发的一条公路上,图中的数字表示各段公路的长度,单位是千米.现在要安装水管,从县城送自来水供给各村,可以用粗细两种水管,粗管足够供应所有各村用水,细管只能供一个村用水,粗管每千米要用8000元,细管每千米要用200J元,把粗管和细管适当搭配.互相连接,可以降低工程的总费用.按你认为最节约的办法,费用应是多少元?
414000元
因为在倒数第四个村庄以及以前,水管要供至少4个村庄用水,用粗管比较便宜.因此应该将粗管连到倒数第四个村庄,剩下的用细管费用应是8000×
(30+5+2+4+2+3+2)+2000×
(2×
3+2×
2+5×
1)=414000元.
4.甲和乙两人做数学游戏:
在黑板上写一个自然数,轮到谁走时,谁就从该自然数中减去它的某个非零数字,并用所得的差替换原数,两人轮流走,谁所得到的数是零,就算谁赢,如果尹始在黑板上写的数是1994,并且甲先走,问:
谁有必胜策略?
如果是一位数.那么甲必然取胜.如果是两位数,根据十位数的不同继续分类分析:
①十位数是l时,如果是l0,甲走完后数字为9,所以乙胜利,如果
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