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3.用数轴表示不等式注意什么?
用数轴表示不等式要注意两点:
一是边界;
二是方向.若边界点在范围内则用实心点表示,若边界点不在范围内,则用空心圆圈表示;
方向是对于边界点而言,大于向右画,而小于则向左画.
在同一个数轴上表示下列两个不等式:
x>-3;
x≤2.
第三节、错题剖析
一、去括号时,错用乘法分配律
【例1】解不等式
3x+2(2-4x)<
19.
错解:
去括号,得
3x+4-4x<
19,解得x>
-15.
诊断:
错解在去括号时,括号前面的数2没有乘以括号内的每一项.
正解:
3x+4-8x<
19,
-5x<
15,所以x>
-3.
二、去括号时,忽视括号前的负号
【例2】解不等式
5x-3(2x-1)>
-6.
5x-6x-3>
-6,解得x<
3.
诊断:
去括号时,当括号前面是“-”时,去掉括号和前面的“-”,括号内的各项都要改变符号.错解在去括号时,没有将括号内的项全改变符号.
5x-6x+3>
-6,
所以-x>
-9,所以x<
9.
三、移项时,不改变符号
【例3】解不等式
4x-5<
2x-9.
错解:
移项,得
4x+2x<
-9-5,
即6x<
-14,所以
一元一次不等式中的移项和一元一次方程中的移项一样,移项就要改变符号,错解忽略了这一点.
4x-2x<
-9+5,
解得2x<
-4,所以x<
-2.
四、去分母时,忽视分数线的括号作用
【例4】解不等式
去分母,得
6x-2x-5>
14,解得
诊断:
去分母时,如果分子是一个整式,去掉分母后要用括号将分子括起来.错解在去掉分母时,忽视了分数线的括号作用.
正解:
6x-(2x-5)>
14,
6x-2x+5>
五、不等式两边同除以负数,不改变方向
【例5】 解不等式
3x-6<1+7x.
错解:
3x-7x<1+6,
即-4x<7,所以
诊断:
将不等式-4x<7的系数化为1时,不等式两边同除以-4后,根据不等式的基本性质:
不等式两边同乘以或同除以同一个负数,不等号要改变方向,因此造成了错解.
正解:
移项,得
3x-7x<
1+6,
即-4x<7,
所以x>
【例6】x2与a的和不是正数用不等式表示.
错解及分析:
x2+a<
0.对“不是正数”理解不清.x2与a的和是0或负数.
x2+a≤0.
【例7】求不等式
的非负整数解.
整理得,3x≤16,所以
故其非负整数解是1,2,3,4,5.
本例的解题过程没有错误,错在对“非负整数”的理解.
整理得,3x≤16,所以
故其非负整数解是0,1,2,3,4,5.
【例8】解不等式3-5(
x-2)-4(-1+5x)<
0.
去括号,得3-x-2-4+5x<
0,即4x<
3,所以
本题一是去括号后各项没有改变符号;
二是一个数乘以一个多项式时应该把这个数和多项式的每一项相乘.
去括号得3-x+10+4-20x<
0,
即-21x<
-17,所以
【例9】解不等式7x-6<
4x-9.
移项,得
7x+4x<
-9-6,
即11x<
-15,所以
一元一次不等式中移项和一元一次方程中的移项一样,都要改变符号.
移项,得7x-4x<
-9+6,
即3x<
-3,所以x<
-1.
【例10】解不等式
去分母,得
3+2(2-3x)≤5(1+x).
即11x≥2,所以
错误的原因是在去分母时漏乘了不含分母的一项“3”.
30+2(2-3x)≤5(1+x).
即11x≥29,所以
【例11】解不等式6x-6≤1+7x.
移项,得6x-7x≤1+6.
即-x≤7,所以x<
-7.
将不等式-x≤7的系数化为1时,不等式两边同除以-1,不等号没有改变方向,因此造成了错解.
移项,得6x-7x<
1+6.
即-x≤7,所以x≥-7.
【例12】解关于x的不等式m(x-2)>
x-2.
化简,得(m-1)x>
2(m-1),所以x>
2.
错解默认为m-1>
0,实际上m-1还可能小于或等于0.
2(m-1),
①当m-1>
0时,x>
2;
②当m-1<
0时,x<
③当m-1=0时,无解.
【例13】解不等式(a-1)x>3.
错解:
系数化为1,得x>
.
此题的未知数系数含有字母,不能直接在不等式两边同时除以这个系数,应该分类讨论.
①当a-1>0时,x>
;
②当a=1时,0×
x>3,不等式无解;
③当a-1<0时,x<
【例14】不等式组
的解集为
.
两个不等式相加,得x-1<0,所以x<1.
这是解法上的错误,它把解不等式组与解一次方程组的方法混为一谈,不等式组的解法是分别求出不等式组中各个不等式的解集,然后在数轴上表示出来,求得的公共部分就是不等式组的解集,而不能用解方程组的方法来求解
解不等式组,得
在同一条数轴上表示出它们的解集,如图,
所以不等式组的解集为:
0<x<
【例15】解不等式组
因为5x-3>4x+2,且4x+2>3x-2,
所以5x-3>3x-2.
移项,得5x-3x>-2+3.
解得x>
上面的解法套用了解方程组的方法,是否正确,我们可以在x>
的条件下,任取一个x的值,看是否满足不等式组.如取x=1,将它代入5x-3>4x+2,得2>6(不成立).可知x>
不是原方程组的解集,其造成错误的原因是由原不等式组变形为一个新的不等式时,改变了不等式的解集.
由5x-3>4x+2,得x>5.
由4x+2>3x-2,得x>-4.
综合x>5和x>-4,得原不等式组的解集为x>5.
【例16】解不等式组
由不等式2x+3<
7可得x<
由不等式5x-6>
9可得x>
所以原不等式组的解集为2>
x>
由不等式性质可得,2>
3,这是不可能的.
所以原不等式组无解.
【例17】解不等式
去分母,得3-4x-1>9x.移项,得-4x-9x>1-3合并,得-13x>-2系数化为1,得
本题忽视了分数线的双重作用,去分母时,若分子为多项式,应对其加上括号.
去分母,得3-(4x-1)>9x去括号,得3-4x+1>9x.移项,得-4x-9x>-1-3合并,得-13x>-4系数化为1,得
【例18】若不等式组
的解集为x>
2,则a的取值范围是(
).
A.a<
2
B.a≤2
C.a>
D.a≥2
原不等式组可分为
得a<
2,故选A.
当a=2时,原不等式组变为
解集也为x>
应为a≤2,故选B.
【例19】解不等式组
②-①,得不等式组的解集为x<
-13.
错解中把方程组的解法套用到不等式组中.
由不等式2x<
7+x得到x<
7.
由不等式3x<
x-6得到x<
所以原不等式组的解集为x<
第四节、思维点拨
一、巧用乘法
【例1】解不等式0.125x<3.
【思考与分析】此不等式是一元一次不等式的一般形式,只需不等式两边同时除以0.125,就可以化系数为“1”,但是较繁.不如利用不等式的性质2两边同乘以8要比两边同除以0.125解得简捷.
解:
两边同乘以8,得x<24.
二、巧去分母
【思考与分析】常规方法是先去分母,但仔细观察就会发现
,可先进行移项.
解:
合并同类项,得x≥-1.
【例3】解不等式
【思考与分析】常规方法是去分母,两边同乘以分母的最小公倍数.但我们会注意到“0.25×
4=1,0.5×
2=1”,则利用分数的性质,对左边第一项分子、分母同乘以4,第二项分子、分母同乘以2,这样就可以化去分母并且系数为整数.
利用分数的性质(即左边第一项分子、分母同乘以4,第二项分子、分母同乘以2),得8x+4-2(x-2)≤2,
去括号,得8x+4-2x+4≤2,
移项,合并同类项,得
6x≤-6两边同时除以6得
x≤-1.
三、根据已知条件取特殊值
【例4】设a、b是不相等的任意正数,又x=
,则x、y这两个数一定是(
)
A.都不大于2
B.都不小于2
C.至少有一个大于2
D.至少有一个小于2
【思考与分析】不妨取a=1,b=3,得x=10,y=
从而排除A、B,再取a=3,b=4,得
,从而排除D,故选C.
答案:
C.
【反思】用特殊值法解选择题时,如果所取的特殊值使部分选项取得相同的结果,则应另选特殊值再验,直至选出答案.
四、根据数轴取特殊值
【例5】不等式组
的解集在数轴上表示出来是如下图中的(
【思考与分析】本题的常规方法是先解不等式组,然后再对照各选项选出正确答案,由于这样做要解不等式组,比较麻烦.仔细观察各选项中的数轴,有两个特殊数2,-1,不妨先取x=2,代入
不成立,故可排除A、B.再取x=0,代入
不成立,又可排除C,从而选D,这样做不仅节省了时间,而且又减少了出错的机会﹒
D.
【反思】用特殊值法解选择题时,要综合运用验证法,排除法等技巧,快速选出正确答案﹒
比较两个数或两个代数式的大小,可以运用求差法:
如果a-b>
0,则a>
b;
如果a-b<
0,则a<
b.
运用求差法比较大小的一般步骤是:
(1)作差;
(2)判断差的符号;
(3)确定大小.
【例6】设x>
y,试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小,如果较大的代数式为正数,则其中最小的正整数x或y的值是多少?
【思考与分析】根据求差法的步骤我们先求出两个式子的差,然后再根据已知条件x>
y,来判断这个差的符号,从而比较两个代数式的大小.
由两式作差得-(8-10x)-[-(8-10y)]=-8+10x+8-10y=10x-10y.
因为x>
y,所以10x>
10y,即10x-10y>
所以-(8-10x)>
-(8-10y).
又由题意得-(8-10x)>
0,即x>
,所以x最小的正整数值为1.
【例7】有一个三口之家准备在假期出外旅行,咨询时了解到东方旅行社规定:
若父母各买一张全票则孩子可以按全票的七折购票;
而光明旅行社则规定:
三人均可按团体票计价,即按全票的80%收费.若两家旅行社的票价相同,则实际哪家收费较低呢?
【思考与分析】要比较哪家旅行社的收费低,我们可以先用含有未知数的式子表示出两家旅行社需要的费用,然后根据求差法的步骤,求出两个式子的差,再根据已知条件判断这个差的符号即可比较出哪个旅行社的费用低.
设这两家旅行社全票的价格为a元,依题意
东方旅行社的收费为2a+70%a=2.7a,
光明旅行社的收费为3a×
80%=2.4a.
因为2.7a-2.4a=0.3a>
所以实际上光明旅行社的收费较低.
【反思】在解题时我们为什么设这两家旅行社全票的价格为a元呢?
因为如果不设的话,我们即使知道用求差法比较大小,也无从下手.
五、巧去括号
【例8】
【思考与分析】观察题目中的括号及数字的特点可先考虑去中括号,再去小括号,这样会使运算简便.
去中括号,得
去分母,得3x+60<28+8x,移项,合并同类项,得-5x<-32,
【思考与分析】观察题目中的括号及数字的特点可从里向外去小括号,给后面的运算带来方便.
解:
去小括号,得
六、巧用“整体思想”
【例9】解不等式:
【思考与分析】观察题目中括号内外可知都有相同的项:
2x-1,我们把2x-1视为整体,再去中括号和分母,则可使运算简捷.
3(2x-1)-9(2x-1)-9<5.
合并同类项得
-6×
(2x-1)<14.
解得
反思:
我们在解带有括号的一元一次不等式时,我们要善于观察题目的特点,巧去括号可使运算简便.
【例10】在欧洲足球锦标赛中,共有16支队伍参加比赛,争夺象征欧洲足球最高荣誉的“德劳内杯”.16支队伍被分成4个小组,进行单循环赛(即每个队需同其他三个队各赛一场),胜一场积3分,平一场积1分,负一场积0分,每组按照积分的前两名出线进入前八强,每个队在小组赛中需积多少分,才能确保出线?
【思考与分析】根据题意,只有小组赛中的积分的前两名才能出线,我们可以分几种情况来讨论出线积分的多少.
(1)若某一队三战全胜积9分,则同组的另一小队需保证小组第二才有出线的希望,在剩下的两场比赛中,它有六种可能:
两场全胜积6分,一胜一平积4分,一胜一负积3分,两平积2分,一平一负积1分,两负积0分.(三场比赛,肯定有一场负)因此,在这种情况中,至少积6分才能确保出线;
(2)若某一队三战两胜一平积7分,则小组第二至少要两胜积6分才能出线;
(3)若某一队三战两胜一负积6分,则其他两个队也可能三战两胜一负积6分,这样三队同积6分,不能确保小组出线.
由以上思考讨论可知,在小组赛中,积分可能出现三个队积分相同,为了确保出线,至少需积7分,才能保证以小组第二的身份出线.
需7分.
【小结】通过解题过程我们知道做这类题的时候要注意:
在足球比赛中,一般按积分多少排名次;
积分相等的两队,净胜球数多的队名次在前;
积分、净胜球数都相等的球队,进球数多的队名次在前;
分析有关足球比赛的问题时,不能单纯的利用不等关系判断,还要注意到相互之间的胜负关系.
第五节、竞赛数学
【例1】满足
的x的值中,绝对值不超过11的那些整数之和等于
【思考与分析】要求出那些整数之和,必须求出不等式的绝对值不超过11的整数解,因此我们应该先解不等式.
原不等式去分母,得
3(2+x)≥2(2x-1),
去括号,移项,合并同类项,得
-x≥-8,即x≤8.
满足x≤8且绝对值不超过11的整数有0,±
1,±
2,±
3,±
4,±
5,±
6,±
7,±
8,-9,-10,-11.
这些整数的和为(-9)+(-10)+(-11)=-30.
【例2】如果关于x的一元一次方程3(x+4)=2a+5的解大于关于x的方程
的解,那么(
【思考与分析】这道题把方程问题转化为解不等式问题,利用了转化的数学思想.由于第一个方程的解大于第二个方程的解,只要先分别解出关于x的两个方程的解(两个解都是关于a的式子),再令第一个方程的解大于第二个方程的解,就可以求出问题的答案.
关于x的方程3(x+4)=2a+5的解为
关于x的方程
的解为
由题意得
,解得
.因此选D.
【例3】如果
,2+c>
2,那么(
A.a-c>
a+c
B.c-a>
c+a
C.ac>
-ac
D.3a>
2a
【思考与分析】已知两个不等式分别是关于a和c的不等式,求得它们的解集后,便可以找到正确的答案.
解:
由
所以a<
由2+c>
2,得c>
0,则有-c<
c.
两边都加上a,得a-c<
a+c,排除A;
由a<
0,c>
0,得ac<
0,-ac>
0,从而ac<
-ac,排除C;
0,两边都加上2a,得3a<
2a,排除D.
答案应该选B,事实上,由a<
0,得-a>
0,从而-a>
a,两边同时加上c,可得c-a>
c+a.
【例4】四个连续整数的和为S,S满足不等式
,这四个数中最大数与最小数的平方差等于
【思考与分析】由于四个数是连续整数,我们欲求最大值与最小值,故只须知四数之一就行了,由它们的和满足的不等式就可以求出.
设四个连续整数为m-1,m,m+1,m+2,它们的和为S=4m+2.
<
解得7<
m<
由于m为整数,所以m=8,则四个连续整数为7,8,9,10,因此最大数与最小数的平方的差为102-72=51.
从数轴上看,一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离.但除零以外,绝对值都是表示两个数的绝对值,即一个数与它相反数的绝对值是一样的.由于这个性质,含有绝对值号的不等式的求解过程出现了一些新特点.
一个实数a的绝对值记作∣a∣,指的是由a所惟一确定的非负实数:
含绝对值的不等式的性质:
(1)∣a∣≥∣b∣
b≤|a|或b≥-|a|,
∣a∣≤∣b∣
∣b∣≤a≤∣b∣;
(2)∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣≤∣∣a∣+∣b∣;
(3)∣a∣-∣b∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.
由于绝对值的定义,含有绝对值号的代数式无法进行统一的代数运算.通常的手法是按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况,去掉绝对值符号,转化为不含绝对值号的代数式进行运算,即含有绝对值号的不等式的求解,常用分类讨论法.在进行分类讨论时,要注意所划分的类别之间应该不重、不漏.下面结合例题予以分析.
【例5】解不等式|x-5|-|2x+3|<1.
【分析】关键是去掉绝对值符号前后的变号.分三个区间讨论:
(1)当当x≤
时,原不等式化为-(x-5)-[-(2x+3)]<1,
解得x<
-7,结合x≤
,故x<
-7是原不等式的解;
(2)当
<x≤5时,原不等式化为
-(x-5)-(2x+3)<1,
是原不等式的解;
(3)当x>5时,原不等式化为:
x-5-(2x+3)<1,
解得x>-9,结合x>5,故x>5是原不等式的解.
综合
(1),
(2),(3)可知,
是原不等式的解.
第六节、本章训练
基础训练题
1.不等式x+3<6的非负整数解为(
A.1,2
B.1,2,3
C.1,2,0
D.1,2,3,0
2.已知三个连续奇数的和不超过27且大于10,这样的数组共有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.
的值不小于-2,则a的取值范围是(
4.若
+2x的值不大于8-
的值,那么x的正整数解是
5.小明准备用26元钱买火腿肠和方便面,已知一根火腿肠2元,一盒方便面3元,他买了5盒方便面,还可以买多少根火腿肠?
6.小华用最小刻度是1厘米的刻度尺,测量一本书的长,测得结果是17.5厘米,这0.5厘米是他估计的,并不准确,若设他所测量的书的长为x厘米,那么x应该满足的不等式是什么?
答案
1.C
2.B
3.C
4.1,2,3
5.解:
设还可以买x根火腿肠.
由题意我们可列不等式5×
3+2x≤26,
解得
因为x必须为正整数,所以x=1,2,3,4,5.
答:
小明还可以买火腿肠的数目不超过5根.
6.解:
17<x<18.
提高训练题
1.解不等式
2.李明在第一次数学测验中得76分,在第二次测验中得92分,设第三次测验的分数为x,且三次的平均分不低于85分,求x的取值范围.
3.小强去超市买某种牌子的衬衣,该种衬衣单价为每件100元,小强想买的衬衣数不少于5件,路上交通费为10元,小强准备钱时有以下几种选择:
准备400元,准备500元,准备510元,准备610元.请你说明哪种方案可行?
4.某商城以单价260元购进一批DVD机,出售时标价398元,由于销售不好,商场准备降价出售,但要保证利润不低于10%.
小明说:
“可降价100元.
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- 七年 级数 不等式