小升初数学专题复习训练拓展与提高几何图形1知识点总结+同步测试通用版Word文件下载.docx
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有些图形通过将线段平移或翻转,可转化成标准的长方形、正方形,从而便于计算他们的周长.对于这些图形,这是一个巧方法.
巧算周长.
把各不规则部分的横线段和竖线段进行平移,可得到所求周长恰好是边长为5米,4米的长方形的周长.
仔细观察可看出,左上方的阶梯的水平方向的线段向上平移,垂直方向的线段向右平移.则平移后,正好围成一个长5米,宽4米的长方形,
所以周长是:
(4+5)×
2=9×
=18(米).
这个图形的周长是18米.
此题主要考查学生对矩形两组对边对应相等的性质的掌握情况,做这类题时还需注意利用平移的思想.
例2:
如图,一个大长方形被分为
(1)、
(2)、(3)三个部分,其中图形
(2)是一个正方形,列式计算图形(3)比图形
(1)的周长多多少?
(单位:
厘米)
观察图形可知,图形(3)的周长是9的2倍,图形
(1)的周长是5的2倍,先分别求出图形(3)与图形
(1)的周长,再相减即可求解.
9×
2-5×
2
=18-10
=8(厘米).
图形(3)比图形
(1)的周长多8厘米.
考查了巧算周长,解题的关键是得到图形(3)长与宽的和,图形
(1)长与宽的和.
四.图形的拆拼(切拼)
1.图形拆拼的内容:
如果是拆拼图形,要抓住“拆、拼前后图形的面积相等”这个关键,根据已知条件和图形的特点,通过分析推理和必要的计算,确定拆拼的方法.
2.解决的关键点:
把一个几何图形剪成几块形状相同的图形,或是把一个几何图形剪开后拼成另一种满足某种条件的图形,完成这样的图形剪拼,需要考虑图形剪开后各部分的形状、大小以及它们之间的位置关系.
请将下面等边三角形按要求分割成若干个形状和大小都一样的三角形
(1)分成2个
(2)分成3个
(3)分成4个
(4)分成6个
(1)在三角形ABC中,找出BC边的中点,连结AD,就分成了2个一样的三角形;
(2)在三角形ABC中,找出BC边的中点,连结AD,再找出AD的中点O,连结OA、OB、OC,则三角形AOB、AOC、BOC即为所求;
(3)找出三角形ABC各边中点F、G、E,连结FE、FG、GE即可;
(4)找出三角形ABC各边中点F、D、E,连结AD、BF、CE即可.
如图所示:
此题解答的关键在于找出三角形ABC边的中点,进而解决问题.
五.等积变形(位移、割补)
等积变形的主要方法是:
1.三角形内等底等高的三角形
2.平行线内等底等高的三角形
3.公共部分的传递性
4.极值原理(变与不变)
求如图的体积.(π取3.14)
此题上面是斜面,可以把一个和它完全一样的图形拼成一个高是20+15=35厘米,底面直径是4厘米的圆柱体,所以此图的体积是圆柱体积的
;
利用圆柱体的体积公式计算出体积即可.
3.14×
(4÷
2)2×
(15+20)×
,
=3.14×
4×
35×
=219.8;
体积是219.8;
219.8.
此题主要根据圆柱体的体积公式解决问题,解题的关键是把两个完全一样的图形拼成一个圆柱体,此图的体积是圆柱体积的
.
一块长方形草坪,长20米,宽14米,中间有一条宽2米的曲折小路.求小路的占地面积?
无论这曲折小路如何再曲折,都可以将曲折小路分成两类,一类是竖的,一类是横的,可以把竖的往左拼,横的往上拼,如下图则小路面积不难算出,竖的部分14×
2,横的部分20×
2,计算重叠2×
2,则小路面积为(20+14)×
2-2×
2=64(平方米).
小路面积为:
(20+14)×
2=64(平方米),
小路的占地面积64平方米.
利用等积变形、平移知识把曲折的小路拉直,就变成规则的图形包括三部分竖的长方形,横的长方形和重叠的小正方形,进而解答.
同步测试
一.选择题(共10小题)
1.数一数,图中共有( )条线段.
A.1B.2C.3
2.把一张平行四边形卡片剪一刀分成两个图形,下面几种情况中不可能出现的是( )
A.两个三角形
B.两个平行四边形
C.两个梯形
D.一个平行四边形与一个梯形
3.如图中,甲、乙两部分的周长相比( )
A.一样长B.甲图长C.乙图长D.无法判断
4.三
(1)班举行跑步比赛,男生跑操场A区的周长,女生跑B区的周长.你觉得公平吗?
( )
A.不公平B.公平C.无法判断
5.如图中,一共有线段( )条.
A.5B.7C.8D.9
6.如图,一个正方形被分成甲和乙两部分,两部分的周长相比,甲的周长( )乙的周长.
A.大于B.等于C.小于
7.一只小蚂蚁沿着甲、乙两图分别行走一周(如图),它行走的路线( )
A.一样长B.甲长C.乙长D.不确定
8.有一些长3厘米,宽1厘米的长方形纸片,至少需要( )张这样的纸片才能拼成一个正方形.
A.3B.4C.5D.6
9.一个圆柱形橡皮泥,底面积是12.56cm2,高是6cm,如果把它捏成同样底面积大小的圆锥,这个圆锥的高是( )cm.
A.2B.3C.18D.36
10.如图,长方形的面积与圆的面积相等,已知阴影部分的面积是84.78cm2,圆的周长是( )cm.
A.18.84B.75.36C.37.68
二.填空题(共10小题)
11.小明把一个边长是5厘米的正方形框架,拉成了一个高是3厘米的平行四边形框架.这个平行四边形的周长是 厘米,面积是 平方厘米.
12.如图中,甲部分的周长 乙部分的周长.(填“大于”“小于”或“等于”)
13.
这个图形是由 个
组成,
组成.
14.如图所示:
两条直线相交最多有1个交点,三条直线相交最多有3个交点,那么6条直线相交最多有 个交点,20条直线相交最多有 个交点.
15.一个平行四边形可以剪成两个相同的 ,也可以剪成两个相同的 ,也可以剪成两个相同的 .
16.有一块长4.5米、宽1.4米的长方形红布,大队辅导员李老师准备用这块红布剪直角边分别是7分米、4分米的直角三角形小红旗,最多可以剪 面.
17.如图所示是一个被切割了的长方形,它的周长是 厘米.
18.一个平行四边形的一条边是25厘米,它的邻边和它相差4厘米,这个平行四边形的周长是 厘米.
19.有一种饮料瓶的容积是50立方厘米,瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈).现在瓶中装有一些饮料,正放时饮料高度为20厘米,倒放时空余部分的高度为5厘米.瓶内现有饮料 立方厘米.
20.如图,外侧大正方形的边长是10厘米,图中阴影部分的面积是27.5平方厘米,那么圆内的大正方形面积是小正方形面积的 倍.
三.判断题(共5小题)
21.图中,共有3个角,其中有1个钝角. (判断对错)
22.如图的周长是60厘米. (判断对错)
23.甲、乙两只蚂蚁分别沿着边长为2cm正方形和直径为2cm的圆走一圈,它们的速度一样,甲先爬行完一圈. (判断对错)
24.如图梯形中两个阴影的三角形面积一定相等. (判断对错)
25.用一张长方形的纸只能剪一个正方形. (判断对错)
四.应用题(共5小题)
26.一只蚂蚁要从A点爬到B点,有两条路线(如图),请你帮它算一算走哪条路近一些?
27.小蚂蚁从A点出发,沿着这个图形的边爬行,它要爬多少厘米才能回到起点?
28.如图,一瓶营养液的瓶底直径是12厘米,瓶高30厘米,液面高20厘米,倒置后,液面高25厘米.这个瓶子的容积是多少?
29.今有长度分别为1,2,…,9的线段各一条,现从中选出若干条线段组成“线段组”由这一组线段恰好可以拼成一个正方形,请通过分析说明这样的“线段组”的组数总共有多少?
30.如图,将一条长为60cm的卷尺铺平后折叠,使得卷尺自身的一部分重合,然后在重合部分(阴影处)沿与卷尺边垂直的方向剪一刀,此时卷尺分为了三段,若这三段长度由短到长的比为1:
2:
3.试计算折痕对应的刻度有哪些?
参考答案与试题解析
1.【分析】根据线段的定义结合图形一个点一个点的数即可得出答案.
根据线段的定义可得:
图中的线段有:
2+1=3(条).
故选:
C.
【点评】本题考查组合图形中线段的计数的知识,注意在查找时从左至右,避免遗漏和重复.
2.【分析】把一个平行四边形剪一刀可能出现如下情况:
①
一个三角形和一个梯形;
②
两个三角形;
③
两个平行四边形;
④
两个梯形
在一张平行四边形纸片上剪一刀可能变成:
①一个三角形和一个梯形;
②两个三角形;
③两个平行四边形;
④两个梯形.
不可能出现一个梯形和一个平行四边形.
D.
【点评】本题考查把一个平行四边形分成两部分可能出现的情况,可以在练习本上画一画可出可能的情况,进而求解.
3.【分析】观察图形可知,甲和乙的周长都等于这个长方形的一条长与宽的和与中间的曲折线的长度之和,所以可得,这两个图形的周长一样长,据此即可选择.
甲和乙的周长都等于这个长方形的一条长与宽的和与中间的曲折线的长度之和,
所以可得,这两个图形的周长一样长,
A.
【点评】此题主要考查了周长的定义及长方形的特征,注意中间的虽然是曲线,但计算周长时也要算入.
4.【分析】本题考查不规则图形周长的认识.A区的周长包含长方形的一条长、一条宽和曲线的长度,B区的周长也包含长方形的一条长、一条宽和曲线的长度,所以A区和B区的周长相等,比赛是公平的.
A区的周长包含长方形的一条长、一条宽和曲线的长度,B区的周长也包含长方形的一条长,一条宽和曲线的长度,所以A区和B区的周长相等,比赛是公平的.
B.
【点评】解决此题的关键是认真观察,根据长方形对边相等的特点和不规则曲线共用得出跑步比赛的两路程相等.
5.【分析】根据线段上的端点为n,那么共有线段的条数为:
1+2+3+…+(n﹣1)或n×
(n﹣1)÷
2;
据此解答即可.
(3+2+1)+(2+1)
=6+3
=9(条)
一共有线段9条.
【点评】此题考查了线段的计数.注意:
如上图形中,共有n个端点,则共有1+2+3+…+(n﹣1)条线段.
6.【分析】周长是围成图形的所有线段的长度和,由图意可知:
围成甲和乙的分别是正方形的两个边长和公共曲线段,则它们的周长相等.
因为围成甲和乙的分别是正方形的两个边长和公共曲线段,
则它们的周长相等.
【点评】解答此题的主要依据是:
平面图形周长的概念.
7.【分析】观察图形可知,把图形甲的右上方小线段分别向上、向右平移,可得甲的周长等于长5、宽2的长方形的周长;
把图形乙的左边小线段分别向上、向左平移、把右上方的小线段分别向上、向右平移,则乙的周长也等于长5、宽2的长方形的周长;
所以小蚂蚁沿着甲、乙两图分别行走一周,它行走的路线都等于长5、宽2的长方形的周长,据此即可解答问题.
根据题干分析可得,一只小蚂蚁沿着甲、乙两图分别行走一周(如图),它行走的路线都等于长5、宽2的长方形的周长,即(5+2)×
2=14,
它行走的路线一样长.
【点评】此题主要考查了不规则图形的周长的计算方法,一般都是转换到规则图形中利用周长公式计算即可解答.
8.【分析】由题意知:
拼成的正方形的边长是3和1的最小公倍数3,即拼成的大正方形的边长最少是3厘米;
然后根据题意,分别求出长需要几个,宽需要几个,然后相乘即可.
3和1的最小公倍数为3,即正方形的边长是3厘米,
(3÷
3)×
1)
=1×
3
=3(个)
至少需要3个这样的长方形才能拼成一个正方形.
【点评】本题考查了学生根据最小公倍数来求拼组图形的知识.
9.【分析】根据题意可知,圆柱形橡皮泥捏成圆锥形后,体积不变,根据V=Sh,所以先求出橡皮泥的体积,然后根据h=V×
3÷
S就能求出圆锥的高.
12.56×
6×
12.56
=12.56÷
=6×
=18(厘米)
这个圆锥的高是18厘米.
【点评】此题主要考查圆柱的体积公式及圆锥体积公式的灵活应用.关键是理解等积变形.
10.【分析】求圆的周长,需要求出圆的半径;
由图形可知长方形的长相当于圆的周长的一半,宽相对于圆的半径;
因为已知圆的面积和长方形面积相等,又由已知阴影部分的面积是84.78cm2,可求长方形的面积,即可求出圆的半径,据此解答即可.
84.78÷
÷
3.14,
=113.04÷
=36(cm2);
6=36(cm2),
2=37.68(cm).
圆的周长是37.68cm.
【点评】此题变相的考查圆的面积的推导过程,解答此题的关键是得出阴影部分面积是圆面积的
.
11.【分析】由题意可知:
将正方形拉成平行四边形后,边长不变,周长就不变,高3厘米、底边是5厘米,于是利用平行四边形的面积S=ah即可求解.
5×
4=20(厘米)
3×
5=15(平方厘米)
这个平行四边形的周长是20厘米,面积是15平方厘米.
20,15.
【点评】此题主要考查平行四边形的周长和面积的计算方法,知道将正方形拉成平行四边形后,边长不变,周长就不变,是解答本题的关键.
12.【分析】由图意可知:
甲的周长=长方形的长+宽+公共曲线边长,乙的周长=长方形的长+宽+公共曲线边长,所以甲的周长=乙的周长;
据此解答.
因为甲的周长=长方形的长+宽+公共曲线边长,
乙的周长=长方形的长+宽+公共曲线边长,
所以甲的周长=乙的周长.
等于.
【点评】解决此题的关键是明白,曲线部分是二者的公共边长,从而轻松求解.
13.【分析】
(1)上层两1个正方体下面还盖住了下层1个正方体,这样下层是3个,上层1个,计4个;
(2)从右侧面观察:
最上层有1个长方体,中间层有2个长方体,最下层有2个长方体,把它们相加即可求解.
(1)1+3=4(个)
这个图形是由4个
(2)1+2+2=5(个)
这个图形是由5个
4,5.
【点评】关键要发挥空间想象力,弄清看不见的有几个正方体.
14.【分析】根据题意,结合图形,发现:
3条直线相交最多有3个交点,4条直线相交最多有6个交点,5条直线相交最多有10个交点.而3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,故可猜想,n条直线相交,最多有1+2+3+…+(n﹣1)=
n(n﹣1)个交点;
6条直线相交最多有:
(6﹣1)÷
2=30÷
2=15个交点,
20条直线相交最多有:
20×
(20﹣1)÷
2=380÷
2=190个交点,
15,190.
【点评】此题在相交线的基础上,着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力,掌握从特殊向一般猜想的方法.
15.【分析】根据平行四边形的性质可得:
连接平行四边形的一条对角线,可以把平行四边形分成两个完全相同的三角形,连接平行四边形的一组对边的中点,可以平行四边形分成2个完全相同的平行四边形;
因平行四边形的对边相等,只要在平行四边形的一条边上,从一个顶点量出一条线段,再在它的对边和它相对的顶点的另一个顶点量出同长的线段,然后边接这两个点可以把平行四边形分成两个完全相同的梯形,据此即可填空.
一个平行四边形可以剪成两个相同的三角形,也可以剪成两个相同的平行四边形,也可以剪成两个相同的梯形.
三角形;
平行四边形;
梯形.
【点评】本题考查了两个完全一样的三角形或平行四边形或梯形可以拼成一个平行四边形知识的掌握情况.
16.【分析】两条直角边分别是7分米和4分米的三角形,可以看成是一个长是7分米,宽是4分米的长方形,求出大长方形红布的长里面有几个小长方形的长,宽里面有几个小长方形的宽,然后相乘,即可得出大长方形可以做成多少个小长方形,再乘上2就是可以做成的三角形小红旗的数量.
4.5米=45分米
1.4米=14分米
45÷
4≈11(个)
14÷
7=2(个)
11×
2×
=22×
=44(面)
最多可以剪44面.
44.
【点评】此题考查了图形的拆拼,重点是把做三角形小旗,看做做出的是2个三角形拼成的长方形,因此锻炼了学生的空间想象力和抽象思维能力.
17.【分析】根据图示,该图形可以通过平移转化为长10厘米,宽5厘米的长方形,利用长方形周长公式:
C=2(a+b),计算即可.
(10+5)×
=15×
=30(厘米)
它的周长是30厘米.
30.
【点评】此题主要考查学生对矩形两组对边对应相等的性质的掌握情况,做这类题时还需注意利用平移的思想.
18.(北京市第一实验小学学业考)
【分析】题意可知:
一个平行四边形的一条边是25厘米,它的邻边和它相差4厘米,与25厘米的边的邻边的长度有两种情况:
①是比它的邻边少4厘米,即25﹣4=21厘米;
②比它的邻边多4厘米,即25+4=29厘米;
于是借用长方形的周长公式C=(a+b)×
2,代入数据即可求解.
①25﹣4=21(厘米)
(25+21)×
=46×
=22(厘米)
②25+4=29(厘米)
(25+29)×
=54×
=108(厘米)
这个平行四边形的周长是92厘米或108厘米.
92或108.
【点评】此题主要考查平行四边形的周长的计算方法,关键是求出25厘米的边的邻边的长度.
19.【分析】由图形可得,左图中20厘米高的饮料以上至瓶口部分的容积相当于右图中上面5厘米高的那部分的容积,所以饮料瓶中饮料的体积占饮料瓶容积的20÷
(20+5)=
,再根据一个数乘分数的意义,用乘法列式解答即可.
50×
[20÷
(20+5)]
=50×
=40(立方厘米)
40立方厘米.
【点评】解答此题关键是理解:
左图中20厘米高的饮料以上至瓶口部分的容积相当于右图中上面5厘米高的那部分的容积,进而求出瓶中的饮料的体积占瓶子容积的几分之几.
20.(北京市第一实验小学学业考)
【分析】把序号1的阴影面积移到2,3的移到4,5的移到6,可知总阴影部分的面积=大正方形的面积四分之一+圆内小正方形的面积四分之一,然后求出大正方形的面积四分之一,再用总阴影部分的面积﹣大正方形的面积四分之一=圆内小正方形的面积四分之一,进而求出圆内小正方形的面积;
再求出圆内大正方形的面积,最后求出圆内的大正方形面积是小正方形面积的几倍.
由分析可知:
总阴影部分的面积=大正方形的面积四分之一+圆内小正方形的面积四分之一=27.5(平方厘米),
大正方形的面积四分之一:
10×
=25(平方厘米),
所以圆内小正方形的面积四分之一:
27.5﹣25=2.5(平方厘米),
则圆内小正方形的面积=2.5×
4=10(平方厘米),
圆内大正方形的面积:
(10÷
2)×
2)÷
4
=5×
=50(平方厘米),
圆内的大正方形面积是小正方形面积的:
50÷
10=5(倍);
5.
【点评】解答此题认真观察图形之间的关系,将图形重组,发现总阴影部分的面积=大正方形的面积四分之一+圆内小正方形的面积四分之一是解题的关键.
21.【分析】观察图形可知,图中单个角是3个,两个小角组成的角是2个,三个小角组成的角是1个,据此加起来一共有6个角,而原题说共有3个角是错误的,据此即可判断.
根据题干分析可得,图中角一共有:
3+2+1=6(个),
所以原题说法是错误的.
×
【点评】此题主要考查了图形的计数,要注意分别计数,做到不重不漏.
22.【分析】根据题意,将图形的曲折部分向对面平移,可以看出,图形的周长等于长20厘米、宽10厘米的长方形的周长,据此计算再判断.
图形的周长:
(20+10)×
=30×
=60(厘米)
题干说法正确.
【点评】解决本题的关键是找出求该图形周长的方法.
23.【分析】根据正方形的周长公式C=4a和圆的周长公式C=πd,分别求出正方形和圆的周长,再比较即可得出答案.
4=8(厘米)
2=6.28(厘米)
8>6.28
所以乙先爬完一圈,原题说法错误.
【点评】本题是利用圆和正方形的周长公式解决问题.
24.【分析】由图可知,两个阴影三角形分别加上顶部的空白三角形后组成两个新的三角形,由于这两个新三角形是等底等高的,面积相等,所以两个阴影三角形的面积是相等的.
把各顶点加上字母如下图:
由于△ABD和△ADC是等底等高的,所以S△ABD=S△ADC,
又由于S△ABD=S△ABO+S△AOD,S△ADC=S△DCO+S△AOD,
所以S△ABO=S△DCO;
正确.
【点评
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