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t=\s时,v=4R『=8m/s
at=dvIdt=8/?
r=16/?
z/s2
=35.8m/s2
5、一敞顶电梯以恒定速率p=10m/s上升.当电梯离地面h=10m时,一小孩竖直向上
抛出一-球.球相对于电梯初速率%=20m/s.试问:
(1)从地面算起,球能达到的最大高度为多大?
(2)抛出后经过多长时间再回到电梯上?
(1)球相对地面的初速度
h=——=45.9m/s2g
H=(45.9+10)m=55.9m
抛出后上升高度
V=V{}+V=30m/s
离地面高度H=(45.9+
⑵球回到电梯上时电梯上升高度=球上升高度
g
6、在离水面高h米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,船在离岸S处,如图所示.当人以%(m・广'
)的速率收绳时,试求船运动的速度和加速度的大小.
将上式对时间F求导,得
题1-4图
设人到船之间绳的长度为/,此时绳与水面成。
角,山图可知
drdr
根据速度的定义,并注意到/,s是随/减少的,
d/ds
・・匾―石=%咖―石
——==—v0=
dt5drscos。
将u船再对'
求导,即得船的加速度
d/_ch
小船_$山dr„住+'
船
H=克vo=3
教师评语
教师签字
第二章运动与力
1、-•人在平地上拉一个质量为M的木箱匀速前进,如图.木箱与地面间的摩擦系数〃=0.6.设此人前进时,肩上绳的支撑点距地面高度为/)=1.5m,不计箱高,问绳长/为多长时最省力?
设绳子与水平方向的夹角为0,贝isin0=h/l.木箱受力如图所示,匀速而进时,拉
力为F,有
Feos。
—f=0
Fsin
^+N-Mg=Qf=PN
F=E2分
cos。
+〃sin。
dF/zMg(—sin。
+//cos。
)八
d。
(cos9+#sin9)2
tg0=#=0.6,。
=30。
57'
36"
N
d2F
>
/=h/sin。
=2.92m时,最省力.
2、一质量为60kg的人,站在质量为30kg的底板上,用绳和滑轮连接如图.设滑轮、绳的质量及轴处的摩擦可以忽略不计,绳子不可伸长.欲使人和底板能以lm/s?
的加速度上升,人对绳子的拉力4多大?
人对底板的压力多大?
(取g=10m/s2)
人受力如图
(1)
+N-m}g=mxa
底板受力如图
(2)
I}+一Nf-m2g=m2a2分
7\=%1分
N,=N
出以上四式可解得
4T?
一m}g一m2g=+m2)。
/.T2=(/n,+m2)(g+a)/4=247.5N1分
Ar=N=m】
(g+G)-4=412.5N1分
3、一条轻绳跨过一轻滑轮(滑轮与轴间摩擦可忽略),在绳的一端挂一质量为m的物体,在另一侧有一质量为m,的环,求当环相对于绳以恒定的加速度0沿绳向下滑动时,物体和环相对地面的加速度各是多少?
环与绳间的摩擦力多大?
因绳子质量不计,所以环受到的摩擦力在数值上等于绳子张力了.设m-M地面的加速度为a*取向上为正;
e相对地面的加速度为。
(即绳子的加速度),取向下为
正・1分
m}g-T=mxax2分
T-=m2a22分
a\—ax-2分
L1匕
解得《=例一gm”1分
m.+m勺
1X
(2g_“2)叫物2
I=
m,+m2
,_("
*-m2)g-mxa2a2—'
mx+
且忽略重力,求距转轴
dr
■ww
JOri
4、一条质量分布均匀的绳子,质量为M、长度为L,一端拴在竖直转轴。
0'
上,并以恒定角速度口在水平面上旋转.设转动过程中绳子始终伸宜•不打弯,为,处绳中的张力T(r).
取距转轴为厂处,长为dr的小段绳子,其质量为(M/L)dr.
(取元,画元的受力图)2分
山于绳子作圆周运动,所以小段绳子有径向加速度,山牛顿定律得:
T(r)-T(rdr)=(M/L)drrco
令T(r)~T(r+dr)=-dT(r)
得dT=—(Meo/L)rdr4分
由于绳子的末端是自山端T(L)=Q
0L
有jdr=-j(M^2/L)rdr
r(r)/•
・.・T(r)=Mco\l3-r2)/(2L)3分
第三章动量与角动量
1、如图,用传送带A输送煤粉,料斗口在A上方高h=0.5m处,煤粉自料斗口自山落在A上.设料斗口连续卸煤的流量为qm=40kg/s,A以i;
=2.0m/s的水平速度匀速向右移动.求装煤的过程中,煤粉对A的作用力的大小和方向.(不计相对传送带静止的煤粉质重)
煤粉自料斗口下落,接触传送带前具有竖直向下的速度
』=』2gh1分
设煤粉与A相互作用的攵时间内,落于传送带上的煤粉质量为
△"
2=qq1分
设A对煤粉的平均作用力为7,山动量定理写分量式:
Ar=A/nP-01分
fy△[=0-(一△/〃〃())1分
将△〃[=qm\t代入得fx=qniv,fy=q,“o
=149N2分
亍与x轴正向夹角为iz=arctg(A//J=57.4o1分
山牛顿第三定律煤粉对人的作用力f=/=149N,方向与图中了相反.2分
3()^^2、质量为lkg的物体,它与水平桌面I'
可的摩擦系数;
/=0.2.现对物体施以F=10t(SI)的力,(t表示时刻),力的方向保持一定,如图所示.如t二0时物体静止,则3s时它的速度大小u为多少?
山题给条件町知物体与果面间的正压力
物体要有加速度必须叩
物体开始运动后,所受冲量为
则此时物体的动量的大小为
速度的大小为
N=Z7sin30°
+mg
Feos30°
>
/jN
5(V3-心>
"
mg,t>
0.256s=r0
I=j(Fcos30°
-xW)dr
—3.83(广—/J)—1.96(f—1{))
t=3s,/=28.8Ns
mv=I
v=—=28.8m/sm
3、一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点/7=19.6m处炸裂成质量相等的两块.其中一块在爆炸后1秒钟落到爆炸点正下方的地面上.设此处与发射点的距离S】=1000m,问另一块落地点与发射地点间的距离是多少?
(空气阻力不计,g=9.8m/s2)
因第一块爆炸后落在其正下方的地面上,说明它的速度方向是沿竖直方向的.
利用h=v/+-gt,2,式中/'
为第一块在爆炸后落到地面的时间.可解得02
=14.7m/s,竖宜向下.取y轴正向向上,有”y=—14.7m/s
设炮弹到最高点时(为=0),经历的时间为t,则有
S\=Dxt
牌扣
山①、②得t=2s,vx=500m/s
以%表示爆炸后第二块的速度,则爆炸时的动量守恒关系如图所示.
1
5刀〃2)=mVx乙
11c
~^mv2y=mvy=0
解出v2x=2vx=1000m/s,v2y=-Viy=1^.7m/s
再由斜抛公式x2=Si+p2xt2
12
y2=h+V2yt2--gt2
乙
落地时处=0,可得
f2=4s,t2=—Is(舍去)
x2=5000m
cz>
4、质量为M=1.5kg的物体,用--根长为/=1.25m的细绳悬挂在天花板上.今有一质量为m=10g的子弹以疏=500m/s的水平速度射穿物体,刚穿出物体时子弹的速度大小〃=30m/s,设穿透时■间极短.求:
(1)子弹刚穿出时绳中张力的大小;
(2)子弹在穿透过程中所受的冲量.
(1)因穿透时间极短,故可认为物体未离开平衡位置.因此,作用于子弹、物体系统上的外力均在竖直方向,故系统在水平方向动量守恒.令子弹穿出时物体的水平速度为Z?
有mv0=mv+Mvf
v'
=m(v0-^)/A4=3.13m/s2分
T=Mg+Mt7/l=26.5N2分
(2)/At=mv-mvQ=-4.7N-s(设评方向为正方向)2分
负号表示冲最方向与评方向相反.2分
第四章功和能
1、一质量为万的质点在Oxy平面上运动,其位置矢最为
r=acoscoti+bsincotj(SI)
式中°
、b、口是正值常量,旦
(1)求质点在A点(。
,0)时和B点(0,b)时的动能;
⑵求质点所受的合外力F以及当质点从A点运动到B点的过程中F的分力R和亢分别作的功.
(1M立矢r=acoscoti+bsina)tj(SI)
可写为x=acoscot,y=bsincot
也―国cosedr
civ.vY=——=-aa)s\ncot,vv
xdr)
在人点(a,0),cos口,=1,sin^yr=0
sin<
yr=1
在8点(0,b),COSCDt=0,
■219I?
°
EKB=—mvr+—mvv=—mcTar
22)2
(2)F="
皿」+mayj=-maco~coscoti-mbco'
'
sin^rj
Wx=jFxdx=一jina)2acosa)tdx=-jma)2xdx-—ma~co72
Wy=jFvdy=-J/M692/?
sintyrdy=-{inco~yAy=~^mb~a)~
2、劲度系数为k的轻弹簧,-端固定,另一-端与桌面上的质量为m的小球8相连接.用外力推动小球,将弹簧压缩一•段距离L后放开.假定小球所受的滑动摩擦力大小为F旦恒定不变,滑动摩擦系数与静摩擦系数可视为相等.试求L必须满足什么条件时,才能使小球在放开后就开始运动,而旦一旦停止下来就一直保持静止状态.
取弹簧的自然长度处为坐标原点0,建立如图所示的坐标系.在E时,静止于x=—L的小球开始运动的条件是
kL>
F①2分
小球运动到x处静止的条件,山功能原理得
-F(L+x)=-kx2--kl?
②2分
22
_2FI
山②解出x=L
kI
使小球继续保持静止的条件为k\x\=kL-^<
F③2分
所求L应同时满足①、③式,故其范围为-<
L<
—2分
kk
3、一链条总长为/,质量为m,放在桌面上,并使其部分下垂,下垂一段的长度为。
.设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为令链条山静止开始运动,则
(1)到链条刚离开桌面的过程中,摩擦力对链条作了多少功?
(2)链条刚离开桌面时的速率是多少?
⑴建立如图坐标.
某一时刻桌而上全链条长为V,则摩擦力大小为y
f=jLimyg1分
摩擦力的功Wj=fdy=j°
//ygydy2分
二冬2%=迪52分
211a21
⑵以链条为对象,应用质点的动能定理^W=^mv2
其中Y,W=Wp+Wf,vo=O1分
“Tpmf竺域=〃‘"
_/)2分
」,[/21
由上问知印ng(lV
72/
所以虹里-*3)2=板
21212
得U=防[(/2一/)_网_。
)2*2分
4、-物体与斜血间的摩擦系数//=0.20,斜面固定,倾角a=45°
.现给予物体以初速率久二10m/s,使它沿斜面向上滑,如图所示.求:
物体能够上升的最大高度龙;
该物体达到最高点后,沿斜面返到原出发点时的速率u.
⑴根据功能原理,有fs=^mvl-m^h
2分
1分
]分
片-mgh
广uNhfcosa.1
js==〃〃gh=juingnctga-—m
sinasina2
h==4.5m
2g(l+〃ctg。
)
(2)根据功能原理有mgh-^mv~=fs
12,
—mv=mgn一"
mghctga
V=[2g/?
(l-#ctg。
)]%=8.16m/s
第五章刚体的转动
分分分分
2111
分
T=llmg/8
1、-•轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的均匀圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂着质量为万和2m的重物,如图所示.绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴光滑.两个定滑轮的
转动惯量均为~mr2.将山两个定滑轮以及质量为m和2m的重物组成的系统从静止.释放,2
求两滑轮之间绳内的张力.
受力分析如图所示.
2mg—l\=2ma
T2~mg=ma
T^r—Tr=—mr~/3
Tr—T2r=—mr^p
a=rfi
B
解上述5个联立方程得:
2、一轻绳绕过一定滑轮,滑轮轴光滑,滑轮的半径为R,质量为M/4,均匀分布在其边
缘上.绳子的A端有一质量为M的人抓住了绳端,而在绳的另一端8系了一质量为1/17的2
重物,如图.设人从静止开始相对于绳匀速向上爬时,绳与滑轮间无相对滑动,求8端重物
上升的加速度?
(已知滑轮对通过滑轮中心旦垂直于轮面的轴的转动惯量J=MR2/4)
设重物的对地加速度为。
,向上.则绳的人端对地有加速度。
向下,人相对于绳虽为匀速向上,但相对于地其加速度仍为。
向下.2分
根据牛顿第二定律可得:
对人:
Mg~T2=Ma①2分
对重物:
T1~-Mg=-Ma②2分
22-
根据转动定律,对滑轮有
分分分
211
ET2—TAR=J/3=MR2/3/A
因绳与滑轮无相对滑动,a=0R
①、②、③、④四式联立解得a=2g/7
222
m
3、-•质量为m的物体悬于一•条轻绳的一端,绳另一端绕在一轮轴的轴上,如图所示.轴水平旦垂直于轮轴面,其半径为「,整个装置架在光滑的固定轴承之上.当物体从静止释放后,在时间t内下降了一段距离5.试求整个轮轴的转动惯量(用m、「、t和5表示).
设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为了,则根据牛顿运动定律和转动定律得:
mg-T=ma
Tr=J/3
由运动学关系有:
。
=中
山①、②、③式解得:
J=m(g—a)r2/a④
又根据已知条件%=0
・.・S=-ar,a=2S/t2⑤2分将⑤式
代入④式得:
J=mF(竺一1)2分
2S
on
m},/
v\me
=UUA
机
■俯视图
4、有一质量为m】、长为/的均匀细棒,静止平放在滑动摩擦系数为g的水平桌面上,它可绕通过其端点。
且与臬面垂直的固定光滑轴转动.另有一水平运动的质量为m2的小滑块,从侧面垂宜于棒与棒的另一端4相碰撞,设碰撞时间极短.已知小滑块在碰撞前后的
速度分别为0和“2,如图所示.求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间.(己
知棒绕0点的转动惯量J=。
『)
31
对棒和滑块系统,在碰撞过程中,由于碰撞时间极短,所以棒所受的摩擦力矩<<滑块的冲力矩.故可认为合外力矩为零,因而系统的角动量守恒,即
m2v1l=—m2v2l+—mJco3
碰后棒在转动过程中所受的摩擦力矩为
C匕
^Mfdt=O-^m}l2(v
t=2m.——'
山角动昂:
定理
山①、②和③解得
3分
第六章狭义相对论基础
1、一体积为Vo,质量为的立方体沿其一棱的方向相对于观察者。
以速度u运动.求:
观察者A测得其密度是多少?
为
宽、高分别
设立方体的长、宽、高分别以X。
比,Zo表示,观察者A测得立方体的长、…土,),=北,z=z。
.
相应体积为
V
观察苫A测得立方体的质最
故相应密度为
2、在。
参考系中,有一个静止的正方形,其面积为
100cm2.观测者O'
以0.8c的匀
速度沿正方形的对角线运动.求0'
所测得的该图形的面积.
=—y[2a
令。
系中测得正方形边长为。
,沿对角线取x轴正方向(如图),则边长在坐标轴上投影的大小为
而积可表示为:
S=2a
=0.6X-42a
在以速度〃相对于。
系沿x正方向运动的0’系中
a\.=ax=—42a
在。
系中测得的图形为菱形,其面积亦可表示为
Sf=2a{,-a\=0.6a2=60cm2
3、一艘宇宙飞船的船身固有长度为%=90m,相对于地面以[2=0.8c(c为真空中光速)的匀速度在地面观测站的上空飞过.
⑴观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少?
⑵宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少?
(1)观测站测得飞船船身的长度为
L=L°
J1-(一/-)2=54m
贝UAfi=£
/p=2.25X10"
7s
(2)宇航员测得飞船船身的长度为L。
,则
△t2=Lo/u=3.75X10"
S
4、半人马星座a星是距离太阳系最近的恒星,它距离ms=4.3X1016m.设有一宇宙飞船自地球飞到半人马星座a星,若宇宙飞船相对于地球的速度为以0.999c,按地球上的时钟计算要用多少年时间?
如以飞船上的时钟计算,所需时间又为多少年?
q
以地球上的时钟计算:
Ar=-«
4.5年
v
以飞船上的时钟计算:
5、在惯性系S中,有两事件发生于同一地点,且第二事件比第一事件晚发生At=2s;
而在另一惯性系S,中,观测第二事件比第一事件晚发生Af=3s.那么在S'
系中发生两事件的地点之间的距离是多少?
令S'
系与S系的相对速度为〃,有
V,(△〃△尸)2=1—(〃/c)2
Ji-"
、):
则〃=。
・(1一(里/里'
)2)心(=2.24X108m-s-1)4分
那么,在宁系中测得两事件之间距离为:
A%'
=〃•△/=c(Af/2—AZ2),/2=6.72X108m4分
6、要使电子的速度从Pi=1.2X108m/s增加到l;
2=2.4X108m/s必须对它作多少功?
根据功能原理,要作的功根据相对论能量公式
根据相对论质量公式
(电子静止质量me=9.11X10-31kg)
W=/%尸(
△E=m2c2-rrixC2m2/[1-(p2/c)2],/2mx=ah0/[l-(^/c)2]1/2
=)=4.72X1014J=2.95X105eV9
c2
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