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双曲线提高训练题含详细答案
双曲线提高训练题(含详细答案)
X2
1.[2011银川一中月考]与椭圆-+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()
x2
a.4—y2=1
C.x2
x2
B.X2—y2=1D.x2—近=1
2
x2
2.[2011山东省实验中学二模]如图K49—1,已知点P为双曲线点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,
IF1F2成立,则
入的值为()
54
a・8B.5
43
%D.4
169=1右支上一
IPF1F2的内心,若SAIPFlSAIPF2+入途
图K49—1
A..2B.,3
C2/3±1
C.2
D.
.5+1
2
4.[2011佛山一检]
已知双曲线
a2-各1(a>0,
b>0)与抛物线
y2=8x有一个公共的焦
点F,且两曲线的一个交点为P,若|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为()
A.x±3y=0B.,3x±y=0
C.xi2y=0D.2x±(=0
x2
5.[2010福建卷]若点O和点F(—2,0)分别是双曲线乏—y=1(a>0)的中心和左焦点,
a
点p为双曲线右支上的任意一点,则OPfP的取值范围为()
A.[3—2,3,±s)B.[3+23,+^)
曲线一个交点为p,且/PF1F2=n,则双曲线的渐近线方程为
6
22
11.双曲线x2—古=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作直线交双曲线的
ab
左支于A,B两点,且|AB|=口,则厶ABF2的周长为.
22
12.[2011全国卷]已知F1、F2分别为双曲线C:
;—27=1的左、右焦点,点A€C,点M的坐标为(2,0),AM为/F1AF2的平分线,则|AF2|=.
x2y2、
13.[2011辽宁卷]已知点(2,3)在双曲线C:
孑一卡=1(a>0,b>0)上,C的焦距为4,
则它的离心率为.
14.(10分)[2011湖北八校一联]如图K49—-,已知双曲线x2—y2=1的左、右顶点分别为A1、A2,动直线I:
y=kx+m与圆x2+y2=1相切,且与双曲线左、右两支的交点分别
为P1(X1,y1),P2(X2,y2).
(1)求k的取值范围,并求X2—X1的最小值;
⑵记直线P1A1的斜率为k1,直线P2A2的斜率为k2,那么k1k2是定值吗?
证明你的结论.
图K49—2
15.(13分)已知两定点Fi(—2,0),F2(2,0),满足条件|PF2—|PFi|=2的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx—1与曲线E交于A,B两点.如果|AB|=6,3,且曲线E上存在点C,使示+O)B=mO)C,求m的值和△ABC的面积S.
x2v2
16.(12分)[2011黄石调研]已知双曲线-2—1(a>0,b>0)的右顶点为A,右焦点为F,
ab
直线x=貴c=.a2+b2)与X轴交于点B,且与一条渐近线交于点C,点0为坐标原点,又oA
c
=2(0B,OA0C=2,过点F的直线与双曲线右支交于点M、N,点P为点M关于x轴的对
称点.
(1)求双曲线的方程;
⑵证明:
B、P、N三点共线;
(3)求厶BMN面积的最小值.
故e=C=5.
a
2h?
h?
2b?
b2b?
b
10.y=±2x[解析]根据已知|PFi|=——且|PF2|=—,故————=2a,所以p=2,-=
aaaaaa
2.
|AF2|—|AFi|=2a,
11.4a+2m[解析]由?
|AF21+|BF2|-(|AFi|+|BFi|)=4a,又|AFi|
|BF2|—|BFi|=2a
+|BFi|=|AB|=m,A|AF2|+|BF2|=4a+口.则厶ABF2的周长为|AF21+|BF2|+|AB|=4a+2m.
鬻=齢2又|AFi—|AF2|=6,故|AF2|=6.
x2y249
[解析]方法一:
点(2,3)在双曲线C:
孑一y2=i上,则孑一—2=〔•又由于2c=4,
4—9=i
所以a2+b2=4•解方程组ab得a=i或a=4.由于a a2+b2=4 i4.[解答](i)Tl与圆相切,二 m2=i+k2,① y=kx+m, 由22得(i—k2)x2—2mkx—(m2+i)=0, x2—y2=i, i—k2^0, △=4m2k2+4i—k2m2+i=4m2+i—k2=8>0,m2+i xix2=迄二y<0, •k2 2mk 由于Xi+X2=2, i—k 2,2222 …X2—xi=xi+X22—4xix2=2=2, N|i—k2|i—k2 •••OWk2 ⑵由已知可得Ai,A2的坐标分别为(一i,0),(i,0), •ki=^,k2=±, Xi+iX2—i yiy2 .,一wkxi+mkx2+m --kik2== xi+iX2—ixi+iX2—i k2xiX2+mkxi+X2+m2 XiX2+X2—xi—i 2m2+i,2mk2 k2•_7—mk•;+m2 k2—ik2—i m2+i2.2彳 k2—m2 k2—i—k2—i—im2k2+k2—2m2k2+m2k2—m2 由①,得m2—k2=1, —1 kik2==—(3+2弋2)为定值. 15. 0)为焦点的双曲 [解答]由双曲线的定义可知,曲线E是以Fi(—2,0),F2(2, 线的左支, 且c=・J2,a=1,易知b=1, 故曲线E的方程为x2—y2=1(x<0). y=kx—1, 设A(X1,y1),B(x2,y2),由题意建立方程组22 x2—y2=1, 消去y,得(1—k2)x2+2kx—2=0, 又已知直线与双曲线左支交于两点A,B,有 1—k2^0, △=2k2+81—k2>0, 解得—,2 —2k X1+x2=1—2<0, 又•/|AB|=1+k2|x1—X2| =,1+k2•, =1+k2• X1+X2—4X1X2 ,—2k2—2 /1—2-4X百? =2;1+k22—k2 =.1—k22, /1+k2~ok2 依题意得21十;一$2k=6,3,整理后得 28k4—55k2+25=0, •k2=5或k2=4又-^2 设C(xc,yc),由已知0A十Ofe=mOC, 得(X1,y1)十(X2,y2)=(mxc,myc), y1*y2/c、 (m^0). .Xl±X2 ••(Xc,yc)=m 2k 又X1+X2= m k2—1=—45,.•.点C二/,R,将点 mm 但当m=—4时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意,• 5X—5+2+1 21 3’ 2k22。 y1+y2=k(x1+X2)—2=k2——2=^2—1=8, C的坐标代入曲线E的方程,得8°>—气=1, mm m=4, C点的坐标为(一,5,2),C到AB的距离为 上52+[2 得m=±4, 11 ABC的面积S=63X3=T3. 【难点突破】 16.[解答] (1)由题意得 a= 2a 解得 a2=4, a3=2c, c2=16, •••b2=c2-a2=12,「.双曲线方程为--忙=1. 412 ⑵证明: 由 (1)可知得点B(1,0),设直线I的方程为: x=ty+4, 22 X-乂=1, 由412可得(3t2-1)y2+24ty+36=0. x=ty+4, 设M(x1,y1),N(X2,y2),则P(X1,-y", -24t y1+y2=3? -r,tt 所以 36 (X1—1,-y1),BN=(X2—1,y2), y1y2=k, 因为(X1—1)y2+y1(x2—1)=X1y2+y1X2—y1—y=2ty1y2+3(y1+y2) =0, 所以向量BP,BN共线.所以B,P,N三点共线.⑶因为直线I与双曲线右支相交于M,N, 1 所以X1X2=(ty1+4)(ty2+4)>0,所以t2<3, 118^1+t26迈p3+3t2 0BMN=[IBFIIy1—y2|=|3t2—1|=1—3t2,令u=1—3t2,u€(0,1], 双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为() (c,0),则p=c,即p=2c,抛物线方程为y2 =1,y2=4cc,消掉y得晋=1,即J(b2—4a2)=a2b2,即c2(c2—5a2)=a2(c2—a2),即c4—6a2c2+a4=0,即e4—6e2+1=0,解得W=6\32=3+22,故e=1+.2. 9.D[解析]不妨设|PF1|,|PF2|,|F1F2|成等差数列,贝U4c2=|PF1|2+|PF2|2,由2|PF2|=2c+|PF11,且|PF2|—|PF1|=2a,解得|PF1|=2c—4a,|PF2|=2c—2a,代入4c2=IPF1f+|PF2|2,得4c2=(2c—2a)2+(2c—4a)2,化简整理得c2—6ac+5a2=0,解得c=a(舍去)或者c=5a, m2+i—22—k2+i=m2—k2+2—2、2,
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