高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I21函数及其表示教师用书理苏教.docx
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高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I21函数及其表示教师用书理苏教
【2019最新】精选高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2-1函数及其表示教师用书理苏教
1.函数与映射
函数
映射
两集合A、B
设A,B是两个非空的数集
设A,B是两个非空集合
对应法则f:
A→B
如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应
如果按某种对应法则f,对于A中的每一个元素,在B中都有唯一的元素与之对应
名称
这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数
称对应f:
A→B为从集合A到集合B的映射
记法
y=f(x)(x∈A)
f:
A→B
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,其中所有x组成的集合A称为函数y=f(x)的定义域;将所有y组成的集合叫做函数y=f(x)的值域.
(2)函数的三要素:
定义域、对应法则和值域.
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法.
3.分段函数
在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式,这样的函数,通常叫做分段函数.
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
【知识拓展】
求函数定义域常见结论
(1)分式的分母不为零;
(2)偶次根式的被开方数不小于零;
(3)对数函数的真数必须大于零;
(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;
(5)正切函数y=tanx,x≠kπ+(k∈Z);
(6)零次幂的底数不能为零;
(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外,还应考虑实际问题本身的要求.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于函数f:
A→B,其值域是集合B.( × )
(2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数.( × )
(3)映射是特殊的函数.( × )
(4)若A=R,B={x|x>0},f:
x→y=|x|,其对应是从A到B的映射.( × )
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( × )
1.设f(x)=若f
(2)=4,则a的取值范围为________.
答案 (-∞,2]
解析 因为f
(2)=4,所以2∈[a,+∞),所以a≤2,则a的取值范围为(-∞,2].
2.(2016·江苏)函数y=的定义域是________.
答案 [-3,1]
解析 要使原函数有意义,需满足3-2x-x2≥0,
解得-3≤x≤1,故函数的定义域为[-3,1].
3.(教材改编)设f(x)=g(x)=则f(g(π))的值为________.
答案 0
解析 由题意得,g(π)=0,
∴f(g(π))=f(0)=0.
4.(教材改编)如果f()=,则当x≠0,1时,f(x)=________.
答案
解析 令=t,则x=,代入f()=,
则有f(t)==,∴f(x)=.
5.已知f(x)=,则f(f(x))的定义域为________.
答案 {x|x≠-2且x≠-1}
解析 因为f(x)=,
所以f(x)的定义域为{x|x≠-1},
则在f(f(x))中,f(x)≠-1,即≠-1,
解得x≠-2,
所以f(f(x))的定义域为{x|x≠-2且x≠-1}.
题型一 函数的概念
例1 有以下判断:
①f(x)=与g(x)=表示同一函数;
②函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个;
③f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一函数;
④若f(x)=|x-1|-|x|,则f=0.
其中正确判断的序号是________.
答案 ②③
解析 对于①,由于函数f(x)=的定义域为{x|x∈R且x≠0},而函数g(x)=的定义域是R,所以二者不是同一函数;对于②,若x=1不是y=f(x)定义域内的值,则直线x=1与y=f(x)的图象没有交点,如果x=1是y=f(x)定义域内的值,由函数定义可知,直线x=1与y=f(x)的图象只有一个交点,即y=f(x)的图象与直线x=1最多有一个交点;对于③,f(x)与g(t)的定义域、值域和对应法则均相同,所以f(x)和g(t)表示同一函数;对于④,由于f=-=0,所以f=f(0)=1.
综上可知,正确的判断是②③.
思维升华 函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定,当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数.值得注意的是,函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同,只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值,按照这两个对应法则算出的函数值是否相同).
(1)(2016·南京模拟)下列所给图象中函数图象的个数为________.
(2)下列各组函数中,表示同一个函数的是________.
①y=x-1和y=;
②y=x0和y=1;
③f(x)=x2和g(x)=(x+1)2;
④f(x)=和g(x)=.
答案
(1)2
(2)④
解析
(1)①中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象,②中当x=x0时,y的值有两个,因此不是函数图象,③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象.
(2)①中两个函数的定义域不同;②中y=x0的x不能取0;③中两函数的对应法则不同.
题型二 函数的定义域问题
命题点1 求函数的定义域
例2
(1)(教材改编)函数f(x)=的定义域用区间表示为____________.
(2)若函数y=f(x)的定义域为[0,2],则函数g(x)=的定义域是________.
答案
(1)[0,1)∪(1,2)
(2)[0,1)
解析
(1)要使函数有意义,需满足
即
∴函数f(x)的定义域为[0,1)∪(1,2).
(2)由0≤2x≤2,得0≤x≤1,
又x-1≠0,即x≠1,
所以0≤x<1,即g(x)的定义域为[0,1).
引申探究
例2
(2)中,若将“函数y=f(x)的定义域为[0,2]”改为“函数y=f(x+1)的定义域为[0,2]”,则函数g(x)=的定义域为________________.
答案 [,1)∪(1,]
解析 由函数y=f(x+1)的定义域为[0,2],
得函数y=f(x)的定义域为[1,3],
令得≤x≤且x≠1,
∴g(x)的定义域为[,1)∪(1,].
命题点2 已知函数的定义域求参数范围
例3
(1)若函数f(x)=的定义域为R,则a的取值范围为________.
(2)若函数y=的定义域为R,则实数a的取值范围是________.
答案
(1)[-1,0]
(2)[0,3)
解析
(1)因为函数f(x)的定义域为R,
所以-1≥0对x∈R恒成立,
即≥20,x2+2ax-a≥0恒成立,
因此有Δ=(2a)2+4a≤0,解得-1≤a≤0.
(2)因为函数y=的定义域为R,
所以ax2+2ax+3=0无实数解,
即函数t=ax2+2ax+3的图象与x轴无交点.
当a=0时,函数y=3的图象与x轴无交点;
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