专题抛物线与圆综合探究题含问题详解Word下载.docx
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y。
y0时,r2
0,解得,口
「2
1J17
(舍去);
当y0时,rr
40,解得,
「1
1寸17
—2
r2
护(舍去).
所以圆的半径是
例2、已知:
点A,抛物线y
(1)试用含
1717或1V17
22
在平面直角坐标系xOy中,一次函数ax2bxc经过OA两点。
a的代数式表示b;
y=kx-4k的图象与x轴交于
(2)设抛物线的顶点为D,以D为圆心,DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。
若将劣弧沿x轴翻折,翻折后的劣弧落在OD内,它所在的圆恰与OD相切,求OD半径的长及抛物线的解析式;
(3)设点B是满足
(2)中条件的优弧上的一个动点,抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P,使得/POA-/OBA?
若存在,求出点P的坐标;
若不
R11
存在,请说明理由。
(1)解法一:
T一次函数
ykx4k的图象与x轴交于点A,.••点A的坐标为(4,0)。
又丁抛物线
ax2bxc经过OA两点,
0,16a4b0b4a
经过
解法二:
T一次函数y
kx
OA两点,•抛物线的对称轴为直线
(2)解:
由抛物线的对称性可知,
ax24ax•点d的坐标为(2,
4k的图象与x轴交于点A,•••点A的坐标为(4,0)。
又•••抛物线yax2bxc
DO=DA•••点
4a)
bc
2,•b=一4ao
O在OD上,且/DOA=ZDAO又由
(1)知抛物线的解析式为
①当a0时,如图1,设oD被x轴分得的劣弧为OmA,它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA,显然OnA所在的圆与
OD关于x轴对称,设它的圆心为
D'
。
•••点D'
与点D也关于x轴对称,T点O在QD'
上,且OD与QD'
相切,•••点O为切
点,•D'
O丄
4a
21
a—,
DOA=
/D'
OA=45°
•△ADO为等腰直角
OD2j2•点D的纵坐标为
b4a
二抛物线的解析式为
12
y2x22x;
②当a
综上,Q
(3)解:
①当点
/OBA
0时,
同理可得:
OD2近,
抛物线的解析式为y
D半径的长为2J2,抛物线的解析式为
2x或y
—x
2x;
22x。
抛物线在x轴上方的部分上存在点P,使得/POA
P在抛物线
12y2x
2x上时(如图2),
-/OBA
3
设点P的坐标为(
x,y),且y>
0。
的优弧上的一点
丄/ADO
tan/POE
EP
OE
tan60
•••点P的坐标为4
②当点
45
/POA4/OBA
解得:
2x
Xi
yi
60
过点
P作PE丄x轴于点
2®
4^3;
^x2
2x上时(如图
3)
42%/3
64^3'
同理可得,
y2
0(舍去)
>
/3x
lx2
•点p的坐标为
4243
64爲
(舍去)
64j3;
综上,存在满足条件的点P,
点P的坐标为4
273,6
4恵或42^/3,64"
注意:
动点B的变化不影响/
OBA的大小。
(1)求圆心的坐标;
(2)抛物线y=ax2+bx+c过OA两点,且顶点在正比例函数
y=-的图象上,求抛物线的解析式;
(3)过圆心C作平行于x轴的直线DE交OC于DE两点,试判断两点是否在
(2)中的抛物线上;
(4)若
(2)中的抛物线上存在点取值范围。
(1)VOC经过原点0,/.AB为QC的直径。
P(X0,yo).
满足/APB为钝角,求
D、E
X0的
•••C为AB的中点。
x
a
c
(3)vOA=2,
OB=2^3,
•-AB
(273)2
4.即QC的半径r=2。
二D
(3,J3),E(-1,73)代入
y—x2检验,知点DE均在抛物线上。
33
(4)vAB为直径,•••当抛物线上的点P在QC的内部时,
满足/APB为钝角。
二一1<
xo<
0或2<
3。
例4、如图,已知抛物线的顶点坐标为M(1,4),且经过点N(2,3),与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与
(1)求抛物线的解析式及点
(2)若直线y=kx+t经过C
是平行四边形;
(3)点P在抛物线的对称轴的P点,使以P为圆心的圆经过A点P的坐标;
若不存在,请说明理由。
(1)由抛物线的顶点是M(1,4),设解析式为y=a(x-12+4(avO),又抛物线经过点N(2,3),所以
3=a(2-12+4解得a=-1o所以所求抛物线的解析式为y=—(x-)2+4=—X2+2x+3.
y轴交于点Co
AB、C的坐标;
M两点,且与X轴交于点D,试证明四边形CDAN
x=1上运动,请探索:
在x轴上方是否存在这样
B两点,并且与直线CD相切,若存在,请求岀
N
0E
令y=0,得一x+2x+3=0,解得:
x1=-1,X2=3.得A(-1,0),B(3,0);
令x=0,得y=3,所以C
(0,3)。
(2)直线y=kx+t经过CM两点,所以
t=3
即k=1,t=3o二直线解析式为y=x+3.令y=0,得)=-3,
k+1=4
故D(-3,0),•••CD=3/2。
连接AN过N做x轴的垂线,垂足为F.
设过AN两点的直线的解析式为y=m)+n,则一m+门=0解得m=1,
2m+n=3
n=1,所以过AN两点的直线的解析式为y=X+1。
所以DC//AN.
在Rt△ANF中,AN=3,NF=3,所以AN=3j2所以DC=AM因此四边形CDAf是平行四边形。
另:
也可以证明CN//AP
(3)假设在X轴上方存在这样的P点,使以P为圆心的圆经过AB两点,并且与直线>
0,_则PA是圆的半径,且PA2=u2+22
过P做直线CD的垂线,垂足为Q,
则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切。
由第(
三角形,故△PQM也是等腰直角三角形,
——=u2+22,解得u=-4
CD相切,设P(1,U)其中U
2)小题易得:
△MDE为等腰直角
由P(1,u)得PE=u,PM=|4-u|,PQ=
4242
|4-u|由Pq2=pa2得方程:
2J6,舍去负值u=—4-2j6,符合题意的U=-4+2j6,所以,满足题
意的点P存在,其坐标为(1,-4+2j6)o
例5、已知:
如图,抛物线y1x2
m与x轴交于A
B两点,与y轴交于C点,/ACB=90°
yA
(1)求m的值及抛物线顶点坐标;
(2)
过AB、C的三点的OM交y轴于另一点D,连结DM并延长交OM于点E,过E点的OM的切线分别交x轴、y轴于点F、G,求直线FG的解析式;
(3)连结=k,
又OC是RtAABC的斜边上的高,:
.△COB
.OA
OC
OB
m,即Xi
-X2=—m:
.—m=3m,解得
n=0或n=—3,而RK0,故只能取m=—3。
这时,
2^3
I-—2
-(XJ3)3
4,因此,抛物线的顶点坐标
为(,—4)。
另外,由ACLBC也可以用aC+BC=AB2来求rn
D(0,3)V抛物线的对称
(2)解法一:
由已知可得:
M(,0),A(-J3,0),B(3^3,0),C(0,—3),
轴是x^/3,也是QM的对称轴,
连结CE,VDE是。
M的直径,•:
/DCE=90°
:
直线x=J3,垂直平分
CE•:
E点的
坐标为(2J3,—3)。
V竺
°
M竺,/AOC=ZDOI=90°
:
•/ACO=ZMDO=30°
•:
AC//DE
OD3
•/AC!
CB
•:
CB丄DE又FG!
DE•:
FG//CB由
B(3J3,0)、C(0,—3)两点的坐标易求直线CB的解析式为:
yuE^x
—3可设直
线FG的解析式为yu^x+n,把(2j3,—3)代入求得n=—5故直线FG的解析式为y=空x—5
由抛物线解析式可求得:
A(^3,0),B(缶、陌,0),D(0,3),M筒,0),则有E(2丐,—3)。
再由AO
COMODO的长度可得:
/AC0=/MDO=30°
结合DE=甬,DE丄FG可得:
DG=8,:
G点坐标为(0,—5)。
•:
OG=5,
OF=OG-\陌'
=5翻,•:
F点的坐标为(朋,0),再由E、G两点坐标可得直线FG的解析式为
y詈■-5。
(自解)
P
存在常数k=12,满足AH-AP=12设AH=x,AP=y由相交弦定理得HD-HC=AH•HP即
(S—玉一3并区十Tk爼_町=—SJ》,化间得:
xy=12,即AH•AP=12。
bxc(a0)交x轴于点A(-1,0)C.
例6、抛物线yax2
y轴于点C,顶点为D以BD为直径的OM恰好过点
(1)求顶点D的坐标(用a的代数式表示);
(2)求抛物线的解析式;
(3)抛物线上是否存在点标;
若不存在,说明理由
P使^PBD为直角三角形?
若存在
(方法一)
由题意:
设抛物线的解析式为
ya(x
、B(3,0),交
求出点P的坐
1)(x3)
.yax2ax
3aa(x
4a二点C(0,-3a),
(1,-4a);
(方法二)
由题意:
9a
3bc0,解得
3ay
ax22ax3a
(下同方法一)
DECE
(2)(方法一)过点D作DELy轴于点E,易证△DEC^ACOB二OCOB
3a
•••a1故抛物线的解析式为:
yx
2x3
(方法二)过点D作DE丄y轴于点
E,过M作MGLy轴于点G设OM交x轴于另一点H,
y轴于另一点F,可先证
四边形OHDE为矩形,贝UOH=DE=1,再证
OF=CE=-a,由OH-OB=OF-
OC得:
(a)(3a)1
(下同法一)
(方法三)用勾股定理,cD+cB=BD2,也可得a2=1.(自解)
(3)符合条件的点
①若/BPD=90°
P存在,共3个:
P点与C点重合,则P1(0,3)(P1表示第一个
p点,下同)
②若/DBP=90°
P22p3
2,解得
P2作P2R丄x轴于点R,设点P2(P,
2或P3(舍去),故P2(
BR
2p3),由ABP2FSADBH得,DH
P2RbH,即
f,4)
丄7
BDP=90°
设DP3的延长线交y轴于点N,可证AEDNsAHDB求得EN=2,二N(0,2)求得7115
2求抛物线与直线DN的交点得P3(24),
39、115
(—,_)—,—
综上所述:
符合条件的点P为(0,3)、24、(24)。
③若/
DN的解析
y-x
式为2
例7、已知抛物线y=ax+bx+c(a丰0)与x轴交于不同的两点A和B(4,0),与y轴交于点C(0,称轴为x=1.
⑴求此抛物线的解析式;
⑵过A、BC三点作OO与y轴的负半轴交于点D,求经过原点O且与直线AD垂直(垂足为E)的方程;
⑶设OO与抛物线的另一个交点为
x=m与直线OE的交点为
求出m的值;
若不存在,
P,直线OE与直线
S。
是否存在整数m,使得以点请说明理由。
BC的交点为Q直线x=m与抛物线的交点为
8),其对
的直线0E
R,直线
P、QR、S为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,
(1)由已知,有
-b1,
2aa
a42b4c0,解得bc8.
8.
•抛物线的解析式是y=-x
(2)令y=0,得方程
(-2,0).在QO'
中,由相交弦定理,得|OA|•|OB|=|OC|•|OD|,
+2X+8.
-x2+2x+8=0,解得X1=-2,X2=4.
A的坐标为
即2X
4=8X|OD|,•|OD|=1.T点D在y轴的负半轴上,•点D的坐标为(0,-1).在Rt△AOD中,T|OA|=2,|OD|=1,OE!
AD•由勾股定理,有
AD=J2212=^/5.又T1|OA|•|OD|=1|AD|•|OE|,•|OE|=
225
•/|OA|2=|AE|•|AD|,即2=苗|AE|,•|AE|=.
5
同理,由|OD|2=|DE|•|AD|,得|DE|=——
11
设点E(x,y),且x<
0,y<
0.在Rt△AOE中,丄|AE|•|OE|=丄|y|
-|0A|,
1122
丄|DE|•|OE|=J-|x|•|OD|,•|x|=三,•X二三.•点E的坐标是(-
2255
设直线OE的方程为y=kx(k工0).t直线OE经过点E(-2,-—),•
55
AB,•由垂径定理的推论知直线
(3)在QO'
中,T对称轴x=1垂直平分弦
•/C(0,8),•由对称当得点P的坐标为
•直线BC的方程为y=-2x+8.联立方程组、
-5).
•|y|=
44
—,•y=-工.在Rt△DOE中,
55
4=-2k,
x=1经过圆心O.
k=2.•直线OE的方程为
y=2x.
4kb
(2,8).设直线BC的方程为y=kx+b(k工0).则有
b8.
22x8,解得
2•点Q的坐标为(2,4).
4.
T点P(2,8),点Q(2,4),•PQ//RS(因此,只有一种情况
0解得
).设点R的坐标为(m,-m2+2m+8),点S的坐标的
要使四边形PQRS为平行四边形,已知PQ/RS尚需条件|RS|=|PQ|.由|(-m2+2m+8)-2m|=|8-4|=4,得|-m2+8|=4,
(m,解得m=
2m).
边形.
(2)当0P在运动过程中,存在OP与坐标轴相切的情况.
设点P坐标为(X0,y。
),则有:
①当OP与y轴相切时,有|xo|=1,xo=±
1
Xo1,得yo124151oP(1,,o),
X01,得y。
1241
52,P2(1,2)•
②当OP与X轴相切时有
|yol1
抛物线开口向上,且顶点在
X轴的上方.•••yo1
yo1,得Xo4Xo5
1,解得yo=2,.・.r(2,1).
综上所述,符合要求的圆心P有三个,其坐标分别为:
P(1,10),P2(1,2),P3(2,1)
(3)设点Q坐标为(X,y),则当OQ与两条坐标轴都相切时,有y=X
225Q5
①由y=x得X4x5x,l卩X5x5o,解得x
②由yX,得X24x5X,即X23x5o,此方程无解;
•OO的半径为r。
例9、已知:
如图,抛物线y导学XV3的图象与x轴分别交于A
OM经过原点o及点AC,点D是劣弧0A上一动点
(1)求抛物线的顶点E的坐标;
(2)求OM的面积;
(3)连CD交AO于点F,延长CD至G,使FG运动到何处时,直线
解:
(1)抛物线
——x
x22x1y/3—
73
(2)连AC;
•-OM过A,O,
C,/AOC
90°
AC为OM的直径.
可求得A点坐标为(—3,0),B点坐标为(1,0),•••PA3,OC
灵,二AC=2、陌,
SeMr3。
(3)当点D运动到的中点时,直线GA与OM相切。
理由:
在Rt△ACO中,|OA3,OC
Qtan/ACO卓y/3./ACO
60°
/CAO30°
Q点D是刊的中点,二丽=iTO,
/ACG/DCO30°
OFOCgtan30°
1,/CFO60°
在△GAF中,AF2,FG2,/AFG/CFO
/GAF60°
/CAG/GAF/CAO90°
又AC为直径,二GA与OM相切。
△AGF为等边
三角形。
综上,当D为0卫的中点时,GA是OM的切线。
(3)正面推:
可得A(—3,0),B(1,0),CW五,0),易得/CAO=/BCO=30°
「.BC丄AC.
又GA与OM相切,二GA1AC,•••/GAC=90°
,且GA/BC,因此,怎么推?
?
?
例10、如图,在平面直角坐标系中,已知点B(2j2,o),A(m,0)(J2m0),以AB为边在x轴下方
作正方形ABCD,点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆除点D以外的另一个交点,连结BE与AD相交于点F.
(1)求证:
BFDO;
(2)设直线I是^BDO的边BO的垂直平分线,且与BE相交于点G.若G是^BDO的外心,试求经过B,F,O三点的抛物线的解析表达式;
(3)在
(2)的条件下,在抛物线上是否存在点P,使该点关于直线BE的对称点在x轴上?
若存在,求出所有这样的点的坐标;
若不存在,请说明理由.
(1)在△ABF和△ADO中,
Q四边形ABCD是正方形,ABAD,/BAF/DAO90°
.
又QZABFZADO,^ABFADO,
BFDO.
(2)由
(1),有△ABFADO,QAOAFm.点Fm,m.
QG是△BDO的外心,点G在DO的垂直平分线上.
又BD是直径,可得BE丄DO
点B也在DO的垂直平分线上.
△DBO为等腰三角形,BOBDJ2aB.
722V2m,m22^2.
Q抛物线过点O0,0,c0.yax2
2^2
b,
2运2a
b.
2辰
22J2a
0,
解得
b1.
2,
近.
抛物线的解析表达式为
12-X
P,
72x•
(3)假定在抛物线上存在一点QBE是ZOBD的平分线,
X轴上的点P关于直线BE的对称点P必在直线BD上,即点P是抛物线与直线BD的交点.
使点P关于直线BE的对称点P
在x轴上.
设直线BD的解析表达式为ykxb,并设直线BD与y轴交于点
OQOB•Q0,
把点B2j2,0,点Q
0,2迈代入ykX
b中,
02屈b,k
2/2b.
1,
272.
X242•
设点p
X0,y,
则有
y。
X02
把③代入②,得-
X0
运X0
721
242
0,即
2近X0
0•
解得X0
2^2或
:
2•
当X0
2血时,
24i
2时,y
X02^/22
直线BD的解析表达式为
2血•
Q,则由△BOQ是等腰直角三角形.
242,
x2272
2^2242
1Xo
4/2
在抛物线上存在点P2^2,0,F22,22^2,
它们关于直线
BE的对称点都在X轴上.
例11、若抛物线y=x2-(m+3)x+m+1与x轴交于AB两点(A在B的左侧),以OAOB为直径分别作OO、O
OO。
(1)试证:
无论m取何实数,抛物线与X轴总有两个交点;
(2)当两圆相等时,求m的值;
(3)如果两圆外切,求m的范围;
(4)点B能否在原点的左侧?
请说明理由;
(5)两圆内切时,求m的范围;
(6)若两圆内切时,当M点的坐标为(1,0),
试证:
OA<
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