数学八年级下49教案docWord文档格式.docx
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1.请你填一填
(1)如果两个三角形的相似比为1,那么这两个三角形________.
(2)若△ABC与△A′B′C′相似,一组对应边的长为AB=3cm,A′B′=4cm,那么△A′B′C′与△ABC的相似比是________.
(3)若△ABC的三条边长的比为3∶5∶6,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12cm,那么△A′B′C′的最大边长是________.
(4)已知△ABC的三条边长分别为3cm,4cm,5cm,△ABC∽△A′B′C′,那么△A′B′C′的形状是______,又知△A′B′C′的最大边长为20cm,那么△A′B′C′的面积为________.
(5)△ABC∽△A′B′C′,如果∠A=55°
,∠B=100°
,则∠C′的度数等于
2.想一想
如果△ABC∽△DEF,那么哪些角是对应角?
哪些边是对应边?
对应角有什么关系?
对应边呢?
3.议一议
(1)两个全等三角形一定相似吗?
为什么?
(2)两个直角三角形一定相似吗?
两个等腰直角三角形呢?
(3)两个等腰三角形一定相似吗?
两个等边三角形呢?
三,讲一讲:
1.相似三角形的定义及记法
[师]因为相似三角形是相似多边形中的一类,因此,相似三角形的定义可仿照相似多边形的定义给出,大家可以吗?
[生]可以.
三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形(similartriangles).如△ABC与△DEF相似,记作
△ABC∽△DEF
其中对应顶点要写在对应位置,如A与D,B与E,C与F相对应.AB∶DE等于相似比.
[师]知道了相似三角形的定义,下面我们根据定义来做一些判断.
[生]由前面相似多边形的性质可知,对应角应相等,对应边应成比例.
所以∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F.
.
投影片(§
4.5A)
[师]请大家互相讨论.
[生]解:
(1)两个全等三角形一定相似.
因为两个全等三角形的对应边相等,对应角相等,由对应边相等可知对应边一定成比例,且相似比为1,因此满足相似三角形的两个条件,所以两个全等三角形一定相似.
(2)两个直角三角形不一定相似.
因为虽然都是直角三角形,但也只能确定有一对角即直角相等,其他的两对角可能相等,也可能不相等,对应边也不一定成比例,所以它们不一定相似.
两个等腰直角三角形一定相似.
因为两个等腰直角三角形Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°
,则∠A=∠B=∠D=∠E=45°
,所以有∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.
再设△ABC中AC=b,△DEF中DF=a,则
AC=BC=b,AB=
b
DF=EF=a,DE=
a
∴
所以两个等腰直角三角形一定相似.
(3)两个等腰三角形不一定相似.
因为等腰只能说明一个三角形中有两边相等,但另一边不固定,因此这两个等腰三角形中有两边对应成比例,两底边的比不一定等于对应腰的比,因此不用再去讨论对应角满足什么条件,就可以确定这两个等腰三角形不一定相似.
两个等边三角形一定相似.
因为等边三角形的各边都相等,各角都等于60度,因此这两个等边三角形一定有对应角相等、对应边成比例,所以它们一定相似.
[师]由上可知,在特殊的三角形中,有的相似,有的不相似.
两个全等三角形一定相似.
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似.
四.练一练:
1.如图,有一块呈三角形形状的草坪,其中一边的长是20m,在这个草坪的图纸上,这条边长5cm,其他两边的长都是3.5cm,求该草坪其他两边的实际长度.
2.如图,已知△ABC∽△ADE,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,∠BAC=45°
∠ACB=40°
,求
(1)∠AED和∠ADE的度数;
(2)DE的长.
3.在下面的两组图形中,各有两个相似三角形,试确定x,y,m,n的值.
4.等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形A′B′C′相似,相似比为3∶1,已知斜边AB=5cm,求△A′B′C′斜边A′B′上的高.
五、记一记
1.相似三角形的定义:
各角对应相等、各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2.相似三角形的性质:
那么它们的对应角相等,对应边成比例。
课后反思:
4.6.1探索三角形相似的条件
(一)
1.掌握三角形相似的判定方法1.
2.会用相似三角形的判定方法1来证明及计算.
1.通过亲身体会得出相似三角形的判定方法,培养学生的动手能力;
2.利用相似三角形的判定方法1进行有关计算及证明,训练学生的灵活运用能力.
1.经历对图形的观察、实验、猜想等数学活动过程,发展合情推理能力,并能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
2.通过用三角形全等的判定方法类比得出三角形相似的判定方法,进一步领悟类比的思想方法.
相似三角形的判定方法以及推导过程,并会用判定方法来证明和计算.
判定方法的运用
探索——总结——运用法
教学流程:
课本P132~134内容
利用相似三角形的判定方法1进行有关计算及证明.
1.
(1)画一个△ABC,使得∠BAC=60°
,与同伴交流,你们所画的三角形相似吗?
(2)与同伴合作,一人画△ABC,另一人画△A′B′C′,使得∠A和∠A′都等于给定的∠α,∠B和∠B′都等于给定的∠β,比较你们画的两个三角形,∠C与∠C′相等吗?
对应边的比相等吗?
这样的两个三角形相似吗?
改变∠α、∠β的大小,再试一试.
从这两个小题中,大家能得出什么?
定理1:
对应相等的两个三角形相似.
2.如图,D、E分别是△ABC边AB、AC上的点,DE∥BC.
(1)图中有哪些相等的角?
(2)找出图中的相似三角形,并说明理由;
(3)写出三组成比例的线段.
三.讲一讲:
[师]在三角形中有六个元素,即三个角和三条边,要进行相似的判断,就是要看在这两个三角形中角或边需满足什么条件,两个三角形就相似,而在判断两个三角形全等时,也是讨论边、角关系的.下面我们先回忆一下全等三角形的判定方法,然后进行类比,好吗?
[生]好
全等三角形的判定方法有:
ASA,AAS,SAS,SSS,直角三角形除此之外再加HL.
[师]那么,相似三角形应该如何判断呢?
1.做一做.
4.6.1A)
(1)画一个△ABC,使得∠BAC=60°
对应边的比
相等吗?
[师]请大家按照要求动手画图,然后进行交流.
[生]在
(1)中,只有一对角相等,其他角和边没有确定,因此所画的三角形不相似.
根据
(2)中的要求画出的三角形中,∠C与∠C′相等,对应边有
,根据相似三角形的定义,这两个三角形相似.
改变∠α、∠β的大小,这个结论还不变.
[师]大家的结论都是如此吗?
[生]是.
[师]从这两个小题中,大家能得出什么?
[生]
(1)题告诉我们,只满足一对角相等不能判定两个三角形相似.
从
(2)中我们可知,如果两个三角形中有两对角对应相等,那么这两个三角形相似.
[师]其他同学同意吗?
[生]同意.
[师]经过大家的探索,我们得出了判定方法1:
两角对应相等的两个三角形相似.
[师]下面我们进行运用.
1.
(1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似?
(2)顶角相等的两个等腰三角形是否相似?
2.已知△ABC与△A′B′C′中,∠B=∠B′=75°
,∠C=50°
,∠A′=55°
,这两个三角形相似吗?
3.如图4—6—7,长梯AB斜靠在墙壁上,梯脚B距墙80cm,梯上点D距墙70cm,量得BD长55cm,求梯子的长.
4.如图.
AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD、BE相交于F,则图中相似三角形共有几对?
它们分别是哪些?
相似三角形的判定定理1:
4.6.2探索三角形相似的条件
(二)
1.掌握三角形相似的判定方法2、3.
2.会用相似三角形的判定方法2、3来判断、证明及计算.
1.通过自己动手并总结推出相似三角形的判定方法2、3,培养学生的动手操作能力,总结概括能力.
2.利用相似三角形的判定方法2、3进行判断,训练学生的灵活运用能力.
1.通过探索相似三角形的判定方法2、3,体现数学活动充满着探索性和创造性.
2.通过对判定方法的探索,发展学生思维的灵活性,进一步培养逻辑推理能力,领会分类思想.
相似三角形判定方法2、3的推导过程,掌握判定方法2、3并能灵活运用.
判定方法的推导及运用
课本P136~137内容
利用相似三角形的判定方法2,3进行有关计算及证明.
1.画△ABC与△A′B′C′,使
、
和
都等于给定的值k.
(1)设法比较∠A与∠A′的大小、∠B与∠B′的大小、∠C与∠C′的大小.
(2)△ABC与△A′B′C′相似吗?
说说你的理由.改变k值的大小,再试一试.
2.画△ABC与△A′B′C′,使∠A=∠A′,
都等于给定的值k.设法比较∠B与∠B′的大小(或∠C与∠C′的大小)、△ABC与△A′B′C′相似吗?
(2)改变k值的大小,再试一试.
3.想一想,以上的题目说明了什么?
对应成比例的两个三角形相似;
对应成比例且相等的两个三角形相似.
4.两边对应成比例,其中一边的对角对应相等,这两个三角形相似吗?
(1)
(2)
相似三角形的判定方法1是只从角的方面考虑的,下面我们只从边的方面去考虑.我们在学习全等三角形的判定方法中,也有只用边来进行判断的,即SSS公理.大家能不能用类比的方法,猜想只用边来判定三角形相似的方法呢?
[生]三边对应成比例的两个三角形相似.
[师]下面我们就来验证一下.
1.相似三角形的判定方法2:
三边对应成比例的两个三角形相似.
4.6.2B)
画△ABC与△A′B′C′,使
[师]大家可以按照上面的步骤进行,这里的k由自己定,为了节约时间,请大家一个组取一个相同的k值,不同的组取不同的k值,好吗?
[生]好.
[师]经过大家的亲身参与体会,你们得出的结论是什么呢?
[生]结论为∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′
△ABC∽△A′B′C′,理由是:
∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′
=
根据相似三角形的定义可知:
△ABC∽△A′B′C′.
[师]其他组的同学的结论相同吗?
[生]相同.
[师]经过大家的探讨,我们又掌握了一种相似三角形的判定方法,即三边对应成比例的两个三角形相似.
2.相似三角形的判定方法3.
[师]前面两种判定方法我们都是只从角或只从边的方面去考虑的,下面我们要从两方面来考虑.还是要类比全等三角形的判定方法,在全等的判定方法中有ASA,SAS,AAS,其中ASA、AAS我们就不用考虑了,因为我们已经有判定方法1、3,下面来验证SAS,大家还是先猜想,然后再验证.
[生]两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
[师]好,下面我们还是由大家自己推导吧.请看投影片(§
4.6.2C)
画△ABC与△A′B′C′,使∠A=∠A′,
[师]请大家按照上面的步骤进行,同时还要采取不同的组取不同的k值法.
[生]按照要求作出的△ABC与△A′B′C′中,有∠B=∠B′,∠C=∠C′,因此根据判定方法1可知,△ABC∽△A′B′C′.
[师]大家同意吗?
[师]好,我们又探索出一个相似三角形的判定方法,即两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
3.想一想
[师]下面验证SSA,即两边对应成比例,其中一边的对角对应相等,这两个三角形相似吗?
在全等三角形的判定中SSA就不成立.大家还可以仿照上面的验证过程来进行推导,下面是小明和小颖分别画出的一个满足条件的三角形,由此你能得到什么结论?
第一种:
对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似.即定义法.
第二种:
即判定方法1
第三种:
即判定方法2
第四种:
即判定方法3
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
[师]从这四种方法中我们可以看出,第一种判定方法比较麻烦,需要研究三对角、三对边,而后面的几种方法最多只需要研究三对边或角,因此定义法一般不利用.如果已知条件只涉及角,就用第二种判定方法;
如果已知条件只涉及边,就用第三种判定方法;
如果既有角又有边,则可考虑用第四种方法判断.
1.如图2,△ABC与△A′B′C′相似吗?
你有哪些判断方法?
写出理由。
2.依据下列各组条件,判定△ABC与△A′B′C′是不是相似,并说明为什么.
(1)∠A=120°
AB=7cm,AC=14cm,∠A′=120°
A′B′=3cm,A′C′=6cm,
(2)AB=4cm,BC=6cm,AC=8cm,A′B′=12cm,B′C′=18cm,A′C′=24cm.
3.下面每组的两个三角形是否相似?
4.要做两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?
你选的木料唯一吗?
四.记一记。
判断方法有.
1.三边对应成比例的两个三角形相似.
2.两角对应相等的两个三角形相似.
3.两边对应成比例且夹角相等.
4.定义法.
4.7测量旗杆的高度
1.通过测量旗杆的高度的活动,巩固相似三角形有关知识,积累数学活动的经验.
2.熟悉测量工具的使用技能,了解小镜子使用的物理原理.
1.通过测量活动,使学生初步学会数学建模的方法.
2.提高综合运用知识的能力.
在增强相互协作的同时,经历成功的体验,激发学习数学的兴趣.
1.测量旗杆高度的数学依据.
2.有序安排测量活动,并指导学生能顺利进行测量.
1.方法2中如何调节标杆,使眼睛、标杆顶端、旗杆顶部三点成一线.
2.方法3中镜子的适当调节.
分组活动.
.一、读一读:
课本P141~143内容
10分钟
利用相似三角形的性质来解决问题。
1.活动课目——测量旗杆的高度.首先我们应该清楚测量原理.请同学们根据预习与讨论情况分组说明三种测量方法的数学原理.
甲组:
利用阳光下的影子.
乙组:
利用标杆.
丙组同学出代表讲解.
2.想一想:
以上的例子是通过什么性质解决的?
我们今天的活动课目——测量旗杆的高度.首先我们应该清楚测量原理.请同学们根据预习与讨论情况分组说明三种测量方法的数学原理.
从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形(如图4-36),即△EAD∽△ABC,因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出,根据
可得BC=
,代入测量数据即可求出旗杆BC的高度.
[师]有理有据.你们讨论得很成功.请乙组出代表说明方法2.
利用标杆.(出示投影片§
4.7B)
图4-35
如图4-35,当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线AD与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于G,交标杆EF于H,于是得△DHF∽△DGC.
因为可以量得AE、AB,观测者身高AD、标杆长EF,且DH=AEDG=AB
由
得GC=
∴旗杆高度BC=GC+GB=GC+AD.
[同学A]我认为还可以这样做.
过D、F分别作EF、BC的垂线交EF于H,交BC于M,因标杆与旗杆平行,容易证明
△DHF∽△FMC
∴由
可求得MC的长.于是旗杆的长BC=MC+MB=MC+EF.
乙组代表:
如果这样的话,我认为测量观测者的脚到标杆底部距离与标杆底部到旗杆底部距离适合同学A的做法.这样可以减少运算量.
[师]你想得很周到,大家有如此出色的表现,老师感到骄傲,请丙组同学出代表讲解.
图4-36
[丙组]利用镜子的反射.(出示投影片§
4.7C)
这里涉及到物理上的反射镜原理,观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像,是倒立旗杆的顶端C′,∵△EAD∽△EBC′且△EBC′≌△EBC∴△EAD∽△EBC,测出AE、EB与观测者身高AD,根据
,可求得BC=
[师]同学们清楚原理后,请按我们事先分好的三大组进行活动,为节省时间,每组分出三个小组分别实施三种方法,要求每小组中有观测员,测量员,记录员,运算员,复查员.活动内容是:
测量我校操场上地旗杆高度.
[同学们紧张有序的进行测量]
[师]通过大家的精诚合作与共同努力,现在各组都得到了要求数据和最后结果,请各组出示结果,并讨论下列问题:
1.你还有哪些测量旗杆高度的方法?
2.今天所用的三种测量方法各有哪些优缺点?
三.练一练:
1.高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m,此时测得附近一个建筑物的影子长24m,求该建筑物的高度.
2.新域广场省政府办公楼前,五星红旗在空中飘扬,同学们为了测出旗杆的高度,设计了三种方案,如图
(1),图
(2),图(3)所示,并测得
(1)中,BO=60米;
OD=3.4米,CD=1.7米;
图
(2)中,CD=1米,FD=0.6米,EB=18米;
图(3)中,BD=90米,EF=0.2米,此人的臂长(GH)为0.6米。
请你任选其中的一种方案。
(1)说明其运用的物理知识。
(2)利用同学们实测的数据,计算出旗杆的高度。
四.记一记
利用三角形相似性质解决实际问题的常见方法.
4.8.1相似多边形的性质
相似三角形对应高的比,对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.
1.经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程,理解相似多边形的性质.
2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.
1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系,培养学生的探索精神和合作意识.
2.通过运用相似三角形的性质,增强学生的应用意识.
1.相似三角形中对应线段比值的推导.
2.运用相似三角形的性质解决实际问题.
相似三角形的性质的运用.
引导启发式
2.相似三角形对应高的比,对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.
课本P146~150内容
利用相似三角形对应高的比,对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.来解决问题。
1.钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件,如图,图纸上的△ABC表示该零件的横断面△A′B′C′,CD和C′D′分别是它们的高.
(1)
各等于多少?
如果相似,请说明理由,并指出它们的相似比.
(3)请你在图中再找出一对相似三角形.
(4)
等于多少?
你是怎么做的?
与同伴交流.
2.已知△ABC∽△A′B′C′,△ABC与△A′B′C′的相似比为k.
(1)如果CD和C′D′是它们的对应高,那么
(2)如果CD和C′D′是它们的对应角平分线,那么
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