高考理科数学天天练 25Word文档格式.docx
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C.D.
B
∵0<
1,∴x(3-3x)=3x(1-x)≤32=.当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立.
3.[2019·
长春质量监测]已知x>
0,y>
0,且4x+y=xy,则x+y的最小值为( )
A.8B.9
C.12D.16
由4x+y=xy得+=1,则x+y=(x+y)·
=++1+4≥2+5=9,当且仅当=,即x=3,y=6时取“=”,故选B.
4.若直线mx+ny+2=0(m>
0,n>
0)被圆(x+3)2+(y+1)2=1截得的弦长为2,则+的最小值为( )
A.4B.6
C.12D.16
由题意,圆心坐标为(-3,-1),半径为1,直线被圆截得的弦长为2,所以直线过圆心,即-3m-n+2=0,3m+n=2.所以+=(3m+n)=≥=6,当且仅当=时取等号,因此+的最小值为6,故选B.
5.[2019·
湖南永州模拟]已知三角形ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若+=2a,则△ABC是( )
A.等边三角形B.锐角三角形
C.等腰直角三角形D.钝角三角形
∵+=2a,由正弦定理可得,2sinA=+≥2=2,即sinA≥1,∴sinA=1,当且仅当=,即B=C时,等号成立,∴A=,b=c,∴△ABC是等腰直角三角形,故选C.
6.[2019·
开封模拟]已知实数x,y满足约束条件则z=x-2y的最大值是( )
A.B.
C.32D.64
解法一 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,设u=x-2y,由图知,当直线u=x-2y经过点A(1,3)时,u取得最小值,即umin=1-2×
3=-5,此时z=x-2y取得最大值,即zmax=-5=32,故选C.
解法二 由题易知z=x-2y的最大值在可行域的顶点处取得,只需求出顶点A,B,C的坐标分别代入z=x-2y,即可求得最大值.联立得解得A(1,3),代入可得z=32;
联立得解得B,代入可得z=;
联立得解得C(-2,0),代入可得z=4.通过比较可知,在点A(1,3)处,z=x-2y取得最大值32,故选C.
7.若实数x,y满足不等式组目标函数z=kx-y的最大值为12,最小值为0,则实数k=( )
A.2B.1
C.-2D.3
D
作出可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=kx-y可化为y=kx-z,若k≤0,则z的最小值不可能为0,若k>
0,当直线y=kx-z过点(1,3)时,z取最小值0,得k=3,此时直线y=kx-z过点(4,0)时,z取得最大值12,符合题意,故k=3.
8.[2019·
云南红河州统一检测]设x,y满足条件若目标函数z=ax+by(a>
0,b>
0)的最大值为2,则+的最小值为( )
A.25B.19
C.13D.5
A
不等式组表示的平面区域如图中阴影部分,当直线ax+by=z(a>
0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,目标函数z=ax+by(a>
0)取得最大值2,即2a+3b=1,所以(2a+3b)=13+6≥13+6×
2=25,当且仅当a=b=时等号成立,所以+的最小值为25,故选A.
二、非选择题
9.已知x<
,则f(x)=4x-2+的最大值为________.
1
因为x<
,所以5-4x>
0,则f(x)=4x-2+=-+3≤-2+3=1.
当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立.故f(x)=4x-2+的最大值为1.
10.[2019·
广东清远模拟]若x>
0,且+=1,则x+y的最小值是________.
16
因为x>
0,且+=1,所以x+y=(x+y)=10++≥10+2=16,当且仅当9x2=y2,即y=3x=12时等号成立.故x+y的最小值是16.
11.[2018·
全国卷Ⅰ]若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为________.
6
作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示.
由z=3x+2y得y=-x+.
作直线l0:
y=-x.平移直线l0,当直线y=-x+
过点(2,0)时,z取最大值,zmax=3×
2+2×
0=6.
12.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;
生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.
216000
由题意,设产品A生产x件,产品B生产y件,利润z=2100x+900y,线性约束条件为
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,又由x∈N,y∈N,可知取得最大值时的最优解为(60,100),所以zmax=2100×
60+900×
100=216000(元).
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河北卓越联盟联考]已知点(-3,-1)和(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,则实数a的取值范围为( )
A.(-7,24) B.(-∞,-7)∪(24,+∞)
C.(-24,7)D.(-∞,-24)∪(7,+∞)
由题意可知(-9+2-a)(12+12-a)<
0,所以(a+7)(a-24)<
0,所以-7<
a<
24.故选A.
2.[2019·
甘肃诊断]已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且a∥b,若x,y均为正数,则+的最小值是( )
C.8D.24
因为a∥b,故3(y-1)=-2x,整理得2x+3y=3,所以+=(2x+3y)=≥=8,当且仅当x=,y=时等号成立,所以+的最小值为8,故选C.
3.若正数x,y,a满足ax+y+6=xy,且xy的最小值为18,则a的值为( )
A.1B.2
C.4D.9
正数x,y,a满足ax+y+6=xy,且ax+y≥2,当且仅当ax=y时等号成立,所以xy≥6+2.令t=,则t2-2t-6≥0,由xy的最小值为18得t≥3,所以3为方程t2-2t-6=0的一个解,则18-6-6=0,得a=2.故选B.
4.[2019·
山东济宁模拟]已知a>
0,并且,,成等差数列,则a+9b的最小值为( )
A.16B.9
C.5D.4
∵,,成等差数列,∴+=1,∴a+9b=(a+9b)=10++≥10+2=16,当且仅当=且+=1即a=4,b=时等号成立,故选A.
5.已知a,b为正实数,函数y=2aex+b的图象过点(0,1),则+的最小值是( )
A.3+2B.3-2
C.4D.2
因为函数y=2aex+b的图象过点(0,1),所以2a+b=1.又a>
0,所以+=+=3++≥3+2,当且仅当=,即b=a时取等号,所以+的最小值是3+2.
6.已知x,y满足约束条件若z=x+4y的最大值与最小值之差为5,则实数λ的值为( )
A.3B.
C.D.1
作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中A(1,4),B(λ-3,λ).由z=x+4y,得y=-x+,作出直线y=-x,并平移,知当该直线经过点A时,z取得最大值,且最大值为1+4×
4=17;
当该直线经过点B时,z取得最小值,且最小值为λ-3+4λ=5λ-3.因为z=x+4y的最大值与最小值之差为5,所以17-(5λ-3)=20-5λ=5,得λ=3.故选A.
7.[2019·
太原模拟]已知点(x,y)所在的可行域如图中阴影部分所示(包含边界),若使目标函数z=ax+y取得最大值的最优解有无数多个,则a的值为( )
A.4B.
因为目标函数z=ax+y,所以y=-ax+z,易知z是直线y=-ax+z在y轴上的截距.分析知当直线y=-ax+z的斜率与直线AC的斜率相等时,目标函数z=ax+y取得最大值的最优解有无数多个,此时-a==-,即a=,故选D.
湖北联考]已知实数x,y满足则z=|2x-3y+4|的最小值为( )
由题意得,作出不等式组表示的平面区域,如图所示,设m=2x-3y+4,在直线2x-3y+4=0上方并满足约束条件的区域使得m的值为负数,在点A处m取得最小值,联立解得x=1,y=4,此时mmin=2×
1-3×
4+4=-6,则|m|max=6,在直线2x-3y+4=0下方并满足约束条件的区域使得m的值为正数,在点C处m取得最大值,联立解得x=2,y=1,即C(2,1),此时mmax=5,|m|max=5,故|m|max=6,故z=|2x-3y+4|在点A(1,4)处取得最小值,最小值为z=6=,故选D.
9.[2018·
全国卷Ⅱ]若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为________.
9
由不等式组画出可行域,如图(阴影部分).x+y取得最大值⇔斜率为-1的直线x+y=z(z看做常数)的横截距最大,
由图可得直线x+y=z过点C时z取得最大值.
由得点C(5,4),
∴zmax=5+4=9.
郑州模拟]已知不等式组表示的平面区域为D,若直线y=kx+1将区域D分成面积相等的两部分,则实数k的值是________.
区域D如图中的阴影部分所示,直线y=kx+1经过定点C(0,1),如果其把区域D划分为面积相等的两个部分,则直线y=kx+1只要经过AB的中点即可.
由方程组解得A(1,0).
由方程组解得B(2,3).
所以AB的中点坐标为,代入直线方程y=kx+1得,=k+1,解得k=.
11.设函数f(x)=x+,x∈[0,+∞).
(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;
(2)当0<
1时,求函数f(x)的最小值.
(1)当a=2时,f(x)=x+=x+1+-1≥2-1,当且仅当x+1=,即x=-1时取等号,所以f(x)min=2-1.
1时,任取0≤x1<
x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2).
因为0<
1,(x1+1)(x2+1)>
1,
所以1->
0,
因为x1<x2,所以x1-x2<0,
所以f(x1)-f(x2)<
0,故f(x1)<
f(x2),
即f(x)在[0,+∞)上为增函数.
所以f(x)min=f(0)=a.
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