数学家的故事16 黎曼文档格式.docx

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5岁的小黎曼开始在父亲指导下学习。

老黎曼是位优秀的教师。

他娓娓动听的讲解激起孩子强烈的求知欲望。

小黎曼对历史最感兴趣。

波兰人民争取独立和自由的历史，深深震撼着孩子幼小的心灵。

他含着热泪，一遍又一遍地听父亲讲述这些可歌可泣的历史的诗篇。

小黎曼在6岁学习算术。

在兄弟姐妹当中，他的数学天赋一开始就显得异常突出。

父亲绞尽脑汁出的难题不但难不倒他，反而激起他更大的热情。

很快，他就学父亲的样子，编题目给弟弟妹妹做。

他的题目构思巧妙，别具一格，甚至把老黎曼也吸引住了。

没有丰盛的食物，没有漂亮的衣服，一家人围着一张破旧的小圆桌，在数学百花园里追逐游戏，在面红耳赤的争论中享受到最大的乐趣。

创造的喜悦使小黎曼激动万分。

等到大家好不容易地越过他设计的第一个“陷阱”，他已经布置好了又一座更加引人人胜的“迷宫”。

一上l0岁，小黎曼跟从一位名叫肖尔兹的老师学习几何和更高深的算术。

肖尔兹是当地有名的教师。

可是他很快发现，自己已经落在学生的后面。

小黎曼对问题的解答常常比自己的更快更好。

读书在当时的汉诺威是属于少数有钱人家的奢侈品。

黎曼夫妇看到伯恩哈德比其他的孩子聪明得多，决心尽一切力量把他培养成一个有学问的人。

小黎曼14岁的时候，父亲送他到汉诺威的祖父家中，进了当地的大学预科学校。

离开温暖可爱的家庭，来到一个陌生的环境，小黎曼感到很不适应。

他寒伧的穿着和羞涩内向的性格成了富家子弟们取笑的对象。

他感到孤独。

即使自己的学习成绩总是在全班名列前茅，也不能使他得到安慰。

只有在亲人们的生日临近的日子里，他才感到真正的快乐：

他可以借这个难得的机会来施展一下自己创造的才能。

虽然口袋里只有少得可怜的几文钱，小黎曼每次总能够准备出一份使亲人们惊叹不已的礼物。

第二年，在母亲生日的时候，小黎曼设计制作了一张可以永久使用的日历，来祝愿她老人家健康长寿。

这件精致的、别出心裁的作品产生了预想不到的效果。

小黎曼的创造天才受到全班一致的公认。

从此以后，连最调皮的同学都来向他讨好，再也没有人来嘲笑和欺侮他了。

两年以后，祖父不幸病逝。

在汉诺威已经没有别的亲人。

小黎曼只好转学来到罗尼堡的预科学校。

在罗尼堡

小黎曼对学校的生活仍旧感到不适应。

虽然从学校到家要步行好几十里路，不论刮风下雨，小黎曼一有机会就往家里跑。

母亲担心他这样往返奔走会把身体累垮，不过小黎曼并不在乎。

家里亲切的气氛温暖着小黎曼孤独的心。

在学校里，小黎曼遇到一个重大的考验。

害怕遭人议论讥笑的怕羞心理，促使他要把自己的工作做得完美无缺，挑不出半点毛病。

在数学方面他毫无困难。

可是，在写作上要做到这一点却不是那么容易。

所以一到写作课，他的精神就紧张起来。

他每写一句都要反复琢磨，精心推敲，常常写了划掉，划掉了再写。

等到别的同学都已经交卷，小黎曼还在抱着头，冥思苦想。

谁见到这种情景，都不由得要为小黎曼捏一把汗。

其实，这种担心是多余的。

小黎曼写作的速度虽然慢得使人难受，但是质量却是高超的。

黎曼的文章，思路开阔，行文简洁，遣字造句，惜墨如金。

粗看起来，他的文字平淡无奇，可是愈看愈耐人寻味。

经过这段时间的刻苦磨炼，黎曼的写作技巧得到极大的提高。

他后来的两篇伟大杰作，从内容到形式都达到炉火纯青的地步。

其中的一篇，甚至连苛求的高斯也不得不承认，它晶莹剔透，完美无缺。

这时候，一位热心的希伯来语教师发现了这个天资聪敏、讨人喜欢的少年，特意把他接到自己的家里，和他一起研究希伯来语。

要从事神职工作就需要精通这种语言。

小黎曼知道自己说话结巴，羞于见人，而且对传道没有真正的兴趣，可是他仍然准备将来做一名传教士，因为这是父亲的意愿。

孝顺的小黎曼不愿使父亲难过，而且这也是他帮助父亲把全家从经济困境中挣脱出来的最好途径。

当然，黎曼的才能在数学而不在神学，预科学校校长舒莫弗斯比谁都了解这一点。

他特别允许黎曼可以自由使用他的私人图书馆，并且免修数学。

有一次，他拿出勒让德所著《数论》让黎曼带回去自学。

这是一部长达859页的巨著，论证严谨，内容艰深。

有不少章节，连专家阅读起来也感到难懂。

6天以后，黎曼还书来了。

舒莫弗斯大吃一惊。

他十分清楚，对一般人来说，花上一年半载能把它读完就算不错。

“怎么，读完啦?

黎曼轻轻地点点头，回答说：

“谢谢你。

这真是一部了不起的著作。

校长对学生的回答半信半疑，因为他自己阅读了近半年时间还留下一大堆疑问呢。

他乘机向这位少年提出自己的问题。

谁知黎曼对《数论》的内容了如指掌，就像这本书是他自己写的一样!

勒让德的著作使黎曼对素数之谜发生兴趣。

在《数论》中勒让德提出一个经验公式：

任意给出一个正数n，根据这个公式可以近似地求出小于数n的素数有多少个。

后来，黎曼在柏林科学院1859年的《每月评论》上发表一篇短短8页的论文《论小于已给数的素数的数目》，来进一步改进勒让德的工作。

他在论文中提出一个著名的“黎曼猜想”，这是今天向纯粹数学提出的挑战，如果不说是最引人注目的挑战，至少也是最引人注目的挑战之一。

谁要是能证明或者推翻这个假设，不仅可以在数学史上享有不朽的荣誉，而且附带地可以解决素数理论，解决数论和分析中许多极端困难的问题。

专家们一般都倾向于认为黎曼假设成立。

1914年英国数学家哈代证明：

有无穷多个数满足这个假设。

不过这还不够。

无穷多个数还不是所有的数。

它牵涉到一系列极其棘手的问题，仅仅用初等的方法是无法解决的。

今天，这个假设吸引了愈来愈多的人们的注意。

在罗尼堡，吸引黎曼的大数学家不只是勒让德一个人。

实际上，他是通过欧拉的著作来熟悉微积分和其他分支的。

这有点使人奇怪，因为从欧拉入手来学习分析，在当时已经显得过时。

后来的高斯、柯西和阿贝尔等人把分析大大向前推进。

但是，这样的起步并不影响黎曼成为一位严格的分析学家。

他的研究工作主要是受深刻的哲学思想

的指引而不是追求形式的优美或玩弄公式游戏。

不过，他的确从欧拉

那里学到不少技巧。

在这方面，欧拉无疑是举世无双的大师。

到黎曼从预科学校毕业的时候，事情已经十分清楚：

他的才能用来宣传“上帝的真理”派不上什么用场，如果去征服自然，就大有用武之地。

可惜，优柔寡断的性格妨碍黎曼果断地作出抉择。

1846年，黎曼考入格丁根大学。

他选择语言学和神学作为自己献身的专业。

大学生活

当神职人员的想法时时在黎曼的脑海中盘旋，而格丁根大学丰富多彩的数学讲座更是深深地牵动着他的心。

斯特恩的方程理论和定积分，高斯的最小二乘法，……它们好像是根无形的丝线拉着黎曼身不由己地朝这些讲座走去。

同自然界无比神妙的规律相比，关于天国的神话就显得贫乏而且索然无味。

日子一久，黎曼终于忍不住向父亲说出自己真正的志愿和爱好，恳求父亲同意他改修数学。

黎曼写一篇论文要字斟句酌，下极大的功夫，他写这封信丝毫不比写论文轻松。

信发出以后，黎曼感到极度的紧张。

他担心自己的决

定会使父亲难过。

可不是嘛，老黎曼本来指望儿子像自己一样做一名上帝的忠实仆人，而且他多么需要儿子来分担压在自己肩上的家庭负担!

但是，慈爱的父亲了解孩子的禀赋，也理解孩子的心情，他完全想像得到，孩子为了这封信曾经作了多么激烈而痛苦的斗争。

他不愿使儿子失望和难过，更不忍心儿子为家庭而葬送前程。

他满腔热情地支持孩子的抉择，鼓励他安心学习，不要为家庭的困难操心。

捧着父亲亲切的回信，就像捧着父亲一颗滚烫的心。

黎曼的热泪不禁滚滚而下。

通向数学宫殿的道路打通了!

其实岂止黎曼，全世界都将永远感激乔治·

黎曼这次难能可贵的支持!

在格丁根学习了一年，黎曼来到柏林。

柏林大学讲授的内容更加新颖诱人。

从雅可比那里，他学习力学和高等代数；

从狄利克雷那里学习数论和分析；

从斯泰纳那里学习近世几何；

从比他年长3岁的爱森斯坦那里，他不但学到了椭圆函数，还得到相互切磋，增强了信心。

在柏林，黎曼和爱森斯坦亲密得几乎形影不离。

可是在学术上，两人常常争论得面红耳赤。

对于理论应该怎样发展，黎曼和这位年轻的大师有一个根本的分歧。

爱森斯坦好像当年的欧拉，坚持形式的优美，而黎曼主张从少数几条最普遍的原理出发，作最少量的计算来建立整个理论。

黎曼一生坚持这种见解，并且构成他后来研究工作的重要风格。

这时候，黎曼的博士论文《复变函数一般理论的基础》的基本思想已经形成。

他要从分析而不是从几何来定义复变量的解析函数，并且由此建立起整个复变函数理论。

德国数学家约翰·

本尼狄克·

利斯廷（1806—1882）在1847年《格丁根研究》上一篇有关拓扑的论文促成了它的实现。

拓扑在本书第六章中曾经作过介绍。

可是，在欧拉以后，这个主题几乎无人问津。

利斯廷的文章重新燃起人们对它的兴趣。

黎曼立刻看出，这种方法对于复变函数理论具有根本的重要性。

创造性地利用拓扑方法来研究复变函数成为黎曼博士论文的一个重要特色。

不过对黎曼来说，有了基本思想是一回事，要书写成文又是一回事，因为这是一项伟大的工程，从内容到形式他一心要追求尽善尽美的境界。

在柏林学习两年，1849年秋天，黎曼回到格丁根。

对纯粹数学，黎曼固然兴致盎然，不过关于物理定律的工作才是他的主要兴趣。

通过数学去认识气象万千的物理世界使他心驰神往。

进行物理探索的需要和它的成果成为黎曼数学研究的重要源泉和动力。

黎曼博士论文中关于复变函数的思想正是他研究平面电流流动的时候受到的启发。

在格丁根的最后3学期，他怀着巨大热情跟随高斯的老同事威廉·

韦伯从事实验物理的研究。

韦伯看出黎曼的科学天才，很快成为他的好朋友和顾问。

第二年秋天，黎曼参加由韦伯、乌利治、斯特恩和利斯廷发起建立的数学物理班。

他埋头在实验室里观察放电现象和静电效应，研究光环和气体流动，测定热传导系数，……呈现在黎曼面前的物理世界是一个无比和谐而又紧密联系的整体。

许多现象根本无法用机械唯物论的哲学来解释，而牛顿绝对的时空观也显得过于笨拙。

他深切感到在研究工作中必须有正确的哲学思想作为指导。

他开始热心地参加各种哲学讲座，来了解先辈们对于宇宙的见解。

黎曼后来在谈到自己的哲学心得时这样说：

“可以建立一套完全的严密的数学理论，它由单个质点的基本定律出发，发展到我们所知道的现实空间所发生的过程，这里没有引力、电力、磁力和热力的区别。

人们常常根据这一段话来推断，黎曼在当时实际上已经反对物理学中“超距作用”那种古典理论而赞成现代流行的场论，因为在场论中，诸如一个带电质点周围空间的物理性质正是数学研究的课题。

历史上有不少大数学家写过有关物理科学的论文．可惜他们的理论常常同科学家实际观察到的宇宙相去很远。

黎曼比他们高明得多。

他有一种敏锐的直觉，知道在物理上什么才是重要的。

这种能力是从他大量的实验室工作和他同物理学家的频繁接触中获得的。

作为伟大的数学物理学家，黎曼和牛顿、高斯、爱因斯坦跻身于同一行列。

他们都从直觉上知道数学的科学用途。

黎曼深刻的物理思想对今天的物理学家来说是完全合情合理的；

可是在当时它显得过于大胆而且玄妙，以致除了像高斯这样有远见的大师，一般人都不能充分了解它的含义。

直到爱因斯坦时代，才实现黎曼把宏观的物理世界几何化的梦想。

数学物理班的活动占去黎曼大量的精力，不过，他没有忘记自己的首要任务——博士论文。

朋友们都在期待着它的问世。

有几次，稿子眼看就要完成，又被他撕掉了重写。

为了一个式子、一个符号不必说，即使是一个标点，他都要精心推敲。

但是，尽管缓慢，进展是确实的。

到1851年秋天，具有历史意义的博士论文终于完成了。

博士论文

1851年11月的一天，金色的阳光铺洒在格丁根天文台高斯的书房里。

黎曼的论文《复变函数一般理论的基础》正端放在高斯的书桌上。

冷静的高斯今天显得有点激动。

他一会儿把整个身子靠在安乐椅上，右手轻轻拍打着桌子，微仰着头，闭起眼睛在沉思；

一会儿推开椅子，在房间里踱来踱去。

数学上的创造真正能引起高斯由衷赞赏的为数并不多，而这篇字迹娟秀的博士论文无疑是其中之一。

多少年来，在数学园地上难得见到有这样使他赞叹不已的杰作了。

一位名叫黎曼的青年以他独特的方式建立了整个复变函数理论，从而使他和柯西一起，作为这个重要数学分支的光荣创始者而载入史册。

这是创造思想的伟大成果，也是严格论证的典范。

挑剔的高斯对论文反复看了两遍，实在挑不出半点毛病，终于把论文一阖，轻轻地吐出一个字：

“好!

数学王子决定见一见论文的作者。

三天以后，一位长着大胡子的身材修长的青年来拜访高斯。

白发苍苍的高斯端详着客人清秀的面庞和他羞涩的神情，心里已经猜到几分。

青年红着脸，轻轻地自我介绍说：

“打扰您了。

我是……”

不等黎曼说完，高斯紧紧握住他的手说：

“欢迎你，年轻人!

在书房里，高斯又把黎曼从头到脚细细地打量一番，并且高兴地告诉他：

他自己多年来一直在计划写这方面的论文，可是由于种种原因，没有完成。

现在黎曼出色地实现了这个愿望。

高斯兴奋的样子，就像论文是他自己写的一样。

第二天，在递交格丁根大学教授会的正式报告中，高斯热情洋溢地对论文作了评价：

“黎曼先生提出的论文提供一个令人信服的证据，作者对所处理的主题的有关方面有透彻深刻的研究，同时证明，黎曼先生有一个创造性的、积极活跃的和真正数学的头脑，并且具有极其丰富的首创精神。

文章清晰简洁，处处显得十分优美。

大多数读者可能希望，作者最好写得更加详尽些。

整个论文是一项实质性的工作，它不仅满足标准的博士论文的要求，而且远远超过了。

这样高度的赞誉出现在高斯的正式评价中，是绝无仅有的。

在高斯的最后岁月中，黎曼成了他心目中传奇式的形象。

一个月以后，黎曼的最后考试，包括论文的公开答辩，顺利通过。

黎曼满心喜悦，对未来充满希望。

在给父亲的信中，他这样写道：

“我相信这篇论文已经改善我的前景。

……我希望学习如何能写得更快些和更流畅些，特别是如果我参加一些社交活动和有机会讲课的话。

我的情绪很好。

在信中，他还向父亲解释为什么没有积极去争取到格丁根天文台当一名助手，因为他感到，取得大学教授资格的前景已经不像以前那样渺茫了。

意外的挑选

但是，黎曼高兴得太早了。

攀登科学高峰的路径他熟悉，对现实生活中的“门道”却一窍不通。

学术上取得一项成就并不意味着其他的困难都退避三舍。

实际上，翘首期望的教授职位还在遥远的高处；

仅仅为拿到私人教师的许可证，他还得奔走两三年!

当年的高斯要幸运些，他有斐迪南公爵的慷慨资助；

而黎曼，只能靠不定期来听课的为数寥寥的学生的学费勉强维持生活。

在艰苦的日子里，他着手准备一篇题为《关于利用三角级数表示一个函数的可能性》的评职论文，争取获得大学讲师资格。

这篇论文把函数的概念从欧拉“徒手画出的曲线”的框子中解放出来，给出今天称为“黎曼积分”的定义，为积分学指明了方向。

1852年，狄利克雷来格丁根度假。

他在当时德国数学界的地位仅次于高斯。

在柏林大学的时候，黎曼是狄利克雷的学生。

可惜不善交际的黎曼和这位老师并没有任何私人交往。

这一次，黎曼想利用这个难得的机会来征求他对论文初稿的意见。

在朋友们的热心安排下，这两位高斯的继承人在格丁根大学的会客室里正式见了面。

“第二天早晨，狄利克雷和我一起呆了两个钟头，”黎曼写信给父亲，报告这次历史性的会见，“他给我指出评职论文中所应该注意的地方；

看来我还得在图书馆里花许多时间来进行艰苦的研究。

狄利克雷非常友善地和我一起把我的论文看了一遍——考虑到我们两人之间的差距，这是我所不敢企望的。

我希望他以后会记得我。

狄利克雷的确不会忘记。

黎曼的谦逊和智慧给他留下难忘的印象。

后来，他作了许多努力来改善这位青年的处境。

在格丁根期间，狄利克雷约韦伯、黎曼等几位朋友一起到郊外远足。

白天，他们唱着歌，尽情地爬山，有时候到森林里采蘑菇。

晚上，在古色古香的乡村小旅店里，大家痛快淋漓地阐发自己的科学思想。

有激烈的交锋，也有深入的研讨。

从烟斗吐出的烟雾缭绕着飘忽不定的烛火，气氛热烈而欢愉。

平时拘谨害羞的黎曼这时候简直像换了一个人。

他的说话是那样机智明快，富于幽默感，不时激起朋友们的热烈响应和畅怀大笑。

在无拘无束的讨论中，他的才智得到最充分的发挥。

后来，黎曼在给父亲的信中说，这些看来和研究无关的活动，有时候比整天坐着看书更有收获。

黎曼对物理科学的兴趣愈来愈大。

对数学物理问题的紧张思考使他的评职论文一直到1853年底才完成。

但是要正式任命为讲师，按照规定还需要通过一次“演讲”。

他得提出3个演讲题目供教授会挑选。

有两个题目黎曼早有准备，可是，第三个题目——《几何的基础》，他的研究还没有最后完成。

不过，他并不过于担心。

按照“惯例”，教授会一般只挑选第一个题目，因为教授们知道这是演讲人最拿手的题材。

所以他决定把《几何的基础》填在最后，希望不致被选中。

谁知道，这一次情况完全不同。

几何的基础是高斯思索了60多年的心爱的课题。

一看到黎曼交上来的题目单，高斯毫不犹豫地在第三个题目下面打了一个“√”。

他很想知道，这位“具有极其丰富的首创精神”的青年在这样深刻的主题上持有什么样的见解。

心想或许“不至于”，不料偏偏“刚巧是”!

黎曼懊丧万分。

命运好像故意和他作对。

为了取得讲师的资格，他还得走一段艰巨的历程!

历史性的演讲

“既然得完成这个课题，就使我又一次陷于困境，”焦急的年轻人向父亲诉苦说。

“当演讲的题目发给我的时候，我正沉醉在我的研究——把所有的物理定律统一起来——而无法摆脱。

和高斯以及后来以爱因斯坦为代表的一代一代大物理学家一样，黎曼对于把所有的物理定律统一起来的理论有莫大的兴趣。

黎曼发现，一向被认为是毫不相干的电、磁、光和引力之间存在微妙的联系。

由于种种原因，首先是由于健康上的原因，黎曼没有得到像麦克斯韦和爱因斯坦那样最后的成果，但是，他的工作无疑对近代物理的发展产生巨大的影响。

黎曼面临严峻的挑战。

两项极端困难的研究同时进行。

一面要完成演讲的论文，一面正进行着电、磁、光和引力之间联系的紧张研究，并且作为韦伯的助手，要做大量的实验。

可是，在生活上他仍旧一贫如洗。

当年的高斯在运气好的时候还能喝上一两杯加糖的咖啡；

那么对黎曼来说，白开水就是他唯一的饮料。

科学的历史告诉我们，人类思想的许多伟大成果正是从白开水加面包中酿制出来的。

这大概有一个好处：

节省时间。

黎曼把自己关在房间里，好几个星期不露面。

在他的书桌上，除了书籍和草稿，就是一杯白开水和几片干面包。

为了怕受凉，他买不起帽子，就用一块旧布把头裹起来。

天黑下来，点上一支蜡烛；

实在困乏了，就靠在椅子上打一个盹；

饿啦，就着白开水塞进两片面包。

在这里，没有白天和黑夜的区别，工作连续进行。

谁也不能指望这样不顾一切地工作而不受惩罚。

高烧，咳嗽，头疼欲裂，……他病倒了!

后来在日记里，黎曼有这样的记载：

“………部分是由于我长时间紧张的思考，部分是由于我在这种天气里在屋子里呆的时间过长，我终于病了。

我的老毛病开始发作，而且极其顽固。

我无法继续工作。

直到几个星期以后，天气好转，参加一些社交活动，我才开始感到稍微好一些。

……”

复活节后两星期，黎曼病体康复。

他立即投入工作。

经过几个星期的奋战，在圣灵降临节前夕，具有历史意义的演讲稿完成了!

可是，好事多磨。

要确定演讲的日期又遇到麻烦。

演讲会的主持人高斯突然病重!

大家担心他可能活不了几天。

幸好经过医生抢救，高斯又一次奇迹般地战胜了死神。

高斯打算把演讲安排在8月份举行，因为健康的恢复需要一段时间。

可是心情焦急的黎曼请求他无论如何不要把演讲拖到秋天。

高斯理解青年的心情。

他不顾自己身体的虚弱，在圣灵降临节后的星期五通知黎曼，演讲在第二天上午11点举行。

黎曼没有使高斯失望。

更确切地说，黎曼的演讲大大出乎高斯的意料。

演讲一结束，会场响起一片热烈的掌声，来庆祝黎曼几何的诞生。

从教授会出来，年迈的高斯抑制不住内心的激动，一路上大声地向威廉·

韦伯说明自己对黎曼提出的思想的最高评价。

对高斯来说，这样的热情实在是罕见的。

黎曼的演讲比任何药物更加有效地使高斯恢复健康。

为了使不大懂数学的听众也能听懂，黎曼煞费了苦心。

但是，应该说，在1854年的原稿中，黎曼的几何思想表达得还不十分清晰。

这一方面是因为他没有利用任何分析的技巧，同时也与文章开头部分的哲学议论有关。

1868年，黎曼逝世以后第二年，这次历史性的演讲以《关于作为几何基础的假设》为题正式出版，立刻在数学界激起巨大的反响。

世界各国的数学家纷纷争先恐后地来充实和推广黎曼所概述的革命性的思想。

为迎接相对论诞生所必需的数学工具准备就绪了!

黎曼几何

黎曼以前的几何学家是把空间作为一个整体来研究的。

无论在欧几里得几何还是罗巴切夫斯基的非欧几何，都是在整个空间中先确定有哪几条公理成立，然后从这些公理出发，推导出其余的命题。

根据所选的公理不同，就形成不同的几何体系。

这样，就十分自然地提出一个问题：

这些公理是根据什么来选取的呢?

如果回顾一下历史上对欧几里得平行公理的长期争论，问题的实质就是，在物理空间中，究竟什么是我们可以确信的。

至于一向被信奉为神圣的“永恒的真理”的欧几里得公理，在黎曼看来，与其说它是不证自明的，不如说是经验性的。

实际上，它只符合于一张薄纸上那种小范围的实验，而且连纸面上的皱折和纸的边缘部分也不适用。

黎曼还认识到，在几何证明里，由于感觉上的原因，我们可能会不自觉地假定一些类似欧几里得平行公理那样不是显然可以接受的事实，譬如说，认为存在一个直线三角形，它的面积大于任何给定的面积等等。

因此，黎曼决定采用一种截然相反的途径来研究空间：

从研究空间的局部性质入手，利用分析方法而不是几何的方法来推导出一切必然的结论。

高斯在具有划时代意义的《关于曲面的一般研究》中提出了一个全新的概念：

一张曲面本身就是一个空间。

不过他当时考虑的只是三维空间。

黎曼把这个概念推广到n维空间。

在古典的解析几何中，平面上的坐标是两个数（x1，x2），它代表着平面上的一个点；

立体中的坐标是三个数（x1，x2,x3），它代表着三维空间中的一个点。

现在，黎曼把有序的n个数（x1，x2,…,xn）看做是n维空间（黎曼称它为n维流形）的坐标，它代表着n维流形上的一个点。

所有这些可能的点的集合就构成n维流形本身。

当这n个数连续变化的时候，对应的点就遍历这个流形。

黎曼认为，要判定空间（流形）的性质，关键在于两点间的距离。

从甲地到乙地，随着它们之间地形的不同，