量子力学复习资料题大题.docx
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量子力学复习资料题大题
1.2在0K附近,钠的价电子能量约为3eV,求其德布罗意波长。
解根据德布罗意波粒二象性的关系,可知
E=hv,
如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(),那么
如果我们考察的是相对性的光子,那么
E=pc
注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有
在这里,利用了
以及
最后,对
作一点讨论,从上式可以看出,当粒子的质量越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强;同样的,当粒子的动能越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强,由于宏观世界的物体质量普遍很大,因而波动性极弱,显现出来的都是粒子性,这种波粒二象性,从某种子意义来说,只有在微观世界才能显现。
1.3氦原子的动能是(k为玻耳兹曼常数),求T=1K时,氦原子的德布罗意波长。
解根据
,
知本题的氦原子的动能为
显然远远小于这样,便有
这里,利用了
最后,再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论,由某种粒子构成的温度为T的体系,其中粒子的平均动能的数量级为kT,这样,其相应的德布罗意波长就为
据此可知,当体系的温度越低,相应的德布罗意波长就越长,这时这种粒子的波动性就越明显,特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时,粒子间的相干性就尤为明显,因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布,而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。
p.52
2.1.证明在定态中,几率流密度与时间无关。
证:
对于定态,可令
可见无关。
2.2由下列两定态波函数计算几率流密度:
从所得结果说明表示向外传播的球面波,表示向内(即向原点)传播的球面波。
解:
在球坐标中
同向。
表示向外传播的球面波。
可见,反向。
表示向内(即向原点)传播的球面波。
补充:
设,粒子的位置几率分布如何?
这个波函数能否归一化?
∴波函数不能按方式归一化。
其相对位置几率分布函数为
表示粒子在空间各处出现的几率相同。
#
3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子,势阱的宽度为,如果粒子的状态由波函数
描写,A为归一化常数,求粒子能量的几率分布和能量的平均值。
解:
由波函数的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。
粒子能量的本征函数和本征值为
能量的几率分布函数为
先把归一化,由归一化条件,
∴
∴
∴
3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动,势能为
求粒子的能级和定态波函数。
解:
据题意,在的区域,,所以粒子不可能运动到这一区域,即在这区域粒子的波函数
()
由于在的区域内,。
只求角动量为零的情况,即,这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。
即粒子的几率分布与角度无关,是各向同性的,因此,粒子的波函数只与有关,而与无关。
设为,则粒子的能量的本征方程为
令,得
其通解为
波函数的有限性条件知,有限,则
A=0
∴
由波函数的连续性条件,有
∵∴
∴
其中B为归一化,由归一化条件得
∴
∴归一化的波函数
4.3求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。
解:
定态薛定谔方程为
即
两边乘以,得
令
跟课本P.39(2.7-4)式比较可知,线性谐振子的能量本征值和本征函数为
式中为归一化因子,即
#
4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
解:
5.3设一体系未受微扰作用时有两个能级:
,现在受到微扰的作用,微扰矩阵元为;都是实数。
用微扰公式求能量至二级修正值。
解:
由微扰公式得
得
∴能量的二级修正值为
5.7计算氢原子由2p态跃迁到1s态时所发出的光谱线强度。
解:
若,则#
7.1.证明:
证:
由对易关系及
反对易关系,得
上式两边乘,得
∵
∴
7.5设氢的状态是
①求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值;
②求总磁矩
的z分量的平均值(用玻尔磁矩子表示)。
解:
可改写成
从ψ的表达式中可看出的可能值为0
相应的几率为
的可能值为
相应的几率为
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