等腰三角形的典型模型专题练习解析版Word格式.docx
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∴∠PAR=∠PAS,∴PA平分∠BAC.
②由①中的全等也可得AS=AR.
③∵AQ=PQ,
∴∠1=∠APQ,
∴∠PQS=∠1+∠APQ=2∠1,
又∵PA平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠1,
∴∠PQS=∠BAC,
∴PQ//AR.
④∵PR⊥AB,PS⊥AC,
∴∠BRP=∠CSP,
∵PR=PS,
∴△BRP不一定全等于△CSP(只具备一角一边的两三角形不一定全等).
4、如图,在△ABC中∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O,MN过点O,且MN//BC,分别交AB、AC于点M、N,若MN=5cm,CN=2cm,则BM=______cm.
3
∵BO平分∠ABC,
∴∠ABO=∠CBO.
∵MN//BC.
∴∠MOB=∠OBC,
∴∠ABO=∠MOB,
∴BM=OM.
同理,ON=CN,
∴BM=MN-CN=5-2=3cm.
故答案为:
3.
5、如图,∠ABC=50°
,BD平分∠ABC,过D作DE//AB交BC于点E,若点F在AB上,且满足DF=DE,则∠DFB的度数为______.
130°
或50°
如图,DF=DF’=DE.
∵BD平分∠ABC,由图形的对称性可知:
△BDEmathbf△BDF,
∴∠DFB=∠DEB.
∵DE//AB,∠ABC=50°
,
∴∠DEB=180°
-50°
=130°
.
∴∠DFB=130°
当点F位于点F’处时,
∵DF=DF’,
∴∠DF’B=∠DFF’=50°
故答案是:
50°
或130°
6、如图,在△ABC中,BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线,过点E作DF//BC交AB于D,交AC于F,若AB=4,AC=3,则△ADF周长为______.
7
∵BE,CE为∠ABC和∠ACB的平分线,
∴∠1=∠2,∠5=∠6,
∵DF//BC,
∴∠2=∠3,∠4=∠6,
∴∠1=∠3,∠4=∠5,
∴DB=DE,FE=FC,
∴C△ADF=AD+DF+AF
=AD+AF+DE+EF
=AD+AF+DB+FC
=AB+AC
=7.
7、已知如图:
△ABC中,AB=AC,∠B、∠C的平分线相较于点O,过点O作EF//BC分别交AB、AC于E、F.
(1)写出线段EF与BE、CF之间的数量关系?
(不证明)
(2)若AB≠AC,其他条件不变,如图,图中线段EF与BE、CF间是否存在
(1)中数量关系?
请说明理由.
(3)若△ABC中,AB≠AC,∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O,过点O作OE//BC交AB于E,交AC于F,如图,这时图中线段EF与BE、CF间存在什么数量关系?
(1)EF=BE+CF.
(2)仍然有EF=BE+CF.
(3)EF=BE-CF.
(2)仍然有EF=BE+CF,理由如下:
∵EF//BC,
∴∠EOB=∠OBC,
∴∠EBO=∠OBC,
∴∠EOB=∠EBO,
∴OE=BE,同理OF=FC,
∴EF=EO+OF=BE+CF.
(3)EF=BE-CF,理由如下:
∵OE//BC,
∴∠EOC=∠OCD,
∵CO平分∠ACD,
∴∠FCO=∠OCD,
∴∠FCO=∠FOC,
∴OF=CF,
同理可得到BE=EO,
∴EF=EO-FO=BE-CF.
8、如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线交于点F,过点F作DF//BC,交AB于点D,交AC于点E.
(1)图中除△ABC之外,还有几个等腰三角形,请分别写出来.
(2)若EC=6,BD=8,求DE的长.
(1)△DAE,△DBF,△ECF是等腰三角形.______
(2)2.
(1)有题意可知∠ABF=∠CBF=∠DFB,∠A=∠DEA=∠BCA,∠DFC=∠ACF=∠FCG,
∴△DAE,△DBF,△ECF是等腰三角形.______
(2)∵DF//BC,
∴∠DFB=∠FBC,
又∵BF是∠ABC的角平分线,
∴∠ABF=∠CBF,
∴∠DBF=∠DFB,
∴△DBF是等腰三角形,
∴DF=DB=8.
又DF//BC,
∴∠DFC=∠FCG,
又∵CF是∠ACG的角平分线,
∴∠FCG=∠DFC,
∴∠ACF=∠DFC,
∴△ECF是等腰三角形,
∴EF=EC=6,
∴DE=DF-EF=8-6=2.
模型二、角平分线+垂线
9、如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为点D,交AC于点E,∠A=∠ABE,AC=5,BC=3,则BD的长为().
A.1B.1.5C.2D.2.5
A
∵CD平分∠ACB,BE⊥CD,
∴BC=CE.
又∵∠A=∠ABE,
∴AE=BE.
∴BD=
BE=
AE=
(AC-BC).
∵AC=5,BC=3,
(5-3)=1.
选A.
10、在△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,线段AD是△ABC的角平分线,过点B作AD的垂线交AD的延长线于点E,若BE=4,则AD=______.
8
延长AC,与BE交于点F,
∵∠ADC+∠CAD=90°
∠EBD+∠BDE=90°
∠BDE=∠ADC,
∴∠EBD=∠DAC,
在△CBF和△CAD中,
∴△CBF≌△CAD(ASA),
∴AD=BF,
∵△ABF中,AE⊥BF,∠BAE=∠FAE,
∴△ABF是等腰三角形,
∴BE=EF,
∴AD=2BE=8.
8.
11、如图,在△ABC中,BE是∠ABC的角平分线,AD⊥BE,垂足为D.求证:
∠2=∠1+∠C.
证明见解答.
如图,延长AD交BC于F.
∵∠ABD=∠FBD,BD=BD,
∠ADB=∠FDB=90°
∴Rt△ABD≌Rt△FBD.
于是∠2=∠DFB.
∵∠DFB=∠1+∠C,
∴∠2=∠1+∠C.
12、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,CD⊥AD与点D,∠ACD=2∠B,若CD=8,AB=26,求AC的长.
AC=10.
如图,延长CD交AB于点E.
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2.
∵CD⊥AD,
∴∠ADE=∠ADC=90°
∵在△ADE和△ADC中
∴△ADE≌△ADC(ASA).
∴DE=CD=8.
∠AEC=∠ACD.
又∵∠ACD=2∠B,
∠AED=∠B+∠ECB.
∴∠B=∠ECB.
∴BE=CE=16,
∴AC=AE=AB-BE=10.
模型三、垂直平分线
13、如图,在△ABC中,∠A=105°
,AC的垂直平分线MN交BC于点E,AB+BE=BC,则∠B的度数是().
A.45°
B.50°
C.55°
D.60°
连接AE,
∵MN垂直平分AC,
∴AE=CE,
∴∠EAC=∠C,
∴∠AEB=2∠C,
又∵AB+BE=BC,
∴AB=AE=CE,
∴∠ABE=∠AEB=2∠C,
又∵∠A=105°
∴∠B=
×
2=50°
14、如图,等腰△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,∠DBC=15°
,则∠A的度数是().
A.35°
B.40°
C.50°
D.55°
∵DM是AB的垂直平分线,
∴AD=BD,
∴∠ABD=∠A,
∵等腰△ABC中,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=
-∠A=15°
解得:
∠A=50°
选C.
15、如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=20°
,线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE,则∠CBE为______度.
60
∵AB=AC,∠A=20°
,∴∠ABC=∠C=80°
.∵线段AB的垂直平分线交AB于D,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=20°
,∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=80°
-20°
=60°
16、如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°
,∠A=15°
,AB的垂直平分线与AC交于点D,与AB交于点E,连接BD,若AD=14,则BC的长为______.
∵DE是AB的垂直平分线,
∴AD=BD=14,
∴∠A=∠ABD=15°
∴∠BDC=∠A+∠ABD=15°
+15°
=30°
在Rt△BCD中,BC=
BD=
14=7.
17、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°
,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F,CF=3,则BF的长为______.
6
连接AF,
∵AB=AC,∠BAC=120°
∴∠B=∠C=
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F,
∴CF=AF,
∴∠FAC=∠C=30°
∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°
-30°
=90°
在Rt△ABF中,∠B=30°
∴BF=2AF,
∴BF=2CF=6.
18、在△ABC中,∠ACB=90°
,∠A=30°
,AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D、E.
(1)求证:
AE=2CE.
(2)连接CD、请判断△BCD的形状,并说明理由.
(1)证明见解答.
(2)△DBC为等边三角形.
(1)连BE,
∵ED垂直平分AB,
∴EA=EB,
∴∠EAB=∠EBA,
∵∠A=30°
,∠C=90°
∴∠ABC=60°
,∠EBC=30°
∵在Rt△EBC中,∠EBC=30°
∴BE=2EC,
∵EB=EA,
∴AE=2CE.
(2)∵ED垂直平分AB,
∴AD=DB,
∵在Rt△ACB中,∠C=90°
∴CD=BD,
又∵∠ABC=60°
∴△DBC为等边三角形.
19、如图,在△ABC中,DE,FG分别是AB,AC的垂直平分线,连接AE,AF,已知∠BAC=80°
,请运用所学知识,确定∠EAF的度数.
20°
在△ABC中,∠BAC=80°
∴∠B+∠C=180°
-∠BAC=100°
∴EB=EA,
∴∠BAE=∠B,
同理可得∠CAF=∠C,
∴∠EAF=∠BAE+∠CAF-∠BAC
=∠B+∠C-∠BAC=20°
模型四、倍角
20、如图,△ABC中,AD⊥BC于D,∠B=2∠C,求证:
AB+BD=CD
延长CB到点E,使得BE=AB,连接AE
得△ABE为等腰三角形
,∴∠1=∠E,∠B=2∠E
∵∠B=2∠C
∴∠C=∠E
∴△ACE为等腰三角形
∵AD⊥BC
∴CD=DE
∴AB+BD=BE+BD=DE=CD
21、如图,在△ABC中,∠ACB=2∠B,BC=2AC.求证:
∠A=90°
作CD平分∠ACB交AB于D,过D作DE⊥BC于E,
∵∠ACB=2∠B,CD平分∠ACB
∴∠B=∠BCD
即△DBC是等腰三角形
∵DE⊥BC
∴BC=2CE
又BC=2AC
∴AC=CE
易证≌△ACD≌△ECD(SAS)
∴∠A=∠DEC=90°
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