江苏专用版高考数学一轮复习第十一章统计111随机抽样理含答案Word文件下载.docx
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(5)分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.( ×
1.(教材改编)某公司有员工500人,其中不到35岁的有125人,35~49岁的有280人,50岁以上的有95人,为了调查员工的身体健康状况,从中抽取100名员工,则应在这三个年龄段分别抽取人数为______________.
答案 25,56,19
解析 因为125∶280∶95=25∶56∶19,
所以抽取人数分别为25人,56人,19人.
2.(2015·
四川改编)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是____________.
答案 分层抽样
解析 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法.
3.将参加英语口语测试的1000名学生编号为000,001,002,…,999,从中抽取一个容量为50的样本,按系统抽样的方法分为50组,如果第一组编号为000,001,002,…,019,且第一组随机抽取的编号为015,则抽取的第35个编号为________.
答案 695
解析 由题意可知,第一组随机抽取的编号l=15,
分段间隔数k=
=
=20,则抽取的第35个编号为a35=15+(35-1)×
20=695.
4.(教材改编)某公司共有1000名员工,下设若干部门,现采用分层抽样方法,从全体员工中抽取一个样本容量为80的样本,已告知广告部门被抽取了4个员工,则广告部门的员工人数为________.
答案 50
解析
,x=50.
5.(2014·
天津)某大学为了了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取________名学生.
答案 60
解析 根据题意,应从一年级本科生中抽取的人数为
×
300=60.
题型一 简单随机抽样
例1
(1)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为________.
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
(2)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的有________.
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.
②盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.
④某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.
答案
(1)01
(2)①②③④
解析
(1)由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.
(2)①不是简单随机抽样.
②不是简单随机抽样.由于它是放回抽样.
③不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取.
④不是简单随机抽样.因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的,不存在随机性,不是等可能抽样.
思维升华 应用简单随机抽样应注意的问题
(1)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:
一是抽签是否方便;
二是号签是否易搅匀.一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.
(2)在使用随机数表法时,如遇到三位数或四位数,可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起,每三个或四个作为一个单位,自左向右选取,有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.
下列抽样试验中,适合用抽签法的有________.
①从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验;
②从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验;
③从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验;
④从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验.
答案 ②
解析 ①,④中的总体中个体数较多,不适宜抽签法,③中甲、乙两厂的产品质量有区别,也不适宜抽签法.
题型二 系统抽样
例2
(1)(2015·
湖南)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:
分钟)的茎叶图如图所示
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________.
(2)某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为________.
答案
(1)4
(2)12
解析
(1)由题意知,将1~35号分成7组,每组5名运动员,成绩落在区间[139,151]的运动员共有4组,故由系统抽样法知,共抽取4名.
(2)由
=20,即每20人抽取1人,所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为
=12.
引申探究
1.本例
(2)中条件不变,若第三组抽得的号码为44,则在第八组中抽得的号码是________.
答案 144
解析 在第八组中抽得的号码为(8-3)×
20+44=144.
2.本例
(2)中条件不变,若在编号为[481,720]中抽取8人,则样本容量为________.
答案 28
解析 因为在编号[481,720]中共有720-480=240人,又在[481,720]中抽取8人,
所以抽样比应为240∶8=30∶1,又因为单位职工共有840人,所以应抽取的样本容量为
=28.
思维升华
(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本容量也较大.
(2)使用系统抽样时,若总体容量不能被样本容量整除,可以先从总体中随机地剔除几个个体,从而确定分段间隔.
(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法,一旦起始编号确定,其他编号便随之确定.
将参加夏令营的600名学生编号为001,002,…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为______________.
答案 25,17,8
解析 由题意及系统抽样的定义可知,将这600名学生按编号依次分成50组,每一组各有12名学生,第k(k∈N*)组抽中的号码是3+12(k-1).
令3+12(k-1)≤300得k≤
,因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25;
令300<
3+12(k-1)≤495得
<
k≤42,因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42-25=17.故抽取三个营的人数分别为25,17,8.
题型三 分层抽样
命题点1 求总体或样本容量
例3 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=________.
答案 13
解析 ∵
,∴n=13.
命题点2 求某层入样的个体数
例4 (2015·
福建)某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为________.
答案 25
解析 由题意知,男生共有500名,根据分层抽样的特点,在容量为45的样本中男生应抽取人数:
45×
=25.
思维升华 分层抽样问题类型及解题思路
(1)求某层应抽个体数量:
按该层所占总体的比例计算.
(2)已知某层个体数量,求总体容量或反之:
根据分层抽样就是按比例抽样,列比例式进行计算.
(3)确定是否应用分层抽样:
分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况.
(1)(2014·
广东改编)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为____________.
(2)(2014·
湖北)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为________件.
答案
(1)200,20
(2)1800
解析
(1)该地区中小学生总人数为
3500+2000+4500=10000,
则样本容量为10000×
2%=200,其中抽取的高中生近视人数为2000×
2%×
50%=20.
(2)设乙设备生产的产品总数为x件,则甲设备生产的产品总数为(4800-x)件.由分层抽样特点,结合题意可得
,解得x=1800.
五审图表找规律
典例 (14分)某单位有2000名职工,老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中,如下表所示:
人数
管理
技术开发
营销
生产
共计
老年
40
80
200
中年
120
160
240
600
青年
280
720
1200
320
480
1040
2000
(1)若要抽取40人调查身体状况,则应怎样抽样?
(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会,则应怎样抽选出席人?
(3)若要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解,则应怎样抽样?
抽取40人调查身体状况
↓(观察图表中的人数分类统计情况)
样本人群应受年龄影响
↓(表中老、中、青分类清楚,人数确定)
要以老、中、青分层,用分层抽样
↓
要开一个25人的座谈会
↓(讨论单位发展与薪金调整)
样本人群应受管理、技术开发、营销、生产方面的影响
↓(表中管理、技术开发、营销、生产分类清楚,人数确定)
要以管理、技术开发、营销、生产人员分层,用分层抽样
要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解
↓可认为亚运会是大众体育盛会,一个单位人员对情,况了解相当
将单位人员看作一个整体
↓(从表中数据看总人数为2000人)
人员较多,可采用系统抽样
规范解答
解
(1)按老年、中年、青年分层,用分层抽样法抽取,
抽取比例为
.[1分]
200×
=4(人),600×
=12(人),
1200×
=24(人).
故老年人、中年人、青年人各抽取4人、12人、24人.[5分]
(2)按管理、技术开发、营销、生产分层,用分层抽样法抽取,
,[6分]
160×
=2(人),320×
=4(人),
480×
=6(人),1040×
=13(人),[9分]
故管理、技术开发、营销、生产各部门抽取2人、4人、6人、13人.[10分]
(3)用系统抽样,
对全部2000人随机编号,号码从0001~2000,每100号分为一组,从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码,然后将这个号码分别加100,200,…,1900,共20人组成一个样本.[14分]
温馨提醒
(1)本题审题的关键有两点,一是对图表中的人员分类情况和数据要审视清楚;
二是对样本的功能要审视准确.
(2)本题易错点是,对于第
(2)问,由于对样本功能审视不准确,按老、中、青三层分层抽样.
[方法与技巧]
1.简单随机抽样的特点:
总体中的个体性质相似,无明显层次;
总体容量较小,尤其是样本容量较小;
用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性;
个体间无固定间距.
2.系统抽样的特点:
适用于元素个数很多且均衡的总体;
各个个体被抽到的机会均等;
总体分组后,在起始部分抽样时,采用简单随机抽样.
3.分层抽样的特点:
适用于总体由差异明显的几部分组成的情况;
分层后,在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样.
[失误与防范]
进行分层抽样时应注意以下几点:
(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定,总的原则是层内样本的差异要小,两层之间的样本差异要大,且互不重叠.
(2)为了保证每个个体等可能入样,所有层中每个个体被抽到的可能性相同.
A组 专项基础训练
(时间:
30分钟)
1.为了了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是________.
①简单随机抽样;
②按性别分层抽样;
③按学段分层抽样;
④系统抽样.
答案 ③
解析 不同的学段在视力状况上有所差异,所以应该按照学段分层抽样.
2.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为________.
答案 8
解析 设样本容量为N,则N×
=6,∴N=14,
∴高二年级所抽学生人数为14×
=8.
3.某初级中学有学生270人,其中一年级108人,二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,…,270,使用系统抽样时,将学生统一随机编号为1,2,…,270,并将整个编号依次分为10段,如果抽得号码有下列四种情况:
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270
关于上述样本的下列结论中,正确的是________.(填字母)
a.②、③都不能为系统抽样b.②、④都不能为分层抽样
c.①、④都可能为系统抽样d.①、③都可能为分层抽样
答案 d
解析 因为③为系统抽样,所以a不对;
因为②为分层抽样,所以b不对;
因为④不为系统抽样,所以c不对.
4.从编号为1~50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验,若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取5枚导弹的编号可能是________.
①5,10,15,20,25②3,13,23,33,43
③1,2,3,4,5④2,4,6,16,32
解析 间隔距离为10,故可能的编号是3,13,23,33,43.
5.(2015·
北京改编)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为________.
类别
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
答案 180
解析 由题意得,抽样比为
,∴该样本的老年教师人数为900×
=180(人).
6.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取________名学生.
答案 15
解析 抽取比例与学生比例一致.
设应从高二年级抽取x名学生,则x∶50=3∶10.解得x=15.
7.某校共有学生2000名,各年级男、女学生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为________.
一年级
二年级
三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
答案 16
解析 依题意可知二年级的女生有380人,那么三年级的学生人数应该是2000-373-377-380-370=500,即总体中各个年级的人数比为3∶3∶2,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64×
=16.
8.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名学生从1~160编号,按编号顺序平均分成20组(1~8号,9~16号,…,153~160号),若第16组抽出的号码为123,则第2组中应抽出个体的号码是________.
答案 11
解析 由题意可知,系统抽样的组数为20,间隔为8,设第1组抽出的号码为x,则由系统抽样的法则可知,第n组抽出个体的号码应该为x+(n-1)×
8,所以第16组应抽出的号码为x+(16-1)×
8=123,解得x=3,所以第2组中应抽出个体的号码为3+(2-1)×
8=11.
9.将某班的60名学生编号为01,02,…,60,采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本,且随机抽得的一个号码为04,则剩下的四个号码依次是______________.
答案 16,28,40,52
解析 编号组数为5,间隔为
=12,
因为在第一组抽得04号:
4+12=16,16+12=28,28+12=40,40+12=52,
所以其余4个号码为16,28,40,52.
10.某政府机关有在编人员100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人.上级机关为了了解政府机构改革意见,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽取,请具体实施抽取.
解 用分层抽样方法抽取.
具体实施抽取如下:
(1)∵20∶100=1∶5,∴
=2,
=14,
=4,
∴从副处级以上干部中抽取2人,从一般干部中抽取14人,从工人中抽取4人.
(2)副处级以上干部与工人的人数较少,他们分别按1~10编号与1~20编号,然后采用抽签法分别抽取2人和4人;
对一般干部70人采用00,01,02,…,69编号,然后用随机数表法抽取14人.
(3)将2人,4人,14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本.
B组 专项能力提升
20分钟)
11.(2014·
湖南改编)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则________.
①p1=p2<
p3②p2=p3<
p1
③p1=p3<
p2④p1=p2=p3
答案 ④
解析 由于三种抽样过程中,每个个体被抽到的概率都是相等的,因此p1=p2=p3.
12.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B的人数为________.
答案 10
解析 由系统抽样的特点知:
抽取号码的间隔为
=30,抽取的号码依次为9,39,69,…,939.落入区间[451,750]的有459,489,…,729,这些数构成首项为459,公差为30的等差数列,设有n项,显然有729=459+(n-1)×
30,解得n=10.所以做问卷B的有10人.
13.200名职工年龄分布如图所示,从中随机抽取40名职工作样本,采用系统抽样方法,按1~200编号,分为40组,分别为1~5,6~10,…,196~200,第5组抽取号码为22,第8组抽取号码为________.若采用分层抽样,40岁以下年龄段应抽取________人.
答案 37 20
解析 将1~200编号分为40组,则每组的间隔为5,其中第5组抽取号码为22,则第8组抽取的号码应为22+3×
5=37;
由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×
50%=100,设在40岁以下年龄段中应抽取x人,则
,解得x=20.
14.一个总体中有90个个体,随机编号0,1,2,…,89,依从小到大的编号顺序平均分成9个小组,组号依次为1,2,3,…,9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本,规定如果在第1组随机抽取的号码为m,那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同,若m=8,则在第8组中抽取的号码是________.
答案 76
解析 由题意知:
m=8,k=8,则m+k=16,也就是第8组抽取的号码个位数字为6,十位数字为8-1=7,故抽取的号码为76.
15.某公路设计院有工程师6人,技术员12人,技工18人,要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会.如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取,不用剔除个体,如果参会人数增加1个,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除1个个体,求n.
解 总体容量为6+12+18=36.
当样本容量是n时,由题意知,系统抽样的间隔为
,分层抽样的比例是
,抽取的工程师人数为
6=
,技术员人数为
12=
,技工人数为
18=
,
所以n应是6的倍数,36的约数,即n=6,12
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