北师大版七年级上数学知识点总结.docx
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北师大版七年级上数学知识点总结
七
年
级
上
数
学
知
识
点
总
结
1
2
第一章丰富的图形世界
知识点一常见的立体图形
棱柱:
1.在棱柱中,相邻两个面的交线叫做棱;相邻两个侧面的交线叫做侧棱,棱柱的所有侧棱长都相等;棱柱
的上、下底面的形状相同,侧面的形状都是平行四边形。
2
.一般根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们的底面图形的形状分别为三角
形、四边形、五边形、六边形……。
3
4
.长方体、正方体都是四棱柱。
.棱柱可以分为直棱柱和斜棱柱。
直棱柱的侧面是长方形。
(本册只讨论直棱柱,简称棱柱)
圆柱:
1.圆柱的底面是圆,侧面是一个曲的面。
2.圆柱是由长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周(即360°)而得到的。
3
棱锥:
1.有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
底面是多边形,侧面是三角形)
.一般根据底面图形的边数将棱锥分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥……它们的底面图形的形状分别为三角
形、四边形、五边形、六边形……。
.圆柱的表面展开图是两个圆和一个长方形,它的侧面展开图是一个长方形。
(
2
3
圆锥:
1.圆锥的底面是圆,侧面是一个曲的面。
2.圆锥是由直角三角形绕着它的直角边所在的直线旋转一周而得到的。
3
球:
1.由一个曲的面围成的。
.球是由半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而得到的。
.圆锥的表面展开图是一个圆和一个扇形,它的侧面展开图是一个扇形。
2
常见的立体图形的分类
1
.按柱体,锥体,球体分类
2
3
.按有无曲面分类(有曲面,无曲面)
.按有无顶点分类(有顶点,无顶点)
4
几何图形的元素及其关系
图形是由点、线、面构成的。
几何体简称体;包围着体的是面;面和面相交形成线;线和线相交形成点。
点动成线,线动成面,面动成体。
知识点二正方体的平面展开图
立体图形是由面围成的,沿着立体图形的一些棱剪开,可以把立体图形展开成一个平面图形,同一个立体图形按
不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的。
以正方体的展开为例。
正方体共有12条棱,要完全展开需要剪开7条棱。
正方体的展开图共有11种,分别如下:
第一类,1-4-1型,共6种。
中间四个面,上下各一面
第二类,2-3-1型(或1-3-2型),共3种。
中间三个面,一二隔河见
第三类,2-2-2型,只有1种。
中间两个面,楼梯天天见
第四类,3-3型,只有一种。
中间没有面,三三连一线
注:
1.一线不过四,凹田应弃之。
(即正方体的展开图中,一条直线上的小正方形不会超过四个;也不会有“田”
字形、“凹”字形的形状)
2
.相间的两个面是对面;“Z”字型两端是对面。
5
知识点三截一个几何体所得截面的形状
用一个平面截一个几何体,首先判断平面与围成几何体的面相交的线是直线还是曲线,再判断截面的形状。
正方体的截面:
正方体只有六个面,截面最多有六条边,即截面的边数最多的是六边形。
正方体的截面形状有:
三角形,四边形,长方形,正方形,五边形,六边形。
圆柱的截面形状有:
圆,长方形,椭圆……
圆锥的截面形状有:
圆,三角形,椭圆……
球的截面形状:
圆。
知识点四从三个方向看几何体的形状
从正面看(主视图),从左面看(左视图),从上面看(俯视图)
6
从三个方向看的常见几何体的形状
知识点五典型题(易错题)
例1把一个圆柱的侧面展开后得到一个长方形,长方形的长是20πcm,宽是8cm,求圆柱的表面积和体积.
解:
圆柱的侧面积=20π×8=160πcm2
4
②
当圆柱底面圆的周长为8cm时,半径为cm
①
当圆柱底面圆的周长为20πcm时,半径为10cm.
4
16
2
cm2
2
2
此时底面圆的面积=
此时底面圆的面积=π×10=100π(cm)
2
∴
∴
圆柱表面积=160π+100π×2=360π(cm)
∴
∴
圆柱表面积=
(160
16
32)
cm2
3
圆柱体积=100π×8=800π(cm)
圆柱体积=20
320cm3
例2将一个长6cm,宽4cm的长方形绕它的一边所在的直线旋转一周得到圆柱,求圆柱的表面积和体积.
解:
①当以长方形的长所在直线旋转一周时,圆柱底面圆的半径为4cm
2
2
此时,底面圆的面积
圆柱的侧面积
cm,
cm2
圆柱的体积=底面积×高
棱柱的体积=底面积×高
∴
圆柱的表面积
cm2
1
圆锥的体积=
棱锥的体积=
底面积×高
底面积×高
3
1
1
6
696cm3
圆柱的体积
②
当以长方形的宽所在直线旋转一周时,圆柱底面圆的半径为6cm
3
2
2
此时,底面圆的面积
圆柱的侧面积
cm,
cm2
cm2
∴
圆柱的表面积
7
第二章有理数及其运算
知识点一正数、负数
1
.定义
1
2
(
(
1)正数:
像1.3,
这样大于0的数(“+”通常省略不写)叫正数。
1
2)负数:
像5,3,0.1这样在正数前加上“”的数叫负数,负数小于0。
4
2
.正、负数的意义
(
(
1)具有相反意义的量:
我们把某种量的一种意义规定为正的,而把与它相反的一种意义规定为负的。
2)具有相反意义的量的表述:
描述一对具有相反意义的量的词语一般是一对反义词,如上升与下降,增加与
减少,收入与支出等。
相反意义的量包含两个要素:
一是它们的意义相反;二是它们都具有数量,而且是同类量。
(
3)属性:
0既不是正数也不是负数,它是正数与负数的分界。
规定:
0是最小的自然数。
知识点二有理数及其分类
整数和分数统称为有理数。
1
.按有理数的定义分类:
正整数(如
:
1,2,3)
整数零(0)
负整数(如:
1,2,3)
有理数
1
2
1
3
5.3,3.8)
1
正分数(如:
分数
1
负分数(如:
,2.3,4.8)
2
3
2
.按有理数的性质分类:
3
.知识延伸:
正数和零称为非负数;负数和零称为非正数;正整数和零称为非负整数;负整数和零称为非正整数。
知识点三数轴及其三要素
1
.定义
数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。
注:
(1)原点、正方向和单位长度是数轴的三要素。
(
2)数轴是一条直线,可以向两端无限延伸。
8
(
3)任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
2
.数轴的画法
(
(
(
(
1)画一条水平的直线;
2)在直线上选取一点为原点;
3)规定从原点向右为正方向,用箭头表示出来;
4)根据需要,选取适当的长度为单位长度。
知识点四相反数
1
.定义
1
5
1
5
像2与-2,4与-4,
与
这样,只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
把其中一个数叫做另一个数的相反
数。
0的相反数是0。
.相反数的性质
若a,b互为相反数,则
注:
(1)相反数是成对出现的,不能单独存在;
2)求一个数的相反数只需要在这个数前面加上一个负号即可。
如:
a的相反数是a;a的相反数是
.相反数的几何意义
2
a
a
,则a,b互为相反数。
;反之,若
(
。
3
在数轴上,互为相反数的两个数对应的点在原点的两侧,并且到原点的距离相等。
知识点五绝对值
1
.定义
1)在数轴上,表示数a的点与原点的距离,叫做这个数a的绝对值。
数a的绝对值记作,读作的绝对值。
a
a
(
2)在数轴上,表示数a的点与表示数b
的点之间的距离为
a
,即距离是这两个数差的绝对值。
(
如:
数轴上,x与1的距离就是
x
;
数轴上,x与1的距离就是
.绝对值的代数意义
x
。
2
一个正数的绝对值是它的本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。
a
a
a
a
即,若
若
,则
,则
;
a
还可以写成这个形式:
a0
a
,则
0。
;若
3
.绝对值的非负性
9
任何数的绝对值都是非负数(大于或等于0),即a
。
特别地,若a
例:
已知2x
解:
∵2x
,则
a0b0,
0
。
(即若几个非负数的和等于0,则这几个数都等于0)
,则x_____,y______.
,且2x
∴
∴
∴
2x40y3
2
x
x
4
.重要结论
a
a
b
。
(
(
(
1)若a,b互为相反数,则a,b的绝对值相等,即若
,则
2)若两个数的绝对值相等,则这两个数相等或互为相反数,即若a
,则a
或
a
。
3)若a
,则a
;若
a
,则a
。
a
a
a
a
,则
若
,则
;若
。
x
x
(
4)若一个数的绝对值等于正数,则这个数有两个且互为相反数。
如:
若
,则
。
注:
在解决绝对值化简或计算的问题时,先判断绝对值里面数的符号,如果是正数,就等于它本身,直接去掉绝
对值;如果是负数,就等于它的相反数,去掉绝对值,在前面加一个负号。
如果绝对值里面数的符号不能确定,
那么就要分类讨论。
(总之,要先判断,再去绝对值符号)
5
.绝对值中的最值问题(绝对值的几何意义)
有关绝对值中的最值问题,常采用零点分段法。
xa
(
1)求
的最小值
,解得
的最小值
x
x
xa
xa
xa
时,有最小值且最小值为0。
方法:
令
。
当
(
2)求
x
x
方法:
令
,解得
当x取a与之间的值时,
x
有最小值且最小值就为
a与
之间的距离。
x
x
1
如:
求
解:
令
的最小值
,解得
x3,x
1
1
0
时,x
有最小值且最小值就为1与
3
之间的距离即(x
。
当
(
3)求x
的最小值
方法:
令x
当x取a,
,解得x
中位于中间的数时,x
有最小值且最小值为另两个数之间的距离。
如:
求x3x1
解:
令x
5的最小值
,解得x3,x
1,x5
x
x
3
∵
,∴当
时,
有最小值且最小值为
。
总结:
(1)有奇数个绝对值的和求最小值时,当x取中间那个数的时候,原式有最小值。
(
2)有偶数个绝对值的和求最小值时,当x取中间两个数之间的取值时,原式有最小值。
x
例求
的最小值。
2
019
解:
当x
时,
2
1010
原式有最小值且最小值等于
1009
2
x
例求
的最小值。
解:
当1010
时,原式有最小值
x
1010
时,最小值等于
即
2
(123...10081009)1010
101(0091
11
知识点六有理数的大小比较
1
.有理数大小比较的常用结论
(
(
(
1)在数轴上,右边的数总比左边的数大。
2)正数都大于零,负数都小于零,正数大于一切负数。
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