勾股定理的逆定理.docx
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勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
例1已知△ABC的三边为a、b、c,有下列各组条件,判定△ABC的形状.
(1)a=41,b=40,c=9;
(2).
思路分析
为判定三角形的形状,可利用勾股定理的逆定理,判断三角形的最大边的平方是否等于另外两边的平方和.
(抓住最大的边)
解:
(1),而,
(完全平方公式的应用)
,∴△ABC是直角三角形,并且∠A是直角.
(2)∵m>n>0,,
而
∴△ABC是直角三角形,并且∠B是直角.
点评:
利用勾股定理的逆定理不仅能够判断出三角形的形状,而且还能够知道三角形的哪个角是直角.
例2证明边长为3(2m+3),,(m是正整数)的三角形是直角三角形。
证明:
∵>,
>3(2m+3),
∴是最长的一条边。
∵=
=+18()+81
=+,
所以根据勾股定理的逆定理可知,以此三数为边长的三角形是直角三角形。
例3试判断:
三边长分别为,2n+1,(n>0)的三角形是否是直角三角形?
点悟:
先确定最大的边。
解:
∵,
,
∴为三角形中最大边。
又∵
∴。
根据勾股定理的逆定理可知,此三角形为直角三角形
例4如图1-11,有一个棱长为2米的正方体,现有一绳子从A出发,沿正方体表面到达C处,问绳子最短是多少米?
解:
将该正方体的右表面翻折至前表面,使得A、C两点共面,
连结AC,此时线段AC的长度即为最短距离.
,即绳长最短为米.
点评:
沿几何体表面最短距离的问题通常都是将几何体表面展开,求展开图中两点之间的最短距离,但一定要注意展开图中点的相应位置.
例5如图1-12,在四边形ABCD中,∠C是直角,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12,求证:
AD⊥BD.
(可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定)
解:
∵在Rt△BCD中,BC=4,CD=3,
∴由勾股定理,,即BD=5,
在△ABD中,BD=5,AD=12,AB=13,,
∴由勾股定理的逆定理,△ABD是直角三角形,并且∠ADB是直角,∴AD⊥BD.
例6若△ABC的三边满足条件:
,试判断△ABC的形状.
思路分析
若一个方程有多于一个的未知数,如本题有三个未知数,想要分别解出这些量只能依靠条件的恒等变形,挖掘隐含条件来处理.
解:
原等式可化为,
配方,得:
,(配方要准确、熟练)
当且仅当才能成立,(非负数原理)
∴a=5,b=12,c=13,
最大边为c,而,
根据勾股定理的逆定理,△ABC是直角三角形,且C为直角.
点评:
要学会观察已知条件的特征,从而寻找解决问题的突破点.
例7如果△ABC的三边分别为a、b、c,且满足,判断△ABC的形状。
点悟:
要判断△ABC的形状,需要找到a、b、c的关系,而题目中只有条件,故只有从该条件入手,解决问题。
解:
由,得
,
∴。
∵,,。
∴a=3,b=4,c=5
∵,
∴。
由勾股定理的逆定理,得△ABC是直角三角形。
点拨:
勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的。
例8已知,如图1-13,D是△ABC边BC上一点,且,求证:
.
思路分析
从边的平方关系就会联想到直角三角形,这是勾股定理逆定理的基本思路.
证明:
在△ADC中,
,
,
(注意已知形式的提示)
由勾股定理的逆定理可知:
∠ADC=90°,
∴AD⊥BC于D,
在Rt△ABD和Rt△ACD中,由勾股定理:
,
两式相减,得:
.
例9如图1-14,南北向MN为我国的领海线,即MN以西为我国领海,以东为公海.上午9时50分,我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意.反走私艇A通知反走私艇B:
A和C两艇的距离是13海里,A、B两艇的距离是5海里.反走私艇B测得距离C艇是12海里,若走私艇C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海?
解:
设MN与AC相交于E,则∠BEC=90°,
又,
∴△ABC为直角三角形,∠ABC=90°,
∵MN⊥CE,
∴走私艇进入我领海的最近距离是CE,
(认真审题是解决本题的关键)
两式相减得:
,
,
9时50分+51分=10小时41分.
(将实际问题转化为数学模型)
答:
走私艇C最早在10时41分进入我国领海.
例10在正方形ABCD中(图1-18)F为DC的中点,E为BC上一点,且EC=BC,求证:
∠EFA=90°。
证明:
设正方形ABCD的边长为4a,则EC=a,BE=3a,CF=DF=2a,
Rt△ABE中,由勾股定理得:
。
在Rt△ADF中,由勾股定理得:
。
在Rt△ECF中,由勾股定理得:
。
在△AFE中,。
又∵,
∴。
由勾股定理的逆定理可知:
△AEF为Rt△,且AE为最大边,
∴∠AFE=90°。
例11如图1-19,已知△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,设AC=b,BC=a,AB=c,CD=h,求证:
(1)c+h>a+b;
(2)以a+b,c+h,h为三边可构成一个直角三角形。
证明:
(1)在Rt△ABC中,
∵CD⊥AB,
∴,
即ab=ch。
∴.
∴(c+h)-(a+b)
=
=
=
=
又∵在Rt△ABC中,AB=c为斜边,
∴c>a,c>b。
∴。
即(c+h)-(a+b)>0。
∴c+h>a+b。
(2)由
(1)得,。
∴
=,
=。
∴。
∴以a+b,h,c+h为边的三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)。
点拨要比较a与b的大小,可先求a-b,再将结果与0比较。
若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b,若a-b<0,则a
直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半,也等于斜边与斜边上的高的乘积的一半。
故两直角边的乘积等于斜边与斜边上的高的乘积。
常用此来求出斜边上的高。
例12如图1-20,△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点,MD⊥AB于D,
求证:
点悟:
欲证,只须将BD用AD、AC表示出来即可,这样有
∴只要证明即可。
即证明
就可以了。
证明略。
例13已知在△ABC中,三条边长分别为a、b、c,且a=n,b=,c=(n是大于2的偶数)。
求证:
△ABC是直角三角形。
证明:
∵
=,
,
∴
由勾股定理的逆定理,得△ABC是直角三角形。
例14如图1-21,在等腰Rt△ABC中,∠CAB=90°,P是△ABC内一点,且PA=1,PB=3,PC=。
求:
∠CPA的大小。
点悟:
已知条件中的PA、PB、PC过于分散,可将其集中到一个或两个三角形中,再应用三角形的有关知识解决问题。
解:
在△ABC外部作△AQC≌△APB,连结PQ,则
AQ=AP=1,CQ=PB=3,
∠QAC=∠PAB。
∵∠PAB+∠PAC=90°,
∴∠QAC+∠PAC=90°,
即∠PAQ=90°。
∴,
∠QPA=∠PQA=45°。
在△PQC中,
,,,
∴。
∴∠QPC=90°。
∴∠CPA=∠CPQ+QPA=90°+45°=135°。
点拨:
本例通过在三角形外作△APB的全等形,从而将已知的PA、PB、PC集中到一起,为进一步解题创造了条件。
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