全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题2 函数问题.docx
- 文档编号:2195324
- 上传时间:2022-10-27
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:319.46KB
全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题2 函数问题.docx
《全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题2 函数问题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题2 函数问题.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
全国中考数学压轴题分类解析汇编专题2函数问题
全国中考数学压轴题分类解析汇编
专题2:
函数问题
35.(2012吉林长春10分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-2x+42交x轴与点A,交直线y=x于点B,抛物线分别交线段AB、OB于点C、D,点C和点D的横坐标分别为16和4,点P在这条抛物线上.
(1)求点C、D的纵坐标.
(2)求a、c的值.
(3)若Q为线段OB上一点,且P、Q两点的纵坐标都为5,求线段PQ的长.
(4)若Q为线段OB或线段AB上的一点,PQ⊥x轴,设P、Q两点之间的距离为d(d>0),点Q的横坐标为m,直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围.
(参考公式:
二次函数图像的顶点坐标为)
【答案】解:
(1)∵点C在直线AB:
y=-2x+42上,且C点的横坐标为16,
∴y=-2×16+42=10,即点C的纵坐标为10。
∵D点在直线OB:
y=x上,且D点的横坐标为4,∴点D的纵坐标为4。
(2)由
(1)知点C的坐标为(16,10),点D的坐标为(4,4),
∵抛物线经过C、D两点,
∴,解得:
。
∴抛物线的解析式为。
(3)∵P为线段OB上一点,纵坐标为5,∴P点的横坐标也为5。
∵点Q在抛物线上,纵坐标为5,∴,解得。
当点Q的坐标为(,5),点P的坐标为(5,5),线段PQ的长为;
当点Q的坐标为(,5),点P的坐标为(5,5),线段PQ的长为。
所以线段PQ的长为或。
(4)当0≤m<4或12≤m<16时,d随m的增大而减小。
【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,解二元一次方程组和一元二次方程,二次函数的性质。
【分析】
(1)点C在直线AB:
y=-2x+42上,将C点的横坐标,代入即可求出C点的纵坐标,同理可知:
D点在直线OB:
y=x上,将D点的横坐标,代入解析式即可求出D点的纵坐标。
(2)抛物线经过C、D两点,列出关于a和c二元二次方程组,解出a和c即可。
(3)根据Q为线段OB上一点,P、Q两点的纵坐标都为5,则可以求出Q点的坐标,又知P点在抛物线上,求出P点的坐标即可,P、Q两点的横坐标的差的绝对值即为线段PQ的长。
(4)根据PQ⊥x轴,可知P和Q两点的横坐标相同,求出抛物线的顶点坐标和B点的坐标,①当Q是线段OB上的一点时,结合图形写出m的范围,②当Q是线段AB上的一点时,结合图形写出m的范围即可:
根据题干条件:
PQ⊥x轴,可知P、Q两点的横坐标相同,
∵抛物线y=,∴顶点坐标为(8,2)。
联立,解得点B的坐标为(14,14)。
①当点Q为线段OB上时,如图所示,当0≤m<4或
12≤m≤14时,d随m的增大而减小;
②当点Q为线段AB上时,如图所示,当14≤m<16时,d随m的增大而减小。
综上所述,当0≤m<4或12≤m<16时,d随m的增大而减小。
36.(2012湖北荆州12分)已知:
y关于x的函数y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.
①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最大值.
【答案】解:
(1)当k=1时,函数为一次函数y=﹣2x+3,其图象与x轴有一个交点。
当k≠1时,函数为二次函数,其图象与x轴有一个或两个交点,
令y=0得(k﹣1)x2﹣2kx+k+2=0.
△=(﹣2k)2﹣4(k﹣1)(k+2)≥0,解得k≤2.即k≤2且k≠1。
综上所述,k的取值范围是k≤2。
(2)①∵x1≠x2,由
(1)知k<2且k≠1。
由题意得(k﹣1)x12+(k+2)=2kx1(*),
将(*)代入(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得:
2k(x1+x2)=4x1x2。
又∵x1+x2=,x1x2=,∴2k•=4•,
解得:
k1=﹣1,k2=2(不合题意,舍去)。
∴所求k值为﹣1。
②如图,∵k1=﹣1,y=﹣2x2+2x+1=﹣2(x﹣)2+,且﹣1≤x≤1,
由图象知:
当x=﹣1时,y最小=﹣3;当x=时,y最大=。
∴y的最大值为,最小值为﹣3。
【考点】抛物线与x轴的交点,一次函数的定义,一元二次方程根的判别式和根与系数物关系,二次函数的最值。
【分析】
(1)分两种情况讨论,当k=1时,可求出函数为一次函数,必与x轴有一交点;当k≠1时,函数为二次函数,若与x轴有交点,则△≥0。
(2)①根据(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系,建立关于k的方程,求出k的值。
②充分利用图象,直接得出y的最大值和最小值。
37.(2012湖北随州12分)一列快车由甲地开往乙地,一列慢车由乙地开往甲地,两车同时出发,匀速运动.快车离乙地的路程y1(km)与行驶的时间x(h)之间的函数关系,如图中线段AB所示;慢车离乙地的路程y2(km)与行驶的时间x(h)之间的函数关系,如图中线段OC所示。
根据图象进行以下研究。
解读信息:
(1)甲、乙两地之间的距离为km;
(2)线段AB的解析式为;线段OC的解析式为;
问题解决:
(3)设快、慢车之间的距离为y(km),求y与慢车行驶时间x(h)的函数关系式,并画出函数的图象。
【答案】解:
(1)450。
(2)y1=450-150x(0≤x≤3);y2=75x(0≤x≤6)。
(3)根据
(2)得出:
。
由函数解析式y=450-225x(0≤x<2),当x=0,y=450;
由函数解析式y=225x-450(2≤x<3),当x=2,y=0;
由函数解析式y=75x(3≤x≤6),当x=3,y=225,x=6,y=450。
根据各端点,画出图象,其图象为折线图AE-EF-FC:
【考点】一次函数的图象和应用,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】
(1)利用A点坐标为(0,450),可以得出甲,乙两地之间的距离。
(2)利用A点坐标(0,450),B点坐标(3,0),用待定系数法求出线段AB的解析式;利用C点坐标(6,450),用待定系数法求出线段AB的解析式:
设线段AB的解析式为:
y1=kx+b,根据A点坐标(0,450),B点坐标(3,0),
得出:
,解得:
。
∴线段AB的解析式为:
y1=450-150x(0≤x≤3)。
设线段OC的解析式为:
y2=ax,将(6,450)代入得a=75。
∴线段OC的解析式为y2=75x(0≤x≤6)。
(3)利用
(2)中所求得出,,从而求出函数解析式,得出图象即可。
38.(2012湖北孝感12分))如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0),与y
轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)若P为线段BD上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,求四边形PMAC的面积的最大值和此
时点P的坐标;
(3)若点P是抛物线第一象限上的一个动点,过点P作PQ∥AC交x轴于点Q.当点P的坐标为
时,四边形PQAC是平行四边形;当点P的坐标为时,四边形PQAC是等腰梯形(直接写出结果,不写求解过程).
【答案】解:
(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0),
∴可设抛物线的解析式为。
又∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,3),
∴,解得。
∴抛物线的解析式为。
即。
又∵,∴抛物线顶点D的坐标为(1,4)。
(2)设直线BD的解析式为,
由B(3,0),D(1,4)得,解得。
∴直线BD的解析式为。
∵点P在直线PD上,∴设P(p,)。
则OA=1,OC=3,OM=p,PM=。
∴。
∵,∴当时,四边形PMAC的面积取得最大值为,此时点P的坐
标为()。
(3)(2,3);()。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,平行四边形的判定,等腰梯形的判定,相似三角形的判定和性质勾股定理,解一元二次方程。
【分析】
(1)将抛物线的解析式设为交点式,可用待定系数法较简捷地求得抛物线的解析式,将其化为顶点式即可求得顶点D的坐标。
(2)求出直线BD的解析式,设定点P的坐标,由列式,根据二
次函数最值原理,即可求得四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标。
(3)如图,四边形PQAC是平行四边形时,
∵CP∥x轴,点P在抛物线上,
∴点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称。
∵C(0,3),∴P(2,3)。
如图,四边形PQAC是等腰梯形时,
设P(m,),
过点P作PH⊥x轴于点H,则H(m,0)。
易得△ACO∽△QNP,∴。
∵OA=1,OC=3,HP=,∴,即。
∴AQ=AO+OH-QH=。
∴。
又由勾股定理得,。
由四边形PQAC是等腰梯形得AQ=CP,即AQ2=CP2,
∴,整理得,解得或。
当时,由知CP∥AQ,四边形PQAC是平行四边形,不符合条件,舍去。
当时,CP与AQ不平行,符合条件。
∴P()。
39.(2012江苏镇江9分)对于二次函数和一次函数,把称为这两个函数的“再生二次函数”,其中t是不为零的实数,其图象记作抛物线E。
现有点A(2,0)和抛物线E上的点B(-1,n),请完成下列任务:
【尝试】
(1)当t=2时,抛物线的顶点坐标为▲。
(2)判断点A是否在抛物线E上;
(3)求n的值。
【发现】通过
(2)和(3)的演算可知,对于t取任何不为零的实数,抛物线E总过定点,坐标为▲。
【应用1】二次函数是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”吗?
如果是,求出t的值;如果不是,说明理由;
【应用2】以AB为边作矩形ABCD,使得其中一个顶点落在y轴上,或抛物线E经过A、B、C、D其中的一点,求出所有符合条件的t的值。
【答案】解:
【尝试】
(1)(1,-2)。
(2)点A在抛物线E上,理由如下:
将x=2代入得y=0。
∴点A在抛物线E上。
(3)将(-1,n)代入得
。
【发现】A(2,0)和B(-1,6)。
【应用1】不是。
∵将x=-1代入,得,
∴二次函数的图象不经过点B。
∴二次函数不是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”。
【应用2】如图,作矩形ABC1D1和ABC2D2,过点B作BK⊥y轴于点K,过点D1作D1G⊥x轴于点G,过点C2作C2H⊥y轴于点H,过点B作BM⊥x轴于点M,C2H与BM相交于点T。
易得AM=3,BM=6,BK=1,△KBC1∽△NBA,
则,即,得。
∴C1(0,)。
易得△KBC1≌△GAD1,得AG=1,GD1=。
∴D1(3,)。
易得△OAD2∽GAD1,则,
由AG=1,OA=2,GD1=得,得OD2=1。
∴D2(0,-1)。
易得△TBC2≌△OD2A,得TC2=AO=2,BT==OD2=1。
∴C2(-3,5)。
∵抛物线E总过定点A、B,∴符合条件的三点只可能是A、B、C或A、B、D。
当抛物线经过A、B、C1时,将C1(0,)代入得;
当抛物线经过A、B、D1时,将D1(3,)代入得;
当抛物线经过A、B、C2时,将C2(-3,5)代入得;
当抛物线经过A、B、D2时,将D2(0,-1)代入得。
∴满足条件的所有t值为,,,。
【考点】新定义,二次函数的性质,曲线上点的坐标与方程的关系,矩形的性质。
【分析】【尝试】
(1)当t=2时,抛物线为,∴抛物线的顶点坐标为(1,-2)。
(2)根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系验证即可。
(3)根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,将(-1,n)代入函数关系式即
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题2 函数问题 全国 中考 数学 压轴 分类 解析 汇编 专题 函数 问题