解答题数列1通项求法定.docx
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解答题数列1通项求法定
数列一(通项求法)
一、公式法:
例:
已知数列满足(),求。
1.已知数列满足,求。
2.已知数列满足,求。
3.已知数列满足,求。
二、两式相减法:
数列前项和与的关系。
此种类型,往往先求n=1的情况,得到基本的分数。
要注意对n分类讨论,观察是否满足通项,不满足就分开写,但若能合写时一定要合并.
例:
已知数列的前n项和,求。
1、已知正项数列的前项和为,且.求。
2、设数列的前项和为,,且对任意正整数,点在直线上.求。
三.累加法:
适合型的递推数列。
例:
设数列满足,,求。
1、已知数列满足,求。
2、已知数列满足,求。
3、在数列中,,则=()
A.B.C.D.
4、已知数列满足,求。
四.累乘法:
适合型的递推数列。
例:
在数列中,,求。
1、已知数列满足,,求。
2.已知,,求。
五、待定系数法适用于型的递推数列
1)常数型。
形如a=pa+q(p≠1,pq≠0)
解法:
设a+k=p(a+k)与原式比较系数可得pk-k=q,即k=,从而构造出等比数列{a+k}。
不用硬记公式,学会对应系数就行。
例:
数列{a}满足a=1,,求。
1.在数列中,若,则该数列的通项_______________
2.已知数列满足求。
2)、指数型:
形如
解法:
一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:
引入辅助数列(其中),得:
再待定系数法解决。
例.已知数列满足,,求.
1、已知数列中,,,求。
2、设数列的前项的和,求;
3)一次函数、二次函数或者混合型:
形如
解法:
令,与已知递推式比较,解出,从而转化为是公比为的等比数列。
例:
设数列:
,求.
1、已知数列满足,求。
2.已知数列满足,求。
3、已知数列满足,求。
4、已知数列满足,求。
六、连续迭代型:
形如(其中p,q均为常数)。
先把原递推公式转化为其中s,t满足
例、数列满足=0,求。
1、已知数列满足,求。
2、已知数列满足求。
七、幂迭代型:
形如型的递推形式(对数变换法)
解法:
这种类型一般是等式两边取对数后转化为,再利用待定系数法求解。
例、设数列的各项都是正数,为数列的前n项和,且对任意都有,,(e是自然对数的底数,e=2.71828……),求数列、的通项公式;
1、已知数列{}中,,求。
2、已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中=1,2,3,…,求。
3、已知数列满足,,求。
八、分式型递推公式
类型一:
解法:
这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为型求解。
例、已知数列满足=1,,求
1:
已知,求。
2、已知数列{an}满足:
a1=,且an=,求。
3.设数列满足,求。
4、已知数列{}满足时,,求。
类型二:
(可以用不动点法求通项)
1、不动点的定义:
一般的,设的定义域为,若存在,使成立,则称为的不动点,或称为图像的不动点。
2、不动点求通项解法:
如果数列满足下列条件:
已知的值且对于,都有(其中p、q、r、h均为常数,且),那么,可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时,则是等比数列。
例、已知数列满足,求。
1、已知数列满足性质:
对于且求。
2、已知数列满足,求。
类型三:
设,且是的不动点,数列满足递推关系,,则有;若,则是公比为的等比数列。
例3.已知数列满足,.⑴求证:
;⑵求证:
;⑶求数列的通项公式.
九、换元法
例、已知数列满足,求数列的通项公式。
数列一(通项求法)答案
一、公式法。
二、两式相减法。
1..
2.
三.累加法:
1.
2.
4..
四.累乘法:
例:
=
五、待定系数法
1)常数型。
例:
设a,
2)指数型。
例:
,.
3)一次函数、二次函数或者混合型:
1.解:
设④
将代入④式,得,等式两边消去,得,两边除以,得代入④式得⑤
由及⑤式得,则,则数列是以为首项,以2为公比的等比数列,则,故。
2.解:
设⑥将代入⑥式,得
整理得。
令,则,代入⑥式得
⑦,由及⑦式,
得,则,
故数列是以为首项,以3为公比的等比数列,因此,则。
4..解:
设⑧
将代入⑧式,得
,则
等式两边消去,得,
解方程组,则,代入⑧式,得
⑨
由及⑨式,得
则,故数列为以为首项,以2为公比的等比数列,因此,则。
六、连续迭代型:
例、,
累加法可得
七、幂迭代型:
例.解:
(1)因为,,①
当时,,解得;当时,有,②
由①-②得,().
而,所以(),即数列是等差数列,且.又因为,且,取自然对数得,数列是以为首项,以2为公比的等比数列,所以,所以.
3、解:
因为,所以。
在式两边取常用对数得⑩
设
将⑩式代入式,得,两边消去并整理,得,则
,故
代入式,得
由及式,
得,
则,
所以数列是以为首项,以5为公比的等比数列,则,因此。
八、分式型递推公式
类型一
例、(两边同时除以式子右边的,得到等差数列)
1.
2.解:
将条件变为:
1-=,因此{1-}为一个等比数列,其首项为
1-=,公比,从而1-=,据此得an=(n1)
3.
2、
类型二
例、解:
特征方程,得.=.两边取倒数,有.故=.
解得.
2.解:
特征方程为,解得,所以,
两式相除有.而,所以有
解得
类型三:
证:
∵是的不动点,∴,。
,又,则,
∴,故是公比为的等比数列。
例3.证:
⑴、⑵证略;⑶依题,记,令,求出不动点;由定理3知:
,,
所以,又,所以.
又,令,则数列是首项为,公比为的等比数列.所以.由,得.所以.
九、换元法
例、解:
令,则
故,代入得
即
因为,故
则,即,
可化为,
所以是以为首项,以为公比的等比数列,因此,则,即,得
。
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- 解答 数列 求法