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2.频数分布直方图
①能显示各组数据频数分布的情况,②易于显示各组数据之间的频数的差别.
①计算,②确定组距和组数,③决定分点,④列出频数分布表,利用对落在各小组内的数据进行统计⑤画出频数分布直方图.
频数:
在整理数据时,常将数据分成若干组,各小组的叫做该组数据的频数.
频率:
每一小组的与数据总数的叫做这一小组的频率,所以各小组的频率之和等于.
例4在我市实施“城乡环境综合治理”期间,某校组织学生开展“走出校门,服务社会”的公益活动.八年级一班王浩根据本班同学参加这次活动的情况,制作了如下的统计图表:
该班学生参加各项服务的频数、频率统计表
服务类别
频数
频率
文明宣传员
4
0.08
文明劝导员
10
义务小交警
8
0.16
环境小卫士
0.32
小小活雷锋
12
0.24
请根据上面的统计图表,解答下列问题:
(1)该班参加这次公益活动的学生共有____________名;
(2)请补全频数、频率统计表和频数分布直方图;
(3)若八年级共有900名学生报名参加了这次公益活动,试估计参加文明劝导的学生人数.
第2课时数据的整理与分析
考点1数据的整理
为了清楚地了解调查结果,需要对数据进行整理,一般用表格整理数据可以用划记法记录数据.
考点2数据的代表
1.平均数
平均数的计算公式___________________________.加权平均数公式_____________________________.
每个数据的权重越大这个数据对这组数的影响越大
例1某商场用加权平均数来确定什锦糖的单价,由单价为15元/千克的甲种糖果10千克,单价为12元/千克的乙种糖果20千克,单价为10元/千克的丙种糖果30千克混合成的什锦糖果的单价应定为()
A.11元/千克 B.11.5元/千克 C.12元/千克 D.12.5元/千克
2.中位数和众数
将一组数据从小到大排列后,就是这组数据的中位数.
在一组数据中_______________的数叫做这组数据的众数.
【辨析】1.众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组
数据的.
2.中位数是一个位置代表值,一组数据的中位数有可能不出现在这组数据中,但它是唯一的;
平均数也是唯一的,而众数可以不唯一,可以有多个.
3.平均数能够充分利用数据提供的信息,但它受极端值的影响较大;
众数和中位数不受极端值的影响.
例2为参加2010年“初中毕业生升学体育考试”,小刚同学进行了刻苦的练习,在投掷实心球时,测得5次投掷的成绩(单位:
m)为:
8,8.5,9,8.5,9.2.这组数据的众数、中位数依次是()
A.8.5,8.5 B.8.5,9 C.8.5,8.75 D.8.64,9
例3某班抽取6名同学参加体能测试,成绩如下:
85,95,85,80,80,85.下列表述错误的是()
A.众数是85B.平均数是85
C.中位数是80D.极差是15
考点3数据的波动
1.极差是__________________,2.方差的计算公式_____________________________.
标准差的计算公式_______________________.
【辨析】1.极差、方差和标准差都反映了一组数据的.
一般地,一组数据的方差或标准差越小,这组数据就越.
例4有一组数据如下:
3、a、4、6、7,它们的平均数是5,那么这组数据的方差是()
A.10B.
C.2D.
考点4重要思想
实际问题中常采用抽样调查的方式获取数据,用样本估计总体是统计中常用的思想方法.
第五单元三角形
第1课时几何初步及平行线、相交线
考点1立体图形的展开与平面图形的折叠
1.几何图形是由点、线、面、体组成的,点是构成图形的基本元素,点动成线,线动成面,面动成体.
2.常见几何体的侧面展开图:
圆柱→矩形,图锥→扇形,直棱柱→矩形.
例1一个正方形的表面展开图如图所示,每一个面上都写有一个整数,并且相对两个面上所写的两个整数之和都相等,那么()
A.a=1,b=5B.a=5,b=1
C.a=11,b=5D.a=5,b=11
考点2角的有关概念及性质
1.概念角是由一条射线绕着它的端点而成的图形.射线端点叫做角的顶点,两条射线是角的两边.
2.角的单位与换算:
1°
=60′,1′=60″,1周角=2平角=4直角=360°
.
3.余角与补角:
如果两个角的和等于,就说这两个角互为余角;
如果两个角的和等于,就说这两个角互为补角.同角(或等角)的余角;
同角(或等角)的补角.
4.对顶角和邻补角:
在两条相交直线形成的四个角中,如果两个角有公共顶点,一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,这样的两个角为对顶角.如果两个角有公共顶点,有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,这样的两个角为邻补角,5、对顶角和邻补角的性质:
对顶角,邻补角.
例2如图,AB=AC,BD=BC,若∠A=40°
∠ABD的度数是().A.20°
B.30°
C.35°
D.40°
考点3距离的有关概念及求法
1.直线、线段的性质:
经过有一条直线,并且只有一条直线,两点之间的所有连线中,最短.
2.距离的概念:
两点之间线段的,叫这两点之间的距离;
直线外一点到这条直线的的长度,叫做点到直线的距离;
如果一条直线和两条平行线同时垂直,那么这条直线夹在两平行线之间的线段的叫两平行线间的距离.
3.距离的求法,
(1)求平行线间的距离:
过一条直线上的任意一点作另一直线的垂线,把问题化归为点到垂足的距离,
(2)空间两点间距离的最短问题,要利用其展开图化归为平面上两点间的距离.
考点4垂线的性质与判定
1.概念:
如果两条直线相交所构成的四个角中,有一个角为,那么就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫另一条直线的垂线,交点叫垂足.
2.性质:
(1)经过直线外一点有且只有与已知直线垂直;
(2)直线外一点与直线上各点的所有连线中,最短;
(3)两直线垂直,所成角为90°
3.判定:
若两条直线相交且有一个角为直角,则这两条直线互相垂直.
D
例3(2010年宁波市中考)如图,直线AB与直线CD相交于点O,E是∠AOD内一点,已知OE⊥AB,∠BOD=45°
则∠COE的度数是()E
O
B
A
A.125°
B.135°
C.145°
D.155°
C
考点5平行线的性质与判定
在同一平面内,的两条直线,叫平行线.
2.平行公理:
经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线.
3.性质:
如果两条直线平行,那么相等,相等,互补.
4.判定:
(1)同位角,两直线平行;
(2)内错角,两直线平行;
(3)同旁内角,两直线平行;
(4)在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行,(5)平行于同一直线的两直线平行.
例4((2010安徽省中中考)如图,直线
∥
,∠1=55°
,∠2=65°
,则∠3为()
(A)50°
(B)55°
(C)60°
(D)65°
考点6数几何图形个数的方法
1.数直线的条数:
过任意三个点不在同一直线上的n个点,共可以画条直线.
2.数线段的条数:
线段上共有n个点(包括两个端点)时,共有线段条.
3.数角的个数:
从一点出发的n条射线可组成个角.
4.数交点的个数:
n条直线最多有个交点.
5.数直线分平面的部分:
平面内有n条直线,最多可以把平面分成个部分.
例5:
(2010安徽蚌埠)三角形纸片内有100个点,连同三角形的顶点共103个点,其中任意三点都不共线。
现以这些点为顶点作三角形,并把纸片剪成小三角形,则这样的三角形的个数为__________。
第2课时尺规作图
考点1尺规作图
1.定义:
只用没有的直尺和圆规作图叫做尺规作图.
2.步骤:
(1)根据给出的条件和求作的图形,写出已知和求作部分;
(2)分析作图的方法和过程;
(3)用直尺和圆规进行作图;
(4)写出作图的步骤,即作法.
考点2基本作图
1.作一条线段等于已知线段,以及线段的和、差;
2.作一个角等于已知角,以及角的和、差;
3.作角平分线;
4.作线段的垂直平分线;
5.过直线上一点作已知直线的垂线.
考点3基本作图的应用
1.利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形;
(2)已知两边及其夹角作三角形;
(3)已知两角及其夹边作三角形;
(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形;
(5)已知一直角边和斜边作直角三角形.
2.与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)
(2)作三角形的内切圆.
【典型例题】
例1如图,已知直线l及l外一点A,分别按下列要求写出画法,并保留作图痕迹.
(1)在图①中,只用圆规在直线l上画出两点B,C,使得点A,B,C是一个等腰三角形的三个顶点;
(2)在图②中,只用圆规在直线l外画出一点P,使得点A,P所在直线与直线l平行.
·
A·
ll
①②
例2如图,已知∠α、∠β,用直尺和圆规求作一个∠γ,使得∠γ=∠α-
∠β.(只需作出正确图形,保留作图痕迹,不必写出作法)
第3课时三角形有关概念
考点1三角形的概念及性质
(1)由首尾顺次相接组成的图形,叫作三角形.
(2)三角形按边可分为:
三角形和三角形;
按角可分为:
锐角三角形、钝角三角形和直角三角形.
(1)三角形的内角和是;
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个;
三角形的一个外角和它不相邻的任何一个内角.
(2)三角形的任意两边之和第三边,任意两边之差第三边.
例1若三角形三边长分别为3,4,x-1,则x的取值范围是()
A.0<x<8B.2<x<8C.0<x<6D.2<x<6
考点2三角形中的重要线段
1.角平分线:
一个三角形有三条角平分线,并且都在三角形的内部,相交于一点,这个交点叫做三角形的。
三角形的角平分线是一条,而角的平分线是一条。
2.高线:
钝角三角形、锐角三角形、直角三角形都有三条高。
锐角三角形的三条高在其,相交于一点;
直角三角形有条高与直角边重合,另条高在三角形的内部,它们的交点在三角形的;
钝角三条有两条高在三角形的,一条高在三角形的,三条高不相交,但三条高所在的直线相交于三角形外一点.
3.中线:
一个三角形有三条中线并且都在三角形的内部,相交于一点,三角形的中线是一条。
任意一条中线都可把三角形分成两个相等的三角形。
4、三角形的中位线:
连接三角形两边中点的线段叫三角形的,三角形的中位线第三边,并且等于它的.
例2:
(2010四川巴中)如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离
相等,凉亭的位置应选在()
A.△ABC的三条中线的交点B.△ABC三边的中垂线的交点
C.△ABC三条角平分线的交点D.△ABC三条高所在直线的交点
考点3等腰三角形
1.等腰三角形的有关概念及分类:
有相等的三角形,
叫等腰三角形,相等的三角形叫做等边三角形,也叫正三角形;
等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形.
2.等腰三角形的性质:
(1)等腰三角形的两个底角;
(2)等腰三角形的三条线互相重合;
(3)等腰三角形是对称图形.
3.等腰三角形的判定:
(1)有相等的三角形是等腰三角形;
(2)有相等的三角形是等腰三角形.
例3如图,△ABC中,AB=AC=6,BC=8,AE平分∠BAC交BC于点E,点D为AB的中点,连结DE,则△BDE的周长是()
A.
B.10
C.
D.12
考点4等边三角形的性质与判定
1.等边三角形的性质:
等边三角形的内角都,且等于.
2.等边三角形的判定:
(1)有相等的三角形是等边三角形;
(2)有相等的三角形是等边三角形;
(3)有一个角为的三角形是等边三角形.
例4(2009四川泸州中考)已知△ABC为等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.
(1)求证:
△ABE≌△CAD;
(2)求∠BFD的度数.
考点5线段的垂直平分线
1.性质:
线段垂直平分线上的点到这条线段的距离相等.
2.判定:
到一条线段的两个端点相等的点在线段的垂直平分线上,线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的集合.
考点6角平分线
角平分线上的点到这个角的距离相等.
到一个角的两边距离相等的点在这个角的,角的平分线可以看作是到角相等的点的集合.
11.如图,在△ABC中,BC=8,AB的中垂线交BC于D,AC的中垂线交BC于E,则△ADE的周长等于.
三.简答题
12.如图,在△ABC中,D、E分别是AC和AB的一点,BD与CE交于点O,给出下列四个条件:
①∠EBO=∠DCO;
②∠BEO=∠CDO;
③BE=CD;
④OB=OC.
(1)上述四个条件中,哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有的情形);
(2)选择
(1)小题中的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.
第4课时直角三角形与勾股定理
考点1直角三角形的性质
角:
直角三角形的两锐角.
边:
1.直角三角形斜边上的等于斜边的一半.
2.直角三角形的平方和等于的平方.(勾股定理)
边与角:
直角三角形中,30°
所对的边等于的一半.
考点2直角三角形的判定
1.有一个角等于的三角形是直角三角形.
2.有两角互余的三角形是直角三角形.
1、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,则该三角形是三角形.
2.如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和,那么这个三角形是三角形.(勾股定理的逆定理)
考点3勾股数
a2+b2+=c2的三个正整数称为勾股数,也就是说,在给定的三个正整数中,其中最大的数的平方等于其他两个数的平方和,这组数就是勾股数.
例1如图,Rt△ABC中,∠B=90°
,AB=3cm,AC=5cm,将△ABC折叠,使点C与A重合,得折痕DE,则BE等于cm.
例2如图,四边形ABCD中,∠A=90°
,AB=3,AD=4,CD=13,CB=12,求四边形ABCD的面积.
考点4互逆命题、互逆定理及其关系
互逆命题:
两个命题中,如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,那么这两个命题称为命题,如果一个叫原命题,那么另一个叫做它的逆命题.
互逆定理:
一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理互为逆定理,其中一个定理为另一个定理的逆定理.
第5课时全等三角形
考点1全等三角形的性质与判定
能够完全的两个三角形叫做全等三角形.
全等三角形的、对应角分别相等.
(1)有对应相等的两个三角形全等,简记为(SSS);
(2)有两边和它们的对应相等的两个三角形全等,简记为(SAS);
(3)有两角和它们的对应相等的两个三角形全等,简记为(ASA);
(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简记为(AAS);
(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简记为.
例1已知如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.
求证:
(1)△BFC≌△DFC;
(2)AD=DE.
考点2定义、命题、定理、公理
对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义.
2.命题:
判断一件事情的语句.
(1)命题由和两部分组成.
(2)命题的真假;
的命题称为真命题;
的命题称为假命题.
(3)互逆命题:
在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题称为互逆命题.每一个命题都有逆命题.
3.定理:
经过证明的真命题叫做定理.因为定理的逆命题不一定都是真命题.所以不是所有的定理都有逆定理.
4.公理:
有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据,这样的真命题叫公理.
例2(2009湖南娄底中考)下列命题,正确的是()
A.如果|a|=|b|,那么a=b
B.等腰梯形的对角线互相垂直
C.顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形
D.相等的圆周角所对的弧相等
考点3证明
1.证明:
从一个命题的条件出发,根据定义、公理及定理,经过逻辑推理,得出它的结论成立,从而判断该命题为真,这个过程叫做证明.
2.证明的一般步骤:
(1)审题,找出命题的题设和结论;
(2)由题意画出具有一般性的图形;
(3)用数学语言写出已知、求证;
(4)分析证明的思路;
(5)写出证明过程,每一步应有根据,要推理严密.
例3已知命题:
如图,点A,D,B,E在同一条直线上,且AD=BE,∠A=∠FDE,则△ABC≌DEF.判断这个命题是真命题还是假命题,如果是真命题,请给出证明;
如果是假命题,请加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明.
第六单元四边形
第1课时多边形与平面图形的镶嵌
考点1多边形(包括四边形)的定义
在同一平面内,的一些线段组成的图形叫做多边形.
考点2三角形的特征
1.稳定性:
只要三边长为定值,它的大小、形状就完全确定了.
2.基础性:
三角形是基本的封闭图形,是边数最少的多边形.
考点3多边形的有关性质
1.n边形内角和为.2.任意多边形的外角和为 .
3.正n边形的一个内角为.
例1一个正n边形的各内角都等于120°
,则n=,一个n边形内角和与外角和相等,则n=;
考点4平面镶嵌
1.用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫多边形覆盖平面或平面镶嵌问题.
2.平面镶嵌的条件:
有同一顶点的几个角的和等于360°
【辨析】
(1)用同一种正多边形可以铺满地板的有:
正三角形,正方形,正六边形.
(2)也可用多种正多边形铺地板.
【关键】能镶嵌平面的关键是几个正多边形在同一个顶点的几个角的和等于 .
例2某商店出售下列四种形状的地砖:
①正三角形;
②正方形;
③正五边形;
④正六边形,若只选购其中一种地砖镶嵌地面,可供选择的地砖共有()
A.4种B.3种C.2种D.1种
第2课时平行四边形概念及性质
考点1平行四边形的概念
两组对边分别是平行四边形.
考点2平行四边形的性质定理
1.平行四边形的对边.
2.平行四边形的对角.
3.平行四边形的对角线.
4.平行四边形是中心对称图形,它的对称中心是交点.
注意:
若一条直线过平行四边形的对角线的交点,那么这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中心,且这条直线等分平行四边形的面积.
教师建议:
学习四边形这一章,建议同学们把握住边、角、对角线去记忆,这样就不容易混淆,四边形这部分内容显示着图形向三角形转化的意义和作用,而特殊四边形自身所具有的美妙而重要的性质,更是解决许多数学问题和现实问题的基础,因此掌握好特殊四边形的性质及功能极为重要.
第3课时平行边形的判定
平行四边形的判定定理
1.是平行四边形.
2.是平行四边形.
3.是平行四边形.
4.是平行四边形.
5.是平行四边形.
如何利用平行四边形的判定解决问题.
(1)根据平行四边形的性质可知,利用平行四边形的性质是证明边角相等的有效途径之一.因此,解题时往往先判定一个四边形是平行四边形,然后再利用性质解决问题,至于使用哪种判定方法依题目条件灵活确定.
(2)决有关平行四边形的问题,常将判定和性质综合起来运用.
(3)平行四边形的问题常和全等三角形和等腰三角形的知识灵活运用,相互转化.
第4课时矩形
考点1矩形的概念:
有一个角是的平行四边形叫做矩形.
考点2矩形的性质:
(1)具有平行四边形的一切性质.
(2)矩形的四个角都是角.
(3)矩形的对角线且.
(4)矩形是轴对称图形也是.
考点3矩形的判定:
(1)证明它有个角是直角.
(2)先证明它是平行四边形,再证明它有个角是直角.
(3)先证明它是平行四边形,再证明对角线.
考点4推论:
在直角三角形中,斜边上的中线等于.
考点5矩形的面积:
S矩形=长×
宽
矩形问题往往转化为直角三角形问题,可以联系勾股定理,应用或转化为等腰三角形问题.(注意:
矩形中的60°
、120°
角的出现往往产生等边三角形,利用矩形的性质可以证明线段相等或倍分,直线平行,角相等……)
第5课时菱形
考点1菱形的概念:
的平行四边形叫做菱形.
考点2菱形的性质:
(2)菱形的四条边都.
(3)菱形的两条对角线相互平分,并且每条对角线平分一组角.
(4)菱形的面积等于或等于两对角线的积的.
(5)菱形是
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