3热传导方程的初边值问题Word下载.docx
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V(x,O)(x)U(x,O),Oxi,
V(0,t)0,V(l,t)0,0tT
我们先考虑齐次方程,齐次边界的情形
utauxx0,0xl,t0
(3.1)
u(x0)(x),0xl,
(3.2)
u(0,t)u(l,t)0,t0
(3.3)
解设u(x,t)X(x)T(t),代入方程
T(t)X(x)a2X(x)T(t),
T(t)X(x)
a2T(t)X(x),
这等式只有在两边均等于常数时才成立令此常数为,则有
Ta2T
(3.4)
XX
(3.5)
先考虑(3.5),根据边界条件(3.3),X(x)应当满足边界条件
X(0)0,X(l)0(3.6)
情形A:
当0时,方程(3.5)的通解可以写成
X(x)Ge一xC2^_x,
要使它满足边界条件(3.6),就必须
C1C20,
Ge—1C2e_l0,
11——由于--e八e"
0,
VII
ee
只能CiC20,故在0的情况得不到非平凡解.
情形B:
X(x)CiC2X,
要满足边界条件(3.6),G0,C1IC20,即GC20.
X(x)也只能恒等于零.
情形C:
0时,方程(3.5)的通解具有如下形式:
X(x)C1cos、xC2sin、
x,
由边界条件X(0)0,知C1
0,再由X(l)
这样就找到了一族非零解
Xk(x)Ck
k
称Xk(x)Cksin
的固有函数(特征函数)
k22
I2
.k
sin
I
2k22
a-^T0,
可得
Tk(t)
k,(k
C2Sin•.、I,可知,为了使C20,就必须
(k1,2,
x,(k1,2,
x为常微分方程边值问题
1,2,)
X(x)X(x),0
X(0)
称为相应的固有值
I22
a?
L_t
BkeI2
于是得到一列可分离变量的特解
22a2k
Uk(X,t)
(3.7)
(3.8)
由于方程(3.1)
及边界条件(
3.3)
X(l)0
(或特征值)
•将固有值k代入方程(3.4)中,
Ix,(k12,
都是齐次的,故可利用叠加原理构造级数形式的解
(3.9)
(3.10)
u(x,t)
Uk(x,t)
k1
Ake/kt
sin..kx,
(3.11)
其中k
由(3.2),为使在t0时,U(x,t)取到初值(X),应成立
得出Ak
得到问题
其中
定理
(X)
21
To(
(3.1)-
Aksin..kX
Asin
Tx,
(3.12)
)sind.
l
(3.3)的解
u(X,t)
Akea2
sin..kX,
(3.13)
To
)sin
C1[0,l],(0)
(l)0,则
(3.14)
u(X,t)Akeaktsin..kX,
utauXX0,0xl,to(3.1)
是
u(X0)
(x),0x
l,
u(0,t)
u(l,t)0,t
的古典解(经典解)
证明由
C[0,l],得
在[0,l]上可积.
2i
|Ak||?
0(
)sind|
y0I()|dM
对任意0,当t时,成立
(Aea
M1
(m弓)
ke
a2
(任意整数m,n0)
又对任意p0,而级数kpeak收敛,
mn
所以^^(Akeaktsin、..kX)在0xl,t上一致收敛
k1tx
于是
即级数u(x,t)
Akea2讥
sin.kX,当°
xl,t时,关于x及t具有任意阶的连续偏
导数,并且求偏导与求和可以交换
由于级数的每一项都满足方程及边界条件
从而函数u(x,t)在t时,确实满足方程及
边界条件.再由0的任意性,得u(x,t)在t
0时满足方程及边界条件
且u(x,t)C([0,|](0,)).
再证
limu(x,t)
x
t
(Xo),(OXo
l)
由条件
C1[0,l],
(0)
(l),
|Ak|「
|0(x)sinlxdx
k|
70
(x)cos—
—xdx|一
sin「x
c1k
ak
cl
k2
ak,
由Bessel不等式,知
?
dx,
从而得到
eV
Aksin丫
■'
kX在t
0,0
Xl上
'
致收敛,
|ak|
致收敛于(x),
xo
Aksinkx在0xl上
从而得u(x,t)在t
0,0xl上连续.
于是limu(x,t)
x冷
t0
lime"
ktA.sin.kx
1XX0
1t0
Aksin.kx。
(Xo),(OXol).
3.1初边值问题解的渐近性态
定理假设初始函数(x)满足C1[0,l],(0)(l)0,则当t
趋于无穷大时问题(3.1)-(3.3)的唯一的古典解指数衰减地趋于零,确切地说,当t时,
对一切x[0,l],
|u(x,t)|Ce^0,
其中C是一个与解无的正常数证明古典解是唯一的,
U(X,t)
Ake
sinkx是唯一的古典解,其中
k下
)sind,k1,2,
,、…2l
(x)M,则有|Ak|-0
()sinl
(x)在[0,1]上有界,设
d
Md
2M
u(x,t)
Ake
kt
2Me
it
a2(k
1)t
1)
2Mea
1t
aT
2.
Cea1t
3.2非齐次方程求解方法一齐次化原理考虑非齐次方程
Ut
U(x,0)u(0,t)
2aUxx
u(l,t)
f(X,t)
齐次化原理:
若
w(x,t;
)是下述问题
w
一a
w(0,t;
22W
r,t,0
)|f(x,)
)w(l,t;
)0
(*)
的解(其中
0为参数)
是非齐次问题
t
0w(x,t;
)d
UtaUxx
f(x,t)
l,t
u(x,0)0,u(0,t)u(l,t)0,
的解.
证明显然u(x,0)0,u(0,t)u(l,t)
w(x,t;
t)
2U
a2
t2
t2wu
na2d,贝Uu满足——0x2t
f(x,t).u(x,t)是非齐次问题的解
现在来求问题(*)的解.
w2w
a20,t0,0xl
tx2
w|0f(x,)
w(o,t;
)w(l,t;
)0,t0
(**)
我们已知问题(**)的解为
Bk(
)e
a2kt
kX,
i
0f(
)sinkd.
是w(x,t;
a2k(t
)sinkX,
故u(x,t)
0Bk(
\a
k(t
sin..kx,是非齐次问题的解•
初边值问题
aUxx
f(x,t),
u(x,0)(x),
u(0,t)u(l,t)
的解为
U(x,t)Akea
ktsin..
;
I
kX0Bk(
・22
2l
()sind
其中k2,Ak
l2
3.3非齐次初边值冋题的特征函数展开法
UtaUxxf(x,t),u(x,0)(x),
u(0,t)u(l,t)0
)eak(t)dsin...
,Bk()y0f(
、•k
)sind.
0xl,0t
T
0xl,
(3.15)
0tT
方法步骤把u(x,t),方程的非齐次项f(x,t)和初值都按照特征函数系sinx展开:
l
U(x,t)
Tk(t)sinx,
k1l
f(x,t)
fk(t)sinx,
(x)
ksin^x,
由特征函数系
sinkx在区间[0,l]上的正交性,可得
fk(t)
f(x,t)sinxdx,
(x)sin—xdx.
而函数Tk(t)暂时还是未知的•为确定Tk(t),把上述展开式问题(3.15)代入方程和初始条件
sinx的完备性,从而得到Tk(t)适合下列微分方程和初始条件
a2(”Tk(t)
sin^x
fk(t)sin\x,
Tk(0)sinx
sinx,
于是得到
Tk(0)
2(k
a(1
k,k
)2Tk(t)
12,
/(T)2Tk(t)
a2(\)2t
从0到t积分
故非齐次初边值问题解
u(x,t)
a2(-)2t
elTk(t)Tk(0)
Tk(t)k^(T)t
u(x,t)的表达式为
fk(
a2(-)2
)el
2k2
a2(—)2(t
0fk(
)ea2k(t
)dsin.kx,
这与前面的结果一致•能量衰减估计
l,t
0x
UtaUxx0,0u(x,0)(x),
用u乘以方程两端,在[0,1]上积分
0(ut
uxx
u)dx0,
0ut
udx
1丄—
02t
u2dx
0uXXudx
auxu
1d
2dt
a20uXuXdx
u2dx,
ux2dx,
0x、
dt0u2dx
212
2a0ux
°
Ux(
t)d
ux(
ux(,t)d
t)d
1/2
12d
1/2
ux(X,t)dx
ux
lu2dx
12
0uxdxdx
uX2dx
dt
2a2
T^
dx
u2(x,0)dx0,
ou2(x,t)dxe
u2(x,0)dx
2(x)dx.
定理(Cauchy-Schwarz不等式)
f,g在[a,b]上可积,则有|
f(x)g(x)dx|
f2(x)dx)2(g2(x)dx)2。
a
证明
证法一对区间[a,b]的任意分割
X0
x1
Xn1Xn
任取
i【Xi1,xJ,i1,2,,n,记Xi
Xi
max
n
nn
由于成立If(Jg(JXi|(|f(
i1i1
i)|2
Xi/(
|g(
i1
Xi)2,
证法
bb212
Iaf(x)g(x)dx|(af(x)dx)2(
考虑二次函数
b
()a[f(x)
g(x)]2dx
bf2(x)dx2
af(x)g(x)dx
2b
ag
得到
如果ag2(X)dX0
,在上式中取
b2
af(x)dx
abg2(x)dx(
从而(bf(x)g(x)dx)
于是成立
Iaf(x)g(x)dx|
如果
必有
:
g2(x)dx)12;
(x)dx0,
ag(x)dx
af(x)g(x)dx)20,
f(x)dxg(x)dx,
(:
f2(x)dx)12(
:
g2(x)dx)12;
bg2(x)dx0,则对
f(x)g(x)dx0
),成立b
f(x)dx
af(x)g(x)dx0,
,此时自然成立,
12
f(x)g(x)dx|(;
f2(x)dx)2(
bg2(x)dx)2。
定理(Minkowski不等式)
设f,g在[a,b]上可积,则有(b[f(x)
g(x)]2dx)12(
b21b
af2(x)dx)2(
g2(x)dx)2.
证明因为[f(x)g(x)]2dx
alf(x)
g(x)||f(x)g(x)|dx
al"
g(x)||f(x)|dxa|f(x)g(x)||g(x)|dx
(aH(X)
g(x)|2dx)l2(
f2(x)dx)'
2dx
[f(x)
a"
)
(If(x)
g(x)|2dx)l2(bg2(x)dx/2dx
212b
g(x)]dx)2[(a
g(x)]2dx)120
f(x)dx)
b2J
(g(x)dx)2],
,则不等式自然成立;
,则消去公因子,
所以([f(x)g(x)]2dx)2(f2(x)dx)2(g2(x)dx)2
aaa
1.用Cauchy-Schwarz不等式证明
(1)若f(x)在[a,b]上可积,则
(ba)f2(x)dx;
(2)若f(x)在[a,b]上可积,且f(x)m0,
则在[a,b]上可积;
且
f(x)
f(x)dx
亠X
af(x)
(ba)2.
定理1设函数C1[a,b],且(a)0,
b2—1—b2-
则有(a[(x)]dx)2t)2(ba)(a[(x)]dx)2.
证明由(x)(t)dt,
11
x_b_
得I(X)|a|(t)pt(xa)2([(x)]2dx)2,
aa
|(x)f(xa)(a[(x)]2dx),
b212b2
于疋[(x)]dx-(ba)[(x)]dx,故结果得证
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