步步高二轮复习专题五 第1讲 空间几何体.docx

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步步高二轮复习专题五第1讲空间几何体

第1讲　空间几何体

考情解读　1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题．

1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系

2．空间几何体的三视图

（1）三视图的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形．

（2）三视图排列规则：

俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．

（3）画三视图的基本要求：

正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．看不到的线画虚线．

3．直观图的斜二测画法

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则：

（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°（或135°），z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

4．空间几何体的两组常用公式

（1）柱体、锥体、台体的侧面积公式：

①S柱侧＝ch（c为底面周长，h为高）；

②S锥侧＝ch′（c为底面周长，h′为斜高）；

③S台侧＝（c＋c′）h′（c′，c分别为上，下底面的周长，h′为斜高）；

④S球表＝4πR2（R为球的半径）．

（2）柱体、锥体和球的体积公式：

①V柱体＝Sh（S为底面面积，h为高）；

②V锥体＝Sh（S为底面面积，h为高）；

③V台＝（S＋＋S′）h（不要求记忆）；

④V球＝πR3.

热点一　三视图与直观图

例1　某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A.B．8

C.D．16

（2）（2013·四川）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（　　）

思维启迪　

（1）根据三视图确定几何体的直观图；

（2）分析几何体的特征，从俯视图突破．

答案　

（1）B　

（2）D

解析　

（1）由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图：

则该几何体的体积V＝×2×2×4＝8.

（2）由俯视图易知答案为D.

思维升华　空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．

（1）（2013·课标全国Ⅱ）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是（1,0,1），（1,1,0），（0,1,1），（0,0,0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为（　　）

（2）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（　　）

答案　

（1）A　

（2）D

解析　

（1）根据已知条件作出图形：

四面体C1－A1DB，标出各个点的坐标如图

（1）所示，可以看出正视图为正方形，如图

（2）所示．故选A.

（2）如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D.

热点二　几何体的表面积与体积

例2　

（1）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A.πB．2π

C.D.

（2）如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连接EF，FB，DE，则几何体EFC1－DBC的体积为（　　）

A．66B．68

C．70D．72

思维启迪　

（1）由三视图确定几何体形状；

（2）对几何体进行分割．

答案　

（1）D　

（2）A

解析　

（1）由三视图知，原几何体是两个相同的圆锥的组合，∴V＝（×π×12）×2＝π.

（2）如图，连接DF，DC1，那么几何体EFC1－DBC被分割成三棱锥D－EFC1及四棱锥D－CBFC1，那么几何体EFC1－DBC的体积为V＝××3×4×6＋××（3＋6）×6×6＝12＋54＝66.

故所求几何体EFC1－DBC的体积为66.

思维升华　

（1）利用三视图求解几何体的表面积、体积，关键是确定几何体的相关数据，掌握应用三视图的“长对正、高平齐、宽相等”；

（2）求不规则几何体的体积，常用“割补”的思想．

　多面体MN－ABCD的底面ABCD为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是（　　）

A.B.

C.D.

答案　D

解析　过M，N分别作两个垂直于底面的截面，将多面体分割成一个三棱柱和两个四棱锥，由正视图知三棱柱底面是等腰直角三角形，面积为S1＝×2×2＝2，高为2，所以体积为V1＝4，两个四棱锥为全等四棱锥，棱锥的体积为V1＝2××2×1×2＝，所以多面体的体积为V＝＋4＝，选D.

热点三　多面体与球

例3　如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（　　）

A.πB．3πC.πD．2π

思维启迪　要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空间位置关系确定球心的位置，由于△BCD是直角三角形，根据直角三角形的性质：

斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等，只要再证明这个点到点A的距离等于这个点到B，C，D的距离即可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可．

答案　A

解析　如图，取BD的中点E，BC的中点O，

连接AE，OD，EO，AO.

由题意，知AB＝AD，所以AE⊥BD.

由于平面ABD⊥平面BCD，AE⊥BD，

所以AE⊥平面BCD.

因为AB＝AD＝CD＝1，BD＝，

所以AE＝，EO＝.

所以OA＝.

在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝BC＝，

所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为.

所以该球的体积V＝π（）3＝π.故选A.

思维升华　多面体与球接、切问题求解策略

（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解．

（2）若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R2＝a2＋b2＋c2求解．

（1）（2014·湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（　　）

A．1B．2

C．3D．4

（2）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积是________；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是________．

答案　

（1）B　

（2）　3π

解析　

（1）由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r＝×（6＋8－10）＝2.因此选B.

（2）由三视图可知，该几何体是四棱锥P－ABCD（如图），其中底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝1，∴该四棱锥的体积为V＝×1×1×1＝.又PC为其外接球的直径，∴2R＝PC＝，则球的表面积为S＝4πR2＝3π.

1．空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．

2．在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量（球除外），因此体积计算中的关键一环就是求出这个量．在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面．

3．一些不规则的几何体，求其体积多采用分割或补形的方法，从而转化为规则的几何体，而补形又分为对称补形（即某些不规则的几何体，若存在对称性，则可考虑用对称的方法进行补形）、还原补形（即还台为锥）和联系补形（某些空间几何体虽然也是规则几何体，不过几何量不易求解，可根据其所具有的特征，联系其他常见几何体，作为这个规则几何体的一部分来求解）．

4．长方体的外接球

（1）长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即＝2R；

（2）棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即a＝2R.

真题感悟

1．（2014·北京）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2,0,0），B（2,2,0），C（0,2,0），D（1,1，）．若S1，S2，S3分别是三棱锥D－ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（　　）

A．S1＝S2＝S3B．S2＝S1且S2≠S3

C．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S1

答案　D

解析　如图所示，△ABC为三棱锥在坐标平面xOy上的正投影，所以S1＝×2×2＝2.

三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与△DEF（E，F分别为OA，BC的中点）全等，

所以S2＝×2×＝.

三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与△DGH（G，H分别为AB，OC的中点）全等，

所以S3＝×2×＝.

所以S2＝S3且S1≠S3.故选D.

2．（2014·江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．

答案　

解析　设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由＝，

得＝，则＝.

由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，

即r1h1＝r2h2，则＝，

所以＝＝.

押题精练

1．把边长为的正方形ABCD沿对角线BD折起，连接AC，得到三棱锥C－ABD，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形（如图所示），则其侧视图的面积为（　　）

A.B.

C．1D.

答案　B

解析　在三棱锥C－ABD中，C在平面ABD上的投影为BD的中点O，∵正方形边长为，∴AO＝OC＝1，∴侧视图的面积为S△AOC＝×1×1＝.

2．在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为，，，则三棱锥A－BCD的外接球体积为（　　）

A.πB．2πC．3πD．4π

答案　A

解析　如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，

∴三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长．

据题意解得

∴长方体的体对角线长为＝，

∴三棱锥外接球的半径为.

∴三棱锥外接球的体积为V＝π·（）3＝π.

（推荐时间：

50分钟）

一、选择题

1．已知正三棱锥V－ABC的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图的面积为（　　）

A．2B．4

C．6D．8

答案　C

解析　如图，作出正三棱锥V－ABC的直观图，取BC边的中点D，连接VD，AD，作VO⊥AD于O.

结合题意，可知正视图实际上就是△VAD，于是三棱锥的棱长VA＝4，从俯视图中可以得到底面边长为2，侧视图是一个等腰三角形，此三角形的底边长为2，高为棱锥的高VO.

由于VO＝＝2.

于是侧视图的面积为×2