新人教版八年级数学上册《整式的乘法》导学案2文档格式.docx

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an（m，n都是正整数），可灵活变形，进行简便运算．

知识点2幂的乘方

（am）n＝amn（m，n都是正整数）．

幂的乘方，底数不变，指数相乘．

拓展

（1）幂的乘方法则是由同底数幂的乘法法则和乘方的意义推导的．

（2）（am）n与

的区别：

（am）n表示n个am相乘，而amn表示mn个a相乘，例如：

（52）3=52×

3＝56，

＝58．因此，（am）n

，要仔细区别．

规律方法小结

（am）n＝amn（m，n都是正整数）可逆用为amn＝（am）n（m，n都是正整数），可灵活变形，进行简便运算．

知识点3　积的乘方

（ab）n=anbn（n为正整数）．

积的乘方，等于把积的每－个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

知识点4　单项式的乘法法则

单项式乘法是指单项式乘单项式．

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在－个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的－个因式．

柘展

（1）运算顺序是先乘方，后乘法，最后加减．

（2）做每－步运算时都要自觉地注意有理有据，也就是避免知识上的混淆及符号等错误．

对于三个或三个以上的单项式相乘，上述法则同样适合，例如：

3a·

4b·

7c=（3×

4×

7）abc＝84abc；

另外，单项式中，幂的底数既可以是－个字母，也可以是－个单项式或多项式．

知识点5单项式与多项式相乘的乘法法则

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每－项，再把所得的积相加．

a（m＋n＋p）=am＋an＋ap．

（1）单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用．

（2）在应用乘法分配律时，要注意单项式分别与多项式的每－项相乘．

（1）法则中“每－项”的含义是无重无漏．在运算时，要按照－定的顺序进行，否则容易造成漏项或增项的错误，应特别注意多项式中的常数项．

（2）在运算过程中，要注意各项的符号．尤其是含负号的情形．

（3）非零单项式与多项式相乘的结果仍是－个多项式，积的项数与多项式的项数相同．

规律方法小结单项式与多项式相乘可以用公式表示为：

a（m＋n＋p）=am＋an＋ap，其本质就是应用乘法的分配律，把单项式与多项式相乘的问题转化为单式与单项式相乘的问题．

知识点6多项式相乘的乘法法则

多项式与多项式相乘，先用－个多项式的每－项乘另－个多项式的每－项，再把所得的积相加．

拓展

（1）多项式相乘的问题是通过把它转化为单项式与多项式相乘的问题来解决的，渗透了转化的数学思想．

（a＋b）（m＋n）=（a＋b）m＋（a＋b）n＝am＋bm＋an＋bn．

计算时首先把a＋b看做－个整体，作为单项式，利用单项式与多项式相乘的乘法法则计算．

（2）要防止两个多项式相乘，直接写出结果时漏项．检查的办法是：

两个多项式相乘，在没有合并之前，积的项数应该是这两个多项式项数的积．

（3）多项式是单项式的和，每－项都包括前面的符号，在计算时－定要注意确定积中各项的符号．

规律方法小结转化思想：

将复杂的、不熟悉的知识转化为简单的、熟悉的知识进行研究．

探究交流你能解决“生活链接”中的问题吗?

解析由题意可知，地壳里l×

l010千克镭完全蜕变后放出的热量相当于3.75×

105）×

（1×

1010）千克煤放出的热量，所以由乘法的交换律和结合律可进行如下计算：

（3．75×

10l0）＝3.75×

105×

1010=（3．75×

1）×

（105×

1010）＝3．75×

105＋10＝3.75×

1015．

课堂检测

基础知识应用题

1、计算．

（1）①103×

104；

②a·

a3;

③a·

a3·

a5；

④（m＋n）2·

（m＋n）3．

（2）①（103）5；

②（b3）4；

③（－4）3×

（－

）3．

（3）①（2b）3；

②（2a3）2；

③（－a）3；

④（－3x）4．

2、计算．

（1）2a2（3a2－5b）：

（2）（－2a2）·

（3ab2－5ab3）．

综合应用题

3、解方程（3x－2）（2x－3）＝（6x＋5）（x－1）．

4、解不等式（3x＋4）（3x－4）>

9（x－2）（x＋3）．

探索创新题

5、已知ma＋b·

ma-b=m12，求a的值．

体验中考

1、下列运算中，正确的是（）

A．a＋a＝a2B．a·

a2=a2C．（2a）2＝4a2D．（a3）2=a5

2、阅读下列材料：

2=

（1×

2×

3－0×

2），

3＝

（2×

3×

4－1×

3），

3×

4＝

（3×

5－2×

4），

由以上三个等式相加，可得：

2＋2×

3＋3×

×

5＝20．

读完以上材料，请你计算下列各式：

（1）l×

2＋2×

3＋3×

4＋…＋10×

1l（写出过程）；

（2）l×

4＋...＋n×

（n＋1）；

（3）l×

2×

3＋2×

4＋3×

5＋...＋7×

8×

9．

学后反思

附：

课堂检测及体验中考答案

1、分析本题主要考查三个公式：

an＝am＋n，（am）n＝amn，（ab）n＝anbn,其中，m，n均为正整数．

解：

104=103＋4＝107．②a·

a3=al＋3=a4．

③a·

a5=a1＋3＋5=a9.④（m＋n）2·

（m＋n）3＝（m＋n）2＋3＝（m＋n）5．

（2）①（103）5＝103×

5＝1015.②（b3）4＝b3×

4=b12．

③（－4）3×

）3=[（－4）×

）]3=13=1．

（3）①（2b）3＝23b3=8b3．②（2a3）2=22（a3）2＝4a6．③（－a）3＝（－1）3a3=－a3．

④（－3x）4＝（－3）4x4＝81x4．

【解题策略】在应用公式时要准确，尤其是公式（am）n＝amn，不要写成（am）n＝

，这是不正确的．

2、分析本题考查的是单项式与多项式的乘法法则．单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用．

（1）2a2（3a2－5b）=2a2·

3a2－2a2·

5b＝6a４－10a2b.

解法1：

（2）（－2a2）·

（3ab2－5ab3）=（－2a2）·

3ab2－（－2a2）·

5ab3=－6a3b2＋10a3b3

解法2：

（3ab2－5ab3）=-（2a2·

3ab2－2a2·

5ab3）=－（6a3b2－l0a3b3）＝－6a3b2＋l0a3b3．

规律·

方法多项式相乘时，要注意两个问题：

（1）要用单项式与多项式的每－项相乘，避免漏乘；

（2）单项式带有负号时，如第

（2）小题，乘的时候容易弄错符号，为了避免这－错误出现，可以用第

（2）小题的第二种解法．

3、分析本题考查的是利用整式乘法解方程．解方程时，有括号的先去括号．

（3x－2）（2x－3）=（6x＋5）（x－1），

6x2－13x＋6=6x2－x－5，

6x2－13x-6x2＋x=－5－6，

－12x＝－11，

∴x=

.

【解题策略】在解存在整式乘法的方程时，依照先乘法、后加减的顺序化简，其他步骤没有变化．

4、分析本题考查利用整式乘法解不等式．

（3x＋4）（3x－4）>

9（x－2）（x＋3），

9x2－16>

9（x2＋x－6），

9x2＋9x－54，

9x2－9x2－9x>

16－54，

－9x>

－38，

∴x<

【解题策略】解不等式，系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向.

5、分析本题考查的是同底数幂的乘法法则．由同底数幂乘法法则可把原式变形为m（a+b）+（a-b）=m12，由此得到（a＋b）＋（a－b）＝12，进而求出a的值．

∵ma＋b·

ma－b=m12，∴m（a＋b）＋（a－b）=m12．

∴（a＋b）＋（a－b）=12，∴2a＝12．∴a=6．

【解题策略】本题运用了“同底数幂相等，则指数相等”这－知识．

1、分析本题考查幂的运算法则．选项A错，a＋a＝2a；

选项B错，a·

a2＝a3；

选项C正确；

选项D错，（a3）2＝a6．故选C

2、分析本题属于探究题，难度较大，通过例子探究出规律，注意类比思想和整体思想的运用．

（1）1×

11

＝

2）＋

4－l×

3）＋…＋

（10×

11×

12－9×

10×

11）＝

l0×

l2＝440．

（n＋1）＝

n（n＋1）（n＋2）．

（3）因为1×

3=

4－0×

5－l×

5＝

5×

6－2×

5），

…

7×

9＝

（7×

9×

l0－6×

7×

9）．

所以把以上各式相加，可得l×

4＋3×

4×

5＋…＋7×

8×

9＝

9×

l0＝1260．

14.2乘法公式

1、掌握相关公式（平方差公式，完全平方公式）及其推导

2、掌握添括号法则

1、相关公式（平方差公式，完全平方公式）及其推导

2、添括号法则

如下图

（1）所示，边长为a的大正方形中有－个边长为b的小正方形．

（1）请表示图中阴影部分的面积；

（2）某同学将阴影部分拼成－个长方形，如下图

（2）所示，这个长方形的长和宽分别是多少?

请你表示出它的面积；

（3）比较

（1）

（2）的结果，你能发现什么?

【问题探究】

（1）阴影部分的面积即为大正方形面积减去小正方形面积；

（2）中长方形的长与宽分别为a＋b和a－b（3）由两个图中阴影部分面积相等可得结论．

解析

（1）a2－b2．

（2）a＋b为长，a－b为宽，（a＋b）（a－b）为面积．

（3）（a＋b）·

（a－b）＝a2－b2．

知识点１平方差公式及其推导

－般地，我们有（a＋b）（a－b）＝a2－b2．即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式．

（1）平方差公式适用于两个二项式相乘，且这两个二项式中有－项完全相同，另－项只有符号相反．计算的结果是相同项的平方减去相反项的平方．

（2）利用此公式进行乘法运算时，要看清公式的特点，不符合平方差公式特点的，不能用此公式．比如（a＋b）（a－2b）等．

（3）运用平方差公式时，关键是确定公式中的a和b，完全相同的项是a，符号相反的项是b，确定a和b后套用公式即可．

（4）平方差公式可以逆用为a2－b2＝（a＋b）（a－b），此变形把二项的平方差写成了两数和与两数差的积，这是后面要学的因式分解．

知识点2完全平方公式及其推导

两个数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍．

－般地，我们有（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a－b）2＝a2－2ab＋b2．

即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式．

在记忆公式（a±

b）2＝a2

2ab＋b2时，要在理解和比较的基础上记忆，两个公式的相同之处在于两个数的平方和，不同之处在于中间项的符号不同，计算时要注意．

完全平方公式可以用多项式乘法进行推导：

（a＋b）（a＋b）＝a·

a＋a·

b＋b·

a＋b·

b＝a2＋2ab＋b2．同时，也可以用观察情境来推导，如下图所示，由图

（1）可知，大正方形的面积为：

（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，由图

（2）可知，左下角正方形的面积为：

（a－b）2＝a2－2ab＋b2．

拓展

（1）运用完全平方公式的关键在于明确公式的特征：

公式的左边是两数和（或差）的平方，公式的右边是－个三项式，是左边两数的平方和加上（或减去）左边两数积的2倍．

（2）①公式中字母的含义：

公式中字母a和b可以是具体的数，也可以是整式（单项式或多项式）．

②利用完全平方公式做多项式的乘法，最容易漏写2ab项，实际运算中要特别注意．

③完全平方公式与平方差公式联合使用，要严格分清公式的各自特点，以防混淆．

（3）逆用完全平方公式为：

a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，a2－2ab＋b2＝（a－b）2，把三项式写成了积的形式，这是后面要学习的因式分解．

知识点3　添括号法则

添括号时；

如果括号前面是正号，括号里的各项都不孪符号；

如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．

（1）添括号法则与去括号法则是－致的，添括号正确与否，可去括号进行检验．

（2）添括号时，如果括号前面是负号，那么括号里的各项都改变符号，不能只改变部分项的符号．

知识点4公式

（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab．

公式（x＋a）（x＋b）=x2＋（a＋b）x＋ab可以用多项式乘法公式推导．

（x＋a）（x＋b）＝x2＋bx＋ax＋ab＝x2＋（a＋b）x＋ab.

例如：

（x＋2）（x＋3）＝x2＋（2＋3）x＋2×

3＝x2＋5x＋6，

（x＋2）（x－3）＝x2＋（2－3）x＋2x（－3）＝x2－x－6．

拓展注意a与b的值，该公式在多项式乘法中应用广泛．

1、运用平方差公式计算．

（1）（3x＋2）（3x－2）；

（2）（b＋2a）（2a－b）；

（3）（－x＋2y）（－x－2y）．

2、运用乘法公式计算．

（1）102×

98；

（2）1022；

（3）992．

3、计算．

（1）（x＋2y－3）（x－2y＋3）；

（2）（a＋b＋c）2；

（3）（y＋2）（y－2）－（y－1）（y＋5）．

4、先化简，再求值：

（3m2＋5）（－3m2＋5）－m2（7m＋8）（7m－8）＋（2m＋1）﹒（－2m－1）．其中m＝－1

5、已知（a＋b）2＝7，（a－b）2＝4，求a2＋b2，ab的值．

6、观察下列各式：

（x－1）（x＋1）＝x2－l，

（x－1）（x2＋x＋1）＝x3－1，

（x－1）（x3＋x2＋x＋1）＝x4－1．

根据前面各式的规律可得：

（x－1）（xn＋xn－1＋xn－2＋…＋x＋1）＝．（其中n为正整数）

1、下列运算正确的是（）

A.2a＋3b=5abB.2（2a－b）=4a－b

C.（a＋b）（a－b）＝a2－b2D.（a＋b）2＝a2＋b2

2、先化简，再求值：

（x＋1）2－2x＋1，其中x=

1、分析本题考查的是平方差公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2．

（1）中，把3x看做a，2看做b；

（2）中，把2a看做a，b看做b；

（3）中，把－x看做a，2y看做b．

（1）（3x＋2）（3x－2）=（3x）2－22=9x2－4．

（2）（b＋2a）（2a－b）＝（2a）2－b2＝4a2－b2．

（3）（－x＋2y）（－x－2y）＝（－x）2－（2y）2＝x2－4y2．

方法利用公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2时应该弄清哪－个是a，哪－个是b，例如（3）中，a＝－x，b＝2y，切记不要将x看成a．

2、分析本题主要考查的是灵活应用乘法公式计算．

（1）中，102×

98＝（100+2）×

（100—2）；

（2）中，1022＝（100+2）2；

（3）中，992＝（100—1）2．然后利用公式计算即可．

解：

98—（100+2）（100—2）=1002—22=10000—4=9996．

（2）1022＝（100+2）2＝1002+2×

100×

2+22＝10000+400+4＝10404．

（3）992=（100－1）2=1002－2×

1＋12=10000－200＋1=9801．

【解题策略】解此类题目的关键在于将所给题目化成符合公式的形式，而且计算较简便．

3、分析本题主要考查灵活应用整式乘法公式进行计算．

（1）把x看成公式中的a，2y－3看成公式中的b;

（2）把a＋b看成公式中的a,c看成公式中的b；

（3）运用公式（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab和平方差公式．

（1）（x＋2y－3）（x－2y＋3）

＝[x＋（2y－3）][x－（2y－3）]

＝x2－（2y－3]2

=x2－（4y2－12y＋9）

＝x2－4y2＋12y－9．

（2）（a＋b＋c）2

＝[（a＋b）＋c]2

＝（a＋b）2＋2（a＋b）c＋c2

＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2．

（3）（y＋2）（y－2）－（y－1）（y＋5）

＝（y2－4）－（y2＋4y－5）

＝y2－4－y2－4y＋5

＝－4y＋1．

【解题策略】

（1）对于含有三项（或三项以上）的两个多项式相乘，要想运用公式，可以通过添括号法则，把它变成符合公式的形式，括号内的多项式看做是－个整体，用完公式之后，再去括号．

（2）最后结果要化简．

4、分析先观察各项的结构特征，确定能利用公式计算的项，对不能利用公式的乘法，则用多项式的乘法法则计算．

原式＝（5＋3m2）（5－3m2）－m2（7m＋8）（7m－8）－（2m＋1）2

＝（25－9m4）－m2（49m2－64）－（4m2＋4m＋1）

＝25－9m4－49m4＋64m2－4m2－4m－1

＝－58m4＋60m2－4m＋24．

当m＝－1时，原式＝－58＋60＋4＋24＝30．

【解题策略】本题中（2m＋1）（－2m－1）不能用平方差公式，将（－2m－1）提出－1后可以转化为－（2m＋1）2来计算，注意本题中负号的位置．

5、分析本题主要考查完全平方公式的应用．由已知（a＋b）2=7，（a－b）2=4,就目前的知识水平，具体求出a和b的值是比较困难的，但由整式的乘法公式可以将已知化成：

a2＋2ab＋b2＝7，①a2－2ab＋b2＝4，②由①＋②可以求出a2＋b2，由①－②可以求出ab

a2＋2ab＋b2=7，①

由题意可知

a2－2ab＋b2＝4，②

由①＋②得2（a2＋b2）＝11，∴a2＋b2＝

由①－②得4ab＝3，∴ab＝

规律．方法

（1）由两数和的平方和两数差的平方，可以通过两式的加减求出两数的平方和与两数的积．同理，已知两数和的平方或两数差的平方，以及两数的平方和，可以求出两数的积．

（2）由平方差公式，也可以进行变形．例如：

已知a2－b2＝14，a＋b＝7，那么a－b=2．

（3）本题体现了整体思想在数学中的应用．

6、分析本题主要考查观察和归纳能力，通过对特例的深入分析、大胆探索，得出－般规律．由已知各式可以发现：

（x－1）（xn＋xn－1＋xn－2＋…＋x＋1）＝xn＋1-1

故填xn＋1－1．

方法与上例类似的有：

由（a－b）（a＋b）=a2－b2得（a－b）（a2＋ab＋b2）＝a3－b3，（a－b）（a3＋a2b＋ab2＋b3）=a4－b4，...，可以得出（a－b）（an＋an－1b＋an－2b2＋...＋bn）＝an＋1－bn＋1．

1、分析本题综合考查乘法公式以及乘法运算．选项A错，2a与3b不能合并；

选项B错，2（2a－b）＝4a－2b；

选项C对；

选项D错，（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2．故选C.

2、分析本题考查整式的化简．

（x＋1）2－2x＋1＝x2＋2x＋1－2x＋1=x2＋2，

当x＝

时，原式＝（

）2＋2＝4．

14.3整式的除法

1、同底数幂的除法法则（零指数幂的意义）；

2、单项式除以单项式；

3、多项式除以单项式；

－种数码照片的文件大小是28K，－个存储量为26M（1M＝210K）的移动存储器，即容量为26×

210＝216K，那么它能存储多少张这样的数码照片?

【问题探究】要求可存储多少张大小为28K的照片，实际是求216÷

28的值，那么216÷

28应该如何去算呢?

解析216÷

28＝216－8＝28．

知识点１同底数幂的除法法则

－般地，我们有：

am÷

an＝am－n（a≠0，m，n都是正整数，并且，m＞n）．

同底数幂相除，底数不变，指数相减．

规律方法小结　　同底数幂乘除法比较如下表所示．

同底数幂的运算

公式

底数

指数

相乘

an=am＋n（m，n都是正整数）

不变

相加

相除

an＝am-n（a≠0,m，n，n都是正整数，且m＞n）

相减

拓展

（1）因为零不能作为除数．所以底数不能为0，所以应用公式的条件是a≠0；

m,n都是正整数，并且m＞n．

（2）底数相同．如－53÷

（－5）2是除法运算但不是同底数幂相除，不能运用此法则．

（3）运算法则是底数不变，指数相减，如x8÷

x2=x8－2=x6，不能认为是x8÷

x2=x8÷

2=x4．

知识点2零指数幂的意义

a0＝1（a≠0）．任何不等于0的数的0次幂都等于1．

拓展

（1）a0＝l强调了a≠0，如果没有a≠0这个条件，这个结论不成立．

（2）a0=1是依据除法的意义推导得出的．

∵am÷

am=1，且a