特殊的平行四边形与梯形Word下载.docx
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菱形
1、有一组邻边相等的平行四边形(定义)
2、四边都相等的四边形
3、对角线互相垂直的平行四边形
除具有平行四边形的性质外还具有以下性质
1、四条边都相等
2、对角线互相垂直,且每条对角线平分一组对角
3、
(l1,l2表示两对角线的长)
正
方
形
1、有一个角是直角,一组邻边相等的平行四边形(定义)
2、一组邻边相等的矩形
3、一个角是直角的菱形
4、对角线相等且垂直的平行四边形
除具有平行四边形、矩形、菱形的性质外,还具有以下性质:
1、对角线与边夹角为45°
2、S=a2(a表示边长)
2、梯形、等腰梯形、直角梯形的定义、判定及性质
一般梯形
一组对边平行另一组对边不平行的四边形(定义)
1、一组对边平行,另一组对边不平行
2、
或S=l·
h(a,b,h分别表示上底、下底和高,l表示中位线)
等腰梯形
1、两腰相等的梯形(定义)
2、同一底上的两个角相等的梯形
3、两条对角线相等的梯形
除具有一般梯形的性质外,还有以下性质:
1、两腰相等,同一底上的两个角相等
2、对角互补,对角线相等
3、是轴对称图形
直角梯形
有一个角是直角的梯形(定义)
除一般梯形的性质外,还有性质:
一底角是直角
3、三角形、梯形的中位线定理:
三角形(或梯形)的中位线平行于底边(或两底),并且等于底边(或两底和)的一半.
4、平行线等分线段定理:
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
推论1:
过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边.
推论2:
过梯形一腰中点且平行于两底的直线必平分另一腰.
二、典型例题剖析
例1、已知四边形ABCD和对角线AC、BD,顺次连结各边中点得四边形MNPQ,给出以下六个命题:
①若所得四边形MNPQ为矩形,则原四边形ABCD是菱形;
②若所得四边形MNPQ为菱形,则原四边形ABCD是矩形;
③若所得四边形MNPQ为矩形,则AC⊥BD;
④若所得四边形MNPQ为菱形,则AC=BD;
⑤若所得四边形MNPQ为矩形,则∠BAD=90°
;
⑥若所得四边形MNPQ为菱形,则AB=AD.
以上命题中,正确的是( )
A.①② B.③④
C.③④⑤⑥ D.①②③④
答案:
选B.
例2、下列命题:
①一组对边平行且相等的四边形是梯形;
②一组对边平行且不相等的四边形是梯形;
③一组对边平行,另一组对边相等的四边形是梯形;
④一条直线与矩形的一组对边相交,必分矩形为两个直角梯形.其中真命题的序号是__________.
分析:
可采用反例法,即举的例子符合题设但不符合结论,从而说明原命题是假命题.
①可举反例:
平行四边形;
②可证得另一组对边不平行,故符合定义;
③可举反例:
矩形;
④直线与矩形垂直相交,则得到两个矩形.
②
例3、已知:
如图AB∥CD,AE⊥DC,AE=12,BD=15,AC=20,则梯形的面积是( )
A.130 B.140
C.150 D.160
要求梯形的面积,由于
,而AE=12,所以关键是求(AB+DC)的长,注意已知BD和AC,这样我们可过B作对角线AC的平行线交DC的延长线于F,则可证AB=CF,于是转化求(DC+CF)的长,又过B作BH⊥DC于H,则BH=AE=12,现在只要求DH和HF即可.
在Rt△BDH中,利用勾股定理得
在Rt△BHF中,
故DF=DH+HF=DC+AB=9+16=25.这样梯形的面积为
.
选C.
例4、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,中位线EF分别与BD、AC交于点G,H,若AD=6,BC=10,则GH=__________.
本题主要考查三角形、梯形的中位线定理.因为EF是中位线,
,EG、HF分别是△ABD、△ACD的中位线,
,故GH=EF-EG-HF=8-3-3=2.
2.
例5、如图,将矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于E,AD=8,AB=4,求△BED的面积.
解:
由△BCD沿直线BD折叠与△BC′D重合,
∠1=∠2,
又∵AD∥BC,
∴∠2=∠3.
∠1=∠3,故△BED是等腰三角形.
∴BE=ED.
设ED=x,则AE=AD-ED=8-x.
在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,∴42+(8-x)2=x2.
解之得x=5.
故
例6、如图,M、N分别是□ABCD的对边AD、BC的中点,且AD=2AB.求证:
PMQN为矩形.
证明:
∵ABCD是平行四边形,
∴AD
BC.
又M、N分别是AD、BC的中点,
∴MD
BN,BNDM为平行四边形.
∴BM∥ND,同理AN∥MC,
∴PMQN为平行四边形.
连结MN,
∵AM
BN,∴ABNM为平行四边形.
又AD=2AB,M为AD中点,∴AM=AB.
∴ABNM为菱形,∴AN⊥BM.
∴PMQN为矩形.
说明:
本例是一道平行四边形、菱形、矩形性质定理和判定定理反复运用的较好的综合题,同学们认真体会其证题思路和证明方法.
例7、如图,过正方形ABCD的顶点B作BE∥AC且使AE=AC,又CF∥AE,求证:
按常规思路将∠AEB取半或将∠BCF加倍,但由于图形的“不规则”性,难于达到目的,易见AEFC为菱形,∠ACB=45°
,若结论成立,则∠ACF=∠AEF=30°
,不妨利用正方形和菱形的特性求出∠E=30°
连结BD交AC于O,作AH⊥BE于H.
∵ABCD为正方形,
∴AC与BD互相垂直平分于点O,且AO=BO.
已知BE∥AC,已知AH⊥BE
易证四边形AOBH为正方形,
∴∠AEH=30°
又BE∥AC,AE∥CF,AE=AC.
∴ACFE为菱形,∴∠AEF=∠ACF=30°
,
又∠ACB=45°
,∴∠BCF=15°
例8、在梯形ABCD中,AD∥BC且AB=AD+BC,M为DC的中点,求证:
AM⊥BM.
由题设AB=AD+BC,应将两底集中.
延长AM交BC延长线于N,
∵M是DC的中点,AD∥BC,
则△ADM≌△NCM.
∴AD=CN,AM=MN.
故AB=AD+BC=CN+BC=BN.
由等腰三角形“三线合一”知BM⊥AM.
根据证题的需要,集中梯形的两底是常用辅助线之一,本例也可以先延长BC到N使BN=AB,再证A、M、N共线而得.
例9、如图,在等腰梯形ABCD中AD∥BC,AB=DC,点P为BC边上的一点,PE⊥AB,PF⊥CD,BG⊥CD,垂足分别为E、F、G,求证:
PE+PF=BG.
过P点作PH⊥BG于点H,
∵BG⊥CD,PF⊥CD,PH⊥BG,
∴四边形PHGF为矩形.
∴PF=HG,PH∥CD,
∴∠BPH=∠C.
又在等腰梯形ABCD中AB=DC,
∵∠PBE=∠C,
∴∠PBE=∠BPH.
故Rt△BPH≌Rt△PBE,∴BH=PE.
∴PE+PF=BH+HG=BG.
在梯形的有关问题中常是化归为特殊的平行四边形及三角形来处理.
例10、如图,ABCD为等腰梯形,AB∥CD,对角线AC、BD交于O,且∠AOB=60°
,又E、F、G分别为DO、AO、BC的中点,求证:
△EFG为等边三角形.
这里中点较多,显然
,又AD=BC,要能证EG,FG为BC的一半才行,但无法用中位线定理,只有另辟蹊径,注意∠AOB=60°
连结EC,∵ABCD为等腰梯形,
∴AD=BC且AC=BD,又DC=DC,
∴△ADC≌△BCD,∠ACD=∠BDC.
∴△ODC为等腰三角形.
∵∠DOC=∠AOB=60°
,∴△ODC为等边三角形.
又E为OD中点,∴∠OEC=90°
在Rt△BEC中,G为斜边的中点,
在△OAD中,∵E、F分别是OD、OA的中点,
∴△EFG为等边三角形.
本例中除揭示等腰梯形的诸性质外,还提醒同学们注意遇到中点应联想中位线,但不要只想到中位线,须将所学过的知识综合运用,这里运用了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.
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- 特殊 平行四边形 梯形